高考数学大一轮复习空间直角坐标系精品试题文含模拟试题

1、精品题库试题文数1.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习） 如图所示，正方体月双霜-4丛（；%的棱长为!,初14c = 0 , M是线段。上的动点，过点1/做平面从他的垂线交平面于点N ,则点N到点X距离的最小值为. 毡A.eB. 2C. 3D. I解析1.平面B18DD所以平面,平面BXBDD卜在8出上运动，建立如iiui图所示的空间直角坐标系，则与1.01）。1）,设Ngo）,及N=fRJ）即11 ir, -（1乎二-1| = 40.口）所以MI），|川、小加-疔+广+1=/2厂一21 + 2,所以当2.(2013课标n, 9,5分)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中

2、的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0), (0,1, 1), (0,0, 0),画该四面体三视图中的正视图时 ,以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析2.在空间直角坐标系中，易知 0(0,0, 0), A(1,0, 1), B(1,1,0), C(0,1, 1)为单位正方体的四个顶点.因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.3. (2011 全国，20, 12 分)如图，四棱锥S-ABCD中，AB / CD, BOX CD,侧面 SAB为等边三 角形.AB=BC=2, CD=SD=1.(I )证明:SDL平面SAB;(11)求人8与平面SBC所成的角的大小4.(20

3、10 湖北，18, 12 分)如图，在四面体 ABO冲,OCOA, OCLOB, ZAOB=120 ,且 0A=0B=0C=1.(I )设P为AC的中点，Q 在AB上且AB=3AQ.证明:PQ, OA;(n )求二面角 O-AC-B的平面角的余弦值(2010江西，20,12 分)女y，ABCD与MCCO是边长为 2的正三角形，平面 MCD_平面 BCD, ABL平面 BCD, AB=2 .(I)求直线AM与平面BC所成角的大小(n)求平面acmW平面bc所成二面角的正弦值. 产6.(2010 江苏，16, 14 分)如图，在四棱锥 P-ABCC, PD，平面 ABCD, PD=DC=BC=1,

4、 AB=2, AB/ DC, / BCD=90 .(n)求点A到平面PBC的距离.(I )求证:PC, BC;(2010 全国 n , 19, 12分)如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，AC=BC, AA1=AB, D 为 BB 的中点，E为AB上的一点,AE=3EB1.(I )证明:DE为异面直线 AB与CD的公垂线；(n)设异面直线 AB与CD的夹角为45 ,求二面角 Ai-ACi-Bi的大小.4.(2013 江苏，22,10 分)如图，在直三棱柱 ABC-ABC中，AB AC, AB=AC=2, A iA=4,点 D 是BC的中点.(1)求异面直线A1B与CD所成角的余弦值； (2)求

5、平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值8.答案和解析答案1.B解析11m 平面,所以平面“CD1,平面，N在8禺上运动，建立如图所示的空间直角坐标系，则(x-Ljz-l) = /(KkO)所以iur , 0, y0, z0.(I)AS=(x-2, y-2, z),BS=(x, y-2, z),I)S=(x-1, y, z),由 I AS 1=1 E0| 得J(X02+(y02+广=Klx2+(y-2)24-z2；故 x=1.由 |*=1 得 y+z?, 又由 | BS|=2 得 x2+(y-2) 2+z2=4,即 y2+z2-4y+1=0,故 y=2, z=、2 . (3 分)于是 st1-

6、?,5?),咫=14室)，BsJl 弓用S=(o,3 噂,位.AS =0 ds . BS=o.ft DSL AS, DS1BS, X AST) BS=S，所以 SDL平面 SAB. (6 分) (n )设平面SBC的法向量a=(m, n, p),又曲z=(0, 2, 0),in-2n4-p=0.取 p=2 得 a=(-0, 2),又A=(-2, 0, 0), cos=施则 aB,S a a ES=O, a -匚口=0.vgT故AB与平面SBC所成的角为arcsin ? . （12 分）3.答案4. AOB 中,解法一 :（I ）在平面. /AOB=120 且OAB内作0迎OA交AB于N,连ZC

7、 CN.OA=OB, / OABW OBA=30 .1在 RtAON中，/ OAN=30 , . ON=2aN.在ONB中，. / NOB=120 -90 =30 =/OBN,1.NB=ON=AN.又AB=3AQ, .-.Q为AN的中点.在 CAN中，P, Q分别为AC, AN的中点，.PQ/ CN.由 OAL OC, OALON 知:OA,平面 CON.又 NC?平面 CON, .OALCN.由 PQ/ CN,知 OAL PQ.(n)连结 PN, PO.在由 OCL OA, OCX OB 知:OC平面 OAB.又 ON?平面 OAB, .-.QCL ON.又由ONL OA知:ON,平面 AO

8、C.OP是NP在平面 AOC的射影.在等腰 RtCOA中，P为AC的中点， .Ad OP.根据三垂线定理，知:AC, NP./OPN为二面角 O-AC-B的平面角.卑在等腰 RtCOA中，OC=OA=1, .,.OP=2.在 RtAON中，ON=OAtan 30 = 3 ,cos/ OPN= = =.解法二:（I）取O为坐标原点，以OA, OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系 O-xyz（如图所示）.则 A(1,0, 0), C(0, 0, 1), BP为AC的中点，t 1 jCb又由已知，可得AQ=3又=。之+.二.PQ 威=（。父4（i, 0, 0）=0. 故 pi）o.（n）记

9、平面 ABC的法向量 n=（n1, n 2, n 3）,则由 nX, n Ab,且C入=（1,0,-1）,F 门-%=0, 得住i+名尸，故可取n=(1, 0,1).又平面 OAC勺法向量为e=(0, 1,0).（1,信1）电1,0）平cos=面角O-AC-B的平面角是锐角,记为0 ,则cos 04.答案5. 解法一 :（I）取 CD中点 O,连 OB, OM,则 OBLCD, OMLCD.又平面 MCD_平面 BCD,则MOL平面 BCD,所以MO/ AB, A、B、Q M共面.延长AM BOffi交于E,则/AEB就是AMf平面BC的成白角.:OB=MO=,EO MO 1MO/ AB,则即

10、/=Z, eo=OB=号所以 EB=2W=AB,故/AEB=45 .直线AM与平面BC所成角的大小为45(n )CE是平面 ACMW平面BCD的交线.由(I )知，O是BE的中点,则BCED1菱形.作BFL EC于F,连AF,则AFL EC, /AFB就是二面角 A-EC-B的平面角,设为0 .因为/ BCE=120 ,所以/ BCF=60 .AHBF=BC sin 60=：3, tan 0 =灰=2, sin0所以，所求二面角的正弦值是-,2 ),则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0,), B(0, -, 0), A(0,cosAM.tii = iWm

11、解法二：取 CD中点 O,连 OB, OM,则 OBL CD, OML CD,又平面 MCD_平面 BCD,则MOL平面 BCD.以O为原点，直线OC BO OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图OB=OM=,S, 平面BCD的法向量为 n=(0, 0, 1). 则有sin a =所以a =45直线AM与平面BC所成角的大小为45 .(n)函=(-1,0,),2=(-1,-设平面ACM勺法向量为n1=(x, y, z),%，叫-x+*ni_LCA得陵-娘”入取=0,解得x=；*z, y=z, 取ni=( 1, 1, 1). 平面BCD的法向量为噌 1n=(0, 0, 1). 则 cos

12、= /1川=.设所求二面角为 0 ,则sin 0 = 1 U = /.所以，所求二面角的正弦值是：，.答案6.解法一 :(I)因为 PDL平面 ABCD, BC?平面ABCD, 所以PDL BC.由/ BCD=90 ,得 BCL DC.又 PDH DC=D, PD?平面 PCD,DC?平面PCD,所以BCL平面 PCD.因为PC?平面PCD,所以PC! BC.(n)连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为 AB/ DC, /BCD=90 ,所以 / ABC=90 .从而由AB=2, BC=1,得 ABC的面积 Sabc=1.由PDL平面ABCCM PD=1,得三棱锥P-ABC的体积1V=

13、Saabc - PD=.因为PDL平面 ABCD, DC?平面 ABCD,所以PDL DC.又 PD=DC=1,所以 PC= ；：-=.由 PC! BC, BC=1,得PBC 的面积 4pbc=1 1正 1 6由 Y=SaPB(h=3 - h=*,得 h=，2.因此，点A到平面PBC的距离为.解法二:建立如图所示空间直角坐标系D-xyz,则P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).二=(0, 1, -1), =(-1,0, 0).Pt - BC=0 x (-1)+1 x0+( -1) X0=0, /.PCIBC.fnPC=O,仍(n)设平面PBC的法向量n=(x,

14、y, z),则有im由即i x=0.令y=1得n=(0, 1, 1). 又1AMi 1血乙0：21必因为A(1, -1, 0), Ah=(0, 2, 0),所以点A到平面PBC的距离d=而 = V#+F=/2.a efl 解法三:(n)取AB中点E,连DE,贝U DE/ BC, DE/面PBC,贝U A点到面PBC的距离等于E点到面PBC距离的2倍，即等于点到面 PBC距离的2倍.过 D 作 DHL PC,贝U DHL面 PBC.在 RHPCD中，DH=.A到面PBC的距离为也6.答案7.解法一 :(I)连结 AiB,记AiB与AB的交点为F.因为面 AABiB为正方形，故AiB,AB,且AF

15、=FB.又AE=3EB,所以FE=EB.又D为BB的中点，故 DE/ BF, DEL ABi.M作 CGL AB, G为垂足，由 AC=B(口，G为AB中点.又由底面 ABCL面 AABB,得CGL面AABiB.连结DG,则DG/ AB,故DEL DG,由三垂线定理，得DEL CD.所以DE为异面直线AB与CD的公垂线.(n )因为DG/ ABi,故/ CDG为异面直线 AB与CD的夹角，/ CDG=45 .设 AB=2,则 AB=2i2, DG=42, CG=42, AC= a .作BihIXA1C1, H为垂足.因为底面 AiBiC面AACiC,故BiH上面AACC,又作 HKLAO, K

16、为 垂足，连结BiK,由三垂线定理，得BiKLAC,因此/BiKH为二面角Ai-ACi-Bi的平面角.BiH=A叼AJHC=Je6孙 HAC=.U丁 = , HK=AA HCtan / B iKH=HK =，1 14,所以二面角Ai-ACi-Bi的大小为arctan解法二:(I)以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.C.设 AB=2,贝U A(2, 0, 0), Bi(0, 2, 0), D(0, i, 0),E，又设 C(1,0, c),则口后=(22)凡*=(2,-2, 0), DC=(1,-1, c).于是 tit - BiA=0, ote tit

17、=0,故 DEL B lA, DE SC,所以DE为异面直线AB与CD的公垂线.(n )因为马”,1介等于异面直线ab与CD的夹角，故31A. DC=| BA| . DC|cos 45,即 2d2x M+2x$=4,解得c=,故此=(-1,0, 嫄).又 =B =(0, 2, 0),所以 = , + =(-1,2,).设平面 AAG的法向量为 m=(x, y, z),则 m- Ai=0, m -必i=0,即-x+2y+ 2z=0 且 2y=0.令 x=,则 z=1, y=0, 故 m=(V2,0, 1).设平面 ABG的法向量为n=(p, q, r),则 n ”i=0, n 盘=0,即-p+2q+r=0, 2p-2q=0.令 p=Z 则 q=H, r=-1,故 n=(#，M,-1).rnn 所以 cos= .|l1 =.-.由于m, n等于二面角 Ai-ACi-Bi的平面角，逗所以二面角 Ai-ACi-Bi的大小为arccos 15 .7.答案8.(i) 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0, 0),B(2,0, 0), C(0,2, 0), D(i,i, 0), Ai(0,0,4), G(0,2, 4),所以章=(2,0,-4),而=(i,-i, -4).因为cos=: I;:.;J=趣知