医科数学第五章微分方程

1、第一节 微分方程的基本概念第五章 微分方程解一、微分方程的定义1 问题的提出解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需(1)微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2 微分方程的定义与分类微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.分类1 常微分方程, 偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2(2) 微分方程的分类分类3 线性与非线性微分方程.分类4 单个微分方程与微分方程组.微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该方程的解. 微分方程的解的分类二、

2、微分方程的解(1)通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解 确定了通解中任意常数以后的解.解的图象 微分方程的积分曲线.通解的图象 积分曲线族.初始条件 用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶二阶过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为微分方程的初等解法 初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)第二节 可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程的求解可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法1 分离变量法例 求解微分方程解分离变量两端积分2 典型例题

3、 通解为解例解由题设条件衰变规律的微分方程.(2)解法作变量代换代入原式可分离变量的方程 (1)两种特殊可分离变量方程例 求解微分方程微分方程的解为解例 求解微分方程解微分方程的解为解法：(2)形如 的方程可分离变量的微分方程.解代入原方程原方程的通解为例：求方程 的通解。解求下列方程的通解解第六节 微分方程在医学上的应用一、自然生长方程二、肿瘤化疗模型 我们考虑“理想环境”中的生物物种增殖模型.所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件:一、自然生长方程 (3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此“理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境.自然环境中的空间和资源总是有限度的. (1)没有

4、由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况;(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制; 实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，死亡率减少；当该生物总数过多资源供不应求时，出生率减少而死亡率增加.现假定出生率p和死亡率q都是生物总数x的函数,即其中 都是正数，则有所以有称为相对增殖速率.即假设其中 、 均为正数. 这是一个可分离变量方程.两边积分，得整理，得设初次取样时 ,测得 将此初始值代入上式,则可解得所以0t 上式称为自然生长方程，也称 logistic方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图形为S形

5、曲线，称为logistic曲线。解得 是该种群在一定环境条件下的平衡态.二、肿瘤化疗模型如果未给任何治疗，肿瘤的生长基本符合“自然生长方程”.现给予某种化学药物治疗，药物剂量m与肿瘤的体积x 之比m/x称为相对药物浓度.若相对药物浓度对肿瘤的相对增率的影响成正比，比例常数是S ，那么肿瘤在“自然生长”和“药物治疗”叠加状态下可由以下方程表示：其中r，k和s均为正常数.该方程右端是关于x的一个二次函数，可用分离变量方法求解，但需注意该二次函数有没有实根1）药物剂量这时，右端有两不相等的实根其中分离变量后得所以，当 时，方程通解为如果药物化疗开始是为 t=0, ，则可以确定 这时，根据初值与a,

6、b之间的关系，可得以下分析：当 时，方程右端一直小于0，即 ，表明如果在肿瘤初期就开始化疗，肿瘤在化疗中会不断缩小。而当时间 即肿瘤初期，按药量m进行治疗，病灶可消除.当 时，整个化疗过程中有 ，表明如果在肿瘤中期才开始小剂量化疗，肿瘤仍会增长. 但有解得形式知道，当时间即使在肿瘤最旺盛的时期，m剂量的化疗仍然可以将肿瘤控制在b水平以下.当 时，整个化疗过程中有 ，表明即使在肿瘤晚期才开始化疗，肿瘤细胞也会缩小，而且 .如果肿瘤未经化疗，按“自然生长方程”，肿瘤最终趋于平衡态 ，而经小剂量m化疗后，平衡态是 .思考：如果 或 会怎么样？2）药物剂量 ：此时其中 ，通解为按剂量 进行化疗，右端总是非正.如果 ，当 时， . 即肿瘤在初期化疗可消除病灶.如果 ， ，肿瘤在中晚期化疗会趋于平衡态.3）药物剂量 ：此时其中通解为按剂量 进行化疗，右端总是负的. 即不论在肿瘤的哪一期，开始进行大剂量化疗，病灶总能消除. 但在实际治疗过程中，由于抗癌药物的副作用，患者能够容忍的药物剂量应该取到什么水平是问题的关键.第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为(1) 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(2) 线性非齐次