210函数的凹凸性与拐点课件

1、2.10 函数的凸性与曲线的拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?一、函数凸性的定义第1页，共34页。1图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方下凸上凸第2页，共34页。2点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称设f(x)在区间a,b上连续，若曲线 y=f(x)上的任意两点间的弧段，总是位于连接这两点的弦之下，则称函数 f(x)在(a,b)内为下凸；若曲线 y=f(x)上任意两函数 f(x)在(a,b)内为上凸; 函数下凸或上凸的性质统称为函数的凸性. 定义：第3页，共34页。3第4页，共34页。4第5页，共34页。5有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸.下凸上凸第6页，

2、共34页。6二、函数凸性的判定第7页，共34页。7例1解注意到:第8页，共34页。8三、曲线的拐点及其求法1.定义 设 f(x)在点x0附近连续，若 f(x)在点x0 的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(x0, f(x0)为曲线 y=f(x)的拐点.注意:(1)拐点(x0, f(x0)在曲线上, 必满足曲线方程；(2)拐点(x0, f(x0)是两个坐标, 与 f(x)的极值点不同.拐点(x0, f(x0)第9页，共34页。92.拐点的求法数,则点是拐点的必要条件是定理2 如果)(xf在内存在二阶导第10页，共34页。10注意:第11页，共34页。11例2解第12页，共34页。12综上所述可归纳

3、出求曲线 拐点的步骤：第13页，共34页。13例3解下凸上凸下凸拐点拐点第14页，共34页。14第15页，共34页。15例4解第16页，共34页。16第17页，共34页。17解 函数的定义域为（-，+）.下凸非拐点下凸拐点上凸y+不存在+0-0 x第18页，共34页。18xyo拐点第19页，共34页。19xyo拐点第20页，共34页。202-11 函 数 作 图一、渐近线定义:.一条渐近线,的距离到某定直线如果点移向无穷远点时LP)(,的就称为曲线那么直线趋向于零xfyL=)(沿着曲线上的一动点当曲线Pxfy=1.铅直渐近线第21页，共34页。21例如有铅直渐近线两条:第22页，共34页。22

4、2.水平渐近线例如有水平渐近线两条:第23页，共34页。233.斜渐近线其中：记住公式第24页，共34页。24直线 y=a x+b是曲线 y=f(x)当x时的证 由函数的极限与无穷小的关系可得：同理可证x-时的情况.渐近线的充要条件是：第25页，共34页。25注意:例1解第26页，共34页。26第27页，共34页。27二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形的步骤：域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,确定函数)(xfy=的定义域,对函数进行奇1.和二阶导数求出函数的一阶导数 求出方程在函数定义2.第28页，共34页。28号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综凸性与拐点（可列表进行讨论）； 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线4.合前四步讨论的结果画出函数的图形. 3.确定在这些部分区间内的符5.以及其他变化趋势;描出与方程的根对应的第29页，共34页。29三、作图举例例2解非奇非偶函数,且无对称性.第30页，共34页。30不存在拐点极值点间断点(4) 渐近线第31页，共34页。31（5