弹性力学综合题及其解题提示

1、 基本概念什么是体力、面力和应力？其方向是如何规定的？试画出正、负y面上正的应力和正的面力，写出平面问题应力分量满足的Cauchy公式。oxlfxxyxxomfyxysyX.slo+mxxxymo+lxyyx=f(s)x=f(s)y弹性力学有哪些基本假定(6个)？连续性假设：物体内物理量用连续函数表示线弹性假设：物体服从胡克定律弹性常数不变均匀性假设：物体由同一材料组成材料常数不变各向同性假设：物体内任一点弹性性质各向同性弹性常数不随方向而变符合以上四个假定的物体称为理想弹性体小变形假设：微小位移和应变尺寸不变可略去高阶小量方程线性化无初始应力假设：物体处于自然状态求解应力仅由外力或温度改变而

2、产生已知物体的边界形状、材料性质、体力和边界约束，如何求解应力、形变和位移？弹性力学的两类平面问题是什么？等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。这类问题即为平面应力问题。很长的柱形体，其横截面不沿长度变化，在柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，这类问题即为平面应变问题。平面应力问题的物理方程为：11s=(o-go),s=(o-go),xExyyyx丫xyE2(1+g)xxy平面应变问题的物理方程为：s=(o)XEx1-gy,syy=沁xxyExy圣维南原理的基本内容是什么？写出

3、与主矢和主矩对应的静力等效条件。圣维南原理指出：作用在物体表面上一个局部区域内的平衡力系(主矢量为0，对于同一点的主矩也为0)，可以用一个与之静力等效的任意力系来代替，由他们产生的应力分布在力系作用区域内有显著不同，在离开力系作用区域相当远的范围内，其应力分布几乎是相同的(可忽略不计)。hhhj2(a)0dy=0i2(t)dy=0I2(a)ydy=-Mxzx=0，-hxY7x=0，-hxx=0丿2TT什么是位移法和应力法？写出其求解过程。写出平面应力问题和常体力情况下的平面问题的求解过程。什么是逆解法和半逆解法？比较其求解过程。在单连体中，应力函数应满足哪些条件？分别写出直角坐标和极坐标下的基

4、本方程、边界条件和Laplace算符。证明函数=qp2cos御可以作为应力函数。(解题提示：验证是否满足相容方程)V4e=0门21d1d2、月21创1d2、n(+)(+)=0dp2pQpp2如2Qp2pdpp2如2d2dp2=2qcos291譽=2cos29，pdp=-4qcos29(d21d1d2dp2pdpp2092)=2qcos2p+2qcos2p-4qcos29=0故有：V4=0，该函数可以作为应力函数。3.检验函数(x,y)=Ay3+Bx2能否作为应力函数；若能，试求应力分量(不计体力)；指出该应力函数所能解决如图所示矩形板的何种受力问题(用边界面力分布图表示)。(解题提示：验证是否

5、满足相容方程，写出应力分量，分析边界条件)解(1)检验函数：相容方程：V4=型+2主L+型=0,dx4dx2dy2dy4CK07弹性力学基础综合训练SWUST_CK07_TXB 空=0,上L=0,竺=0TOC o 1-5 h zdx4dx2dy2dy4可见满足相容方程，故该函数可作为应力函数。(2)应力分量：b=竺=6Ay,ct=竺=2B,t=一空乞=0 xdy2ydx2xydydx3)板边面力h上下边界y=,b=2B,t=02yx：y左边界(b)=6Ay,(t)=0 xX=0 xyx=0右边界(b)=6Ay,(t)=0 xX=lxyx=04.图中的梁受到均布荷载的作用，试用下面应力表达式求解

6、其他应力。(lh,6=1)（解题提示：根据题意，按应力求解，平衡微分方程，相容方程，主要/次要边界条件）题意要求按照应力解法。在应力解法中，需要验证应力分量满足平衡微分方程：TOC o 1-5 h z”dbSr0-d-x+Sfx+f=0dxdyxSbSt HYPERLINK l bookmark41 +y+f=0dydxy相容方程：V2（bx+by）=-（1+卩）在主要边界上：hy=丿2f+dx=0hy=-2hy=+2f6q巴+cx=0Ih341丿2qh3ch_r，=qby=-q斗一莎8+C12+C2=-q口C2=-2C=一3uC1=-2hby=0，将Cl,C2代入后满足。CK07弹性力学基础

7、综合训练SWUSTCK07TXB将Cl，C2代入应力表达式得到应力公式:bx=-2qy(x2一2y2)xhGy=q2y3h3丿校核边界条件：将次要边界条件代入应力公式-4qy3X=0ixy=0口bx=hTqh2其主矢量为：=0203qlI4y2X=l1xy2hqb=一xh320d=-q，其主矢量为：:唸xylx=，其主矢量为：唸xd=0其主矩为：Jh/2bydy=-f巴-q丿其土矩为：j一h/2x丿丿f220丿5-己知受力物体内某一点的应力分量为巴=0,叭=2IP孔，七=1AIP第坯=1AIP显%=。心=nrPa-试求经过此点的平面s+3y+z=l上的正应力和剪应力，且计算此点的主应力及主应力

8、方向。(解题提示：写出平面法向方向余弦，代入Cauchy公式得出法向应力分量，求解正/剪应力，求解主应力行列式，求解方向余弦的齐次行列式)求平面x+3y+z=l的法线的方向余弦：将各应力分量及方向余弦代入Cauchy公式得：X=lb+mi+ni=1.508MPaNxyxzxY=li+mb+ni=2.111MPaNxyyzyZ=li+mi+nb=0.905MPaNxzyzz(3)求斜面上的正应力及剪应力：bN=XNl+YNmZNn=2637MPaiN=(XN+YN+ZN)bN=0.771MPa(4)计算主应力，将各应力分量代入主应力行列式得：TOC o 1-5 h z-b122-b0=0401-

9、bCK07弹性力学基础综合训练SWUST_CK07_TXBCK07弹性力学基础综合训练SWUSTCK07TXB 展开得(b-3)(b2-3)=0解得b=3MPa,b2=1.732MPa,%=1.732MPa(5)计算主应力方向:bxT将各主应力及各应力分量代入方向余弦的齐次方程组得出：-bTxyTxzyxb-byTyzzxTzyb-bzT=0(l1,m1,n1)=(-0.5774,-0.5774,-0.5774)&(0.5774,0.5774,0.5774)(l2,m2,n2)=(0.211,-0.787,0.576)&(-0.211,0.787,-0.576)(l3,m3,n3)=(0.78

10、9,-0.211,-0.576)&(-0.789,0.211,0.576)可见主应力方向是相互正交的。6.如图所示的矩形薄板，给出如下的函数，试分别检验它们能否作为应力函数？若能试写出应力分量(不计体力)，并利用边界条件求出面力，并画在图中(假定a0,b0)。(1)=a(x3+y2)；(2)=ax4+by3rrrnT；LJs(解题提示：验证是否满足相容方程，若满足即可代入应力函数表达的应力分量公式)对于(1)=a(X3+y2)代入相容方程得:o40十2o40O40+ox4Ox20y2Oy4=20=2a,bO20oy2yOx2=0,满足,V40=bx=6ax,txjy可作为应力函数。三.丄.d4

11、0d40d40对于(2)=ax4+by3，代入相容方程V40=+2+=24a丰0,ox4ox2勿2dy4可见，不满足相容方程，故不能作为应力函数。7.弹性地基深度为H的某点处于静水压力状态，其压力为qo(1)若在该处开挖一半径为a的圆形坑道，a9=-今(1音)(1+3音伽2910MPa，q2=ay=-14MPa代入上式得隧道周围的应力:d2d2d2a=12(1)+2cos29(1)(13) HYPERLINK l bookmark97 PP2P2P2a=12(1+空)2cos29(1+3兰)9P2P4 HYPERLINK l bookmark61 d2d2t=-2(1-)(1+3-)sin29

12、P9P2P2当p=d,隧道壁应力为：a=0,a=8(3+cos29),t=0P9P9当cos29=-1,即=9Oo（顶底），孔壁最大应力为-16MPa,cos2=1,即甲=Oo，9=18Oo（两侧）孑L壁最小应力为一32MPa。可见在隧道两侧的压应力值最大为32MPa,顶部压应力为16MPa22.设有任意形状的薄板，其表面自由并与oxy坐标面平行。若已知各点的位移分量为:u=p1_-x,v=p1_-y，试求板内的应变分量和应力分量。EE（解题提示：利用几何方程、物理方程求解）由几何方程可求得oxy平面内的应变分量为:du8=-xdxdv1-8=pydyE=竺+空=odydx由物理方程可求得应力

13、分量为：a=(8+-8)=p,atxy亠Y=02(1+-)yx1-2xy而z方向的应变为：丁-E%+零=Ep23.图示为一受均布荷载的简支梁，已知材料力学的解答为o=習(i-x)y，-=0t=3q(h2x)(h-y2),xh3yxyh34试检验上式能否作为弹性力学解答（不计体力）？（18分）解：将应力分量代入平衡微分方程：daStx+xy+f=0,&dyx9SaSty+xyL+f=05qy=0dydxydr6qx6qly12qxy盂=ax兽(l-x)y氓-等dtd3q(l-2x)h26q(l-2x)y萤=dyt-y2)=-T字=1(h-y2)=-敦h-y2)dxdxh34h34dox-dxdt

14、+H+fx=0,dodtJL+xL+f主0dydxy所以，材料力学解答不满足平衡微分方程，故不能作为弹性力学解答。5是边界面外法线方向与坐标轴正向的夹瀚的余弦。如图所示楔形体，外形为抛物线了S下端无限伸艮厚度为1，材料的密度为宀试证明他=一眷咕警$6二一学为其自重应力的正确解答，.一警一讐十何一讥满足）将应力分星代人相容方程旷g+/=黯+器+箸+兽=（X满足）薯十守十尤一。悩足）紀夺_F=正确的应力解答要同时满足平竇微分方袒、相容方程及应力边界条件口将应.力分慑代人平術微分方程（X6F杆耐芳査边界条件Icrr&Cf,?!=casCAOI衣1=-2intf,tano-=co5acositr,pi

15、nff=0*6ryytana0rrosfl(Tsinrri，-y1anorT匸那=0切线的正切tan/?=y=2j：,而tanj9=tn(9ODa)=cot叫tanar=cctj5学及l.ana=代人、式得;所以将应力分屋Q八30%边界条件潑足。CK07弹性力学基础综合训练SWUST_CK07_TXB 25悬臂梁竟力如图所示*其应力分量表达式为:A黒+c且2羽邑一岸试根据应力边界条件确定其中帕淸定常数。【解】庄瘟宜仁於一U“一0,mJ1边畀条件为：E7j.)y=iji孕即AH=-q(a)J人-】=0，自然满足a3在余|血Vlauirjsiri(r=二、机=cus、；二“、玄一G.Y0边界条件为：fq；-加q衣JJ+皿耳二Y即：miner.4srcinr(一r.nnc;-I-恐iniTFc气ct-L?J+门久起片真=门即：Fine?叫卅一sinAcos-