数据分布特征的度量课件

1、第4章 统计数据分布特征的度量PowerPoint统计学8/1/20221第4章 统计数据分布特征的度量一、集中趋势的度量二、离散趋势的度量三、偏态和峰态的度量四、Excel在数据分布特征度量中的应用8/1/20222本章学习目标1.掌握反映数据集中趋势度量值众数、中位数、四分位数、均值的概念及应用场合；2.掌握反映数据离散趋势度量值异众比率、四分位差、极差、平均差、方差、标准差及离散系数的概念及应用场合；3.了解反映数据分布形态度量值偏态系数和峰态系数的测度方法；4.熟练运用Excel进行描述统计量分析。8/1/20223数据的分布特征分布的形状集中趋势离散程度众 数中位数均 值离散系数方差

2、和标准差峰态系数四分位差异众比率偏态系数四分位数8/1/20224一、集中趋势的度量（一）众数（二）中位数与四分位数（三）均值（四）众数、中位数与均值的比较8/1/20225一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值从不同的角度考虑，反映集中趋势的测度值有多个 集中趋势8/1/20226出现次数最多的变量值，用mo表示 不受极端值的影响主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据一组数据可能没有众数或有几个众数众数只有在数据较多时才有意义，当数据量较少时，不宜使用众数。（一）众数(mode)8/1/20227无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8一个

3、众数原始数据: 3 5 7 5 5 5多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 428/1/20228解：这里的变量为“饮料品牌”，不同饮料的品牌就是变量值。在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即mo可口可乐1.根据未分组数据或单项分组确定众数序号ABCDE12345678910旭日升冰茶露露旭日升冰茶可口可乐百事可乐可口可乐汇源果汁可口可乐露露可口可乐可口可乐旭日升冰茶可口可乐百事可乐露露旭日升冰茶旭日升冰茶百事可乐可口可乐旭日升冰茶旭日升冰茶可口可乐可口可乐旭日升冰茶露露旭日升冰茶可口可乐露露百事可乐百事

4、可乐汇源果汁露露百事可乐可口可乐百事可乐汇源果汁可口可乐汇源果汁可口可乐汇源果汁露露可口可乐旭日升冰茶百事可乐露露汇源果汁可口可乐百事可乐露露旭日升冰茶8/1/20229解：这里的数据为顺序数据。变量为“回答类别” 甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 mo不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)百分比 (%) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意24108934530836311510合计300100.08/1/202210产品数（件）工人人数（人）1718192028105合计25解：表中日加工产品数为变量，变量值1

5、9的工人人数最多，即出现次数最多，所以Mo19件8/1/2022112.根据组距分组数据确定众数 首先，要确定众数所在的组，若为等距分组数据，次数最多的那个组就是众数所在组；若为异距分组数据，需将其换算为次数密度（或标准组距次数），换算后次数密度最多的一组才是众数所在组。 然后，运用差值公式来计算众数的近似值。 下限公式： 上限公式： 表示众数所在组的下限 表示众数所在组的上限 表示众数所在组的频数与其下限的邻组频数之差 表示众数所在组的频数与其上限的邻组频数之差 众数所在组的组距 8/1/202212 某地区利润额的频数分布按利润额分组（万元）企业数（个）200-30019300-40030

6、400-50042500-60018600以上11合计120【例】8/1/202213解: 首先，确定众数所在组。本例为等距分组数据，频数数值最大的组就是众数所在组。即企业数最多的组 “400-500”就是众数所在组。 然后，运用众数的插值公式计算众数。8/1/202214排序后处于中间位置上的值me50%50%主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据不受极端值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即（二）中位数与四分位数1.中位数8/1/202215 变量值 3 4 5 5 6 9 10中位数 5平均值 6与中位数离差 -2 -

7、1 0 0 1 4 5与平均数离差 -3 -2 -1 -1 0 3 4绝对数值之和 13 148/1/202216 首先，对数据进行排序，然后确定中位数的位置； 最后，确定中位数的具体数值。 原始数据：分组数据：8/1/202217（1）根据未分组数据确定中位数8/1/202218【例】某汽车公司的营销部经理随机抽取9个汽车销售门店了解5月份的汽车销售情况，获得的汽车销售额（单位：万元）数据分别为：700、400、200、1000、1000、1200、1400、1000、1200。试计算这9个汽车销售门店销售额的中位数。解：首先，对销售额（万元）数据进行排序，依次为：200、400、700、1

8、000、1000、1000、1200、1200、1400； 然后，计算中位数位置： 最后，找出第5个位置的变量值，即。 8/1/202219【例】：10个家庭的人均月收入数据排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8/1/202220解：中位数的位置为 300/2150 从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此 me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300

9、合计300（2）根据单项分组数据确定中位数8/1/202221【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。8/1/202222（3）根据组距分组数据计算中位数第一步，根据中位数位置及累计次数确定中位数组；第二步，用插补公式计算中位数的近似值。表示比中位数所在组下限小的各组累计次数 表示比中位数所在组上限大的各组累计次数 8/1/202223【例】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下2

10、00400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的中位数。8/1/202224排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据计算方法与中位数的类似。 qlqmequ25%25%25%25%2.四分位数8/1/202225原始数据：分组数据：四分位数位置的确定8/1/202226【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排 序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位 置: 1 2

11、 3 4 5 6 7 8 98/1/202227解： ql位置= (300)/4 =75 qu位置 =(3300)/4 =225 从累计频数看，ql在“不满意”这一组别中,qu在“一般”这一组别中。因此，ql=不满意， qu =一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计300【例】8/1/202228集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在,反映这组数据的一般水平将各个数据之间的数量差异抽象掉,体现数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序

12、数据（三）均值均值算术均值调和均值几何均值8/1/2022291.算术均值（average） 数据集中趋势最主要的测度值适用于数值型数据，不适用于用文字表示的分类数据和顺序数据凡是总体各单位的标志值之和等于总体的标志总量时，均可使用算术均值来反映总体的一般水平。算术均值通常用“ ”表示，其基本计算公式为：8/1/202230设一组数据为： x1 ，x2 ， ，xn或各组的组中值为：x1 ，x2 ， ，xk 相应的频数为： f1 ， f2 ， ，fk简单算术均值加权算术均值8/1/202231平均每人日销售额某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则

13、：【例】8/1/202232【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）总日产量（件）1011121314701003801501007001100456019501400合计8009710计算该企业该日全部工人的平均日产量。8/1/202233已改至此！某电脑公司销售量数据分组表按销售量(台）分组组中值(x)频数(f)xf 140150150160160170170180180190190200200210210220220230230240145155165175185195205215225235491627201710845580139526404725370033

14、15205017209001175合计12022200【例】某电脑公司近4个月的日销售量资料如下：本例为组距分组数据，取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术均值只是其真值的近似值。8/1/202234分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980权数变量值8/1/202235表现为次数、频数、单位数；即公式 中的表现为频率、比重；即公式中的指在计算均值的过程中起着权衡轻重作用的次数或频率，反映了各组的变量值对均值的影响程度权数绝对权数相对权数若各组权数相同，则各组的次数或频率也就失去了权衡轻重的作用，加权算术均值就转化为简单算术均

15、值。 8/1/202236变量值与其算术均值的离差之和等于零，即：变量值与其算术均值的离差平方和为最小，即：算术均值的主要数学性质8/1/20223712345678-1-1-213离差的概念8/1/202238均值的另一种表现形式，是变量值倒数的算术均值的倒数。易受极端值的影响计算公式为2.调和均值（harmonic mean） 适用于未分组数据适用于已分组数据各组的标志总量各组的变量值8/1/202239相对数或平均数再求平均数一定要符合该相对数或平均数本身的计算公式。例如：有A、B、C三个企业，A企业计划产量为156吨，计划完成百分比是120%；B企业计划产量为200吨，计划完成百分比为

16、110%；C企业计划产量为145吨，计划完成百分比为90%。求三个企业平均计划完成百分比。相对数或平均数再求平均数8/1/202240 苹果 单价 购买量 总金额 品种 （元） （斤） （元）红富士 2 3 6青香蕉 1.8 5 9 8/1/202241己知 ，采用基本平均数公式己知 ，采用加权算术平均数公式己知 ，采用加权调和平均数公式若比值8/1/202242【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计1824900261

17、75计算该公司该季度的平均计划完成程度。8/1/202243某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元) x成交额(元) m成交量(公斤)m/x甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格8/1/202244n 个变量值乘积的 n 次方根适用于对比率数据的平均,而且各比率的乘积要等于总比率主要用于计算平均增长率、平均收益率等计算公式为3.几何均值(geometric mean)8/1/202245【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品

18、的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；8/1/202246因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。8/1/202247解：思考：若上题中不是由五道连续作

19、业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。8/1/202248【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3，2年为5，2年为8，3年为10，1年为15。求平均年利率。设本金为V，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为： 第12年末的本利和为：分析：第2年的计息基础第12年的计息基础8/1/202249则该笔本金12年总的本利率为：即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。8/1/202250思考若上题中不是按复利

20、而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。解：8/1/202251是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值是否否是否是几何平均法算术平均法平均的对象均值计算公式的选用顺序8/1/202252左偏分布均值 中位数 众数对称分布 均值= 中位数= 众数右偏分布众数 中位数均值（四）众数、中位数与均值的比较1.众数、中位数和均值的关系8/1/202253众数不受极端值影响具有不惟一性数据多、且分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用主要适合作为顺序数据的集中趋势测度值。 均值易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时

21、应用2.众数、中位数和均值的特点与应用场合8/1/202254数据类型分类数据 顺序数据数值型数据适用的测度值众数中位数均值四分位数调和平均数众数几何平均数中位数四分位数众数数据类型与集中趋势测度值8/1/202255集中趋势弱、离散趋势强集中趋势强、离散趋势弱8/1/202256二、离散趋势的度量（一）异众比率（二）四分位差（三）极差和平均差（四）方差与标准差（五）相对位置的度量（六）离散系数8/1/202257数据分布的另一个重要特征反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度不同类型的数据有不同的离散程度测度值离中趋势8/1/2022581.对分类

22、数据离散程度的测度2.非众数组的频数占总频数的比率3.计算公式为 4. 用于衡量众数的代表性异众比率(variation ratio)8/1/202259解： 在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%，异众比率比较大。因此，用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好不同品牌饮料的频数分布 饮料品牌频数比例百分比(%) 可口可乐 旭日升冰茶 百事可乐 汇源果汁 露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计5011008/1/202260对顺序数据离散程度的测度也称为内距或四分间距上四分位数与下四分位数之差 qd=qu ql反映了

23、中间50%数据的离散程度不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性四分位差(quartile deviation)8/1/202261解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5。又已知 ql = 不满意 = 2 qU = 一般 = 3四分位差： qd = qU - ql = 3 2 = 1甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数 (户)累计频数 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意2410893453024132225270300合计3008/1/202262一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布789107

24、8910 R = max(x) - min(x)计算公式为极差(range)8/1/202263各变量值与其均值离差绝对值的平均数能全面反映一组数据的离散程度数学性质较差，实际中应用较少计算公式为平均差(mean deviation)8/1/202264【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为1440元、1480元、1520元、1600元、1750元，求该售货小组销售额的平均差。即该售货小组5个人销售额与平均数相比，平均相差93.6元8/1/202265随机抽查4个月的销售量数据平均差计算表 按销售量分组组中值(x)频数(f)140150150160160170170180180190190

25、20020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计1202040即每一天的销售量与平均数相比，平均相差17台。8/1/202266 方差和标准差(variance and standard deviation)数据离散程度的最常用测度值反映了各变量值与均值的平均差异方差是各变量值与其算术均值离差平方的算术均值，方差的平方根称为标准差平方的方法消除各变量值与算术平均值离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和

26、统计分析运算，是真正度量离散趋势的标准 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差8/1/202267简单总体标准差：加权总体标准差：简单总体方差：加权总体方差：方差的计算公式标准差的计算公式 总体方差和标准差(Population variance and Standard deviation)8/1/202268 样本方差和标准差 (simple variance and standard deviation)简单样本标准差：加权样本标准差：简单样本标准差：加权样本标准差：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除! 8/1/20

27、2269一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值在抽样估计中，当用样本方差s2去估计总体方差2时， s2是2的无偏估计量自由度8/1/202270【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为1440元、1480元、1520元、1600元、1750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（

28、比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。8/1/202271 样本标准差 (例题分析)某电脑公司随机抽查4个月的销售量数据标准差计算表 按销售量分组组中值(x)频数(f)14015015016016017017018018019019020020021021022022023023024014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合计120554008/1/202272 （比较：其销售量的平均差为17台）即：每一天

29、的销售量与平均数相比， 平均相差21.58台8/1/202273相对位置的测度标准化值1. 也称标准分数2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量3.可用于判断一组数据是否有离群点4.用于对变量的标准化处理5. 计算公式为8/1/2022749个家庭人均月收入标准化值计算表 家庭编号人均月收入（元） 标准化值 z 123456789150075078010808509602000125016300.695-1.042-0.973-0.278-0.811-0.5561.8530.1160.9968/1/202275均值等于02.方差等于1标准化值的性质8/1/202276 z分数只是将原始数据进行

30、了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数据分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0、标准差为1的标准化值。8/1/202277当一组数据对称分布时：约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 经验法则 标准化值在均值正负3个标准差之外的数据，在统计上称为离群点。 8/1/202278可比离散系数8/1/2022791.标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4.用于对不同组别数据离散程度的比较5. 计算公式为离散系数(coe

31、fficient of variation)8/1/202280某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度8/1/202281结论： 计算结果表明，vs1 0为右偏分布；偏态系数 0为左偏分布常用的计算公式：偏态系数(coefficient of skewness)8/1/202286 某电脑公司销售量偏态及峰度计算表 按销售量份组(台

32、) 组中值(x)频数 f140150150160160170170180180190190200200210210220220230230240145155165175185195205215225235491627201710845-256000-243000-128000-270000170008000021600025600062500010240000729000025600002700000170000160000064800001024000031250000合计120540000 70100000 8/1/202287结论：偏态系数为正值，但与0的差异不大，说明电脑销售量为轻微右

33、偏分布，即销售量较少的天数占据多数，而销售量较多的天数则占少数8/1/202288统计学家Pearson于1905年首次提出数据分布扁平程度的测度峰态系数=0扁平峰度适中；峰态系数0为尖峰分布常用峰态系数的计算公式：峰态系数(kurtosis)8/1/202289结论：偏态系数为负值，但与0的差异不大，为轻微扁平分布，说明电脑销售量的分布比较分散。8/1/202290从直方图上观察偏态与峰态结论：1.略为右偏分布 2.轻微扁平分布140150210某电脑公司销售量分布的直方图19020018016017025201510530220230240销售量（台）频数（天）8/1/202291四、Excel在数据分布特征度量中的应用（一）反映数据分布特征的统计函数（二） “描述统计”工具 8/1/202292反映数据分布特征的统计函数 反映数据集中趋势的统计函数 MODE(number1, number2,) MEDIAN(number1, number2,) QUARTILE(array,quart) AVERAGE(number1, number2,) HARMEAN(number1, number2,) GEOMEAN(number1, number2,)