结构抗震计算中课件

1、 2.4 振型分解反应谱法 1 分析模型实际工程中，只有少数结构可以简化为单质点体系，大量的结构(多层建筑、多跨不等高单层工业厂房)都应简化为多质点体系来分析。而振型分解反应谱法是弹性体系地震反应的基本方法。质点的质量通常为i层楼面的活荷载加其上、下两半层的自重，集中于第i层的楼面处，形成一个多质点体系。在单一方向水平地震作用下的一个n个质点的结构体系有n个自由度。 利用振型正交和振型分解原理，将求解多自由度体系的总地震反应分解为求解N个独立的单自由度弹性体系的最大地震反应及每一个振型下的作用效应(弯矩、剪力、轴向力和变形)，再按一定的规则将每个振型的作用效应组合成总的地震作用效应进行截面抗震

2、验算。 由于基本振型(或称为第一振型)在总的地震效应中的贡献为最大，高振型的贡献随着振型阶数的增高而迅速减小。因此，只需对前几个振型(一般是前3-5个振型)的地震作用效应进行组合。2 振型分解反应谱法的基本概念其基本思路：(1)假定建筑结构是线弹性多自由度体系；(2)利用振型分解，变为求解n个独立的等效单自由度弹性体系的最大地震反应，从而求得每一振型的作用效应；(3)按SRSS或CQC法则进行作用效应组合。振型分解法只需考虑前几阶振型，减小计算量。 对大多数质量和刚度分布比较均匀和对称的结构，不需要考虑水平地震作用下的扭转影响，可在建筑物的两个主轴方向分别考虑水平地震作用进行验算，各个方向的水

3、平地震作用全部由该方向的抗侧力构件承担。所以，在单一方向水平地震作用下的一个 n 质点的结构体系只有 n 个自由度。1. 多自由度弹性体系的运动方程 设xg(t)为地震时地面运动的水平位移，xi(t)表示质点i相对于基础的位移；P(t)=0(体系上无外荷载)，这样作用在质点i上的力有式中 Si(t)、Ii(t)、Ri(t) 分别为作用于i质点上的惯性力、弹性恢复力和阻尼力；对多质点体系中的每个质点均存在平衡 方程式：质点 处产生单位侧移，而其他质点 保持 不动时，在质点 引起的弹性反力；质点 处产生单位速度，而其他质点 保持 不动时，在质点 处产生的阻尼力；集中在 质点上的集中质量； 质点 在

4、t时刻相对于基础的位移； 质点 在t时刻相对于基础的速度； 质点 在t时刻相对于基础的加速度； 因此对于一n个质点的体系可写出由n个微分方程组成的微分方程组，其矩阵表达形式为式中 M 对角型的质量矩阵； K 刚度矩阵，为nn阶的对称方阵； C 阻尼矩阵，取为质量矩阵和刚度矩 阵的线性组合。 即CMK其中系数、分别为 除质量矩阵是对角矩阵，不存在耦联外，刚度矩阵和阻尼矩阵都不是对角矩阵，存在着耦联现象，给求解微分方程组带来困难。需用振型正交性和振型分解原理来解耦，以简化方程组的求解。 用振型分解反应谱法计算多自由度弹性体系的地震作用时，需知道体系的各个自振周期及振型。将式中的阻尼项和非齐次项略去

5、，即得到无阻尼多质点弹性体系的自由振动方程，求解体系的自由振动方程可得到体系的各个自振周期及振型。2. 多自由度弹性体系的自由振动无阻尼多质点弹性体系的自由振动方程为设方程的解为 (1)所以式中 X 体系的振动幅值向量，即振型； 初相角。将式(1、2)代入式，得 (2)动力特征方程体系发生振动， 有非零解，则必有：多自由度体系的动力特征值方程 其解由小到大排列为为体系第i阶自由振动圆频率 一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态动力特征方程 将求得的i依次代入方程，可求对应每一频率时各质点的相对振幅值xi，由相对振幅值绘制的各质点的侧移曲线为对应于该频率的主振型(振型)。

6、第一振型称为基本振型，其他各振型统称为高振型。 将其展开后得到以2为未知数的一元n次方程，这个方程的n个根(12、12 、 n2)即为体系的n个自振频率。由n个值可求得n个自振周期 其中自振频率1和自振周期T1称为第一频率和第一周期(基本频率和基本周期)，而其余的顺次称为第2、3、 自振频率(或自振周期)。 多质点体系的自由振动方程也可用柔度矩阵表示。用柔度矩阵表示的多质点体系自由振动方程为： 它有非零解的充分必要条件也是系数行列式等于零，即 式中ik表示在k质点处作用一个单位力，在i质点处引起的位移。将上式展开则是以为未知数的一元n次方程，求解该方程并利用 ，可得出体系的n个自振频率。 利用

7、振动频率j与振动周期Tj的关系，可求出体系的n个振动周期Tj 。讨论一个两质点体系，由刚度表示的自由振动方程为 其系数行列式为零，展开后得到以2为未知数的一元二次方程其两个根为： 将12或22代回式中 体系在每个自振频率下，各质点均按同一频率和相位角作简谐振动，且同时达到各自的最大幅值；在整个振动过程中，两质点的振幅比是一个常数，由此比值确定的振动形式是与频率相对应的振型。解:例.求图示体系的频率、振型. 已知:m1m211.61810.618 多自由度体系作自由振动时，任意两不同的主振型间存在着正交性。 当作j振型振动时质点i因其振幅xji 引起的的惯性力为mij2xji；作k振型振动时质点

8、i因其振幅xki引起的惯性力为mik2xki。因此由j振型产生的各质点惯性力在k振型的虚位移上所作的功为 Ejk；而k振型产生的各质点惯性力在j振型的虚位移上作的功为Ekj； 3. 振型的正交性1）振型关于质量矩阵的正交性根据功的互等定理 ，得 由于各质点在i下的xij构成体系第i振型的振幅向量Xj;上式可以改写成矩阵表达式： 振型关于质量矩阵正交性的物理意义是： 某一振型在振动过程中所产生的惯性力不在其他振型上作功，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其他振型的振动。弹性力学中的一个定理，又称互等功定理，是意大利的E.贝蒂于1872年和英国的瑞利于1873年分别独立提出的，故又称贝

9、蒂-瑞利互等功定理。可叙述为：如在某线性弹性体上作用两组广义力，则第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。这一定理适用于线弹性体小变形的情况。若上述两组广义力都只包含一个广义力且彼此相等，此定理即化为位移互等定理。 因 因振型关于质量矩阵正交，当jk时，上式右边为零。所以有下式： 2）振型关于刚度矩阵的正交性 振型关于刚度矩阵正交性的物理意义： 体系按K振型振动时引起的弹性恢复力在振J型位移上所作的功之和等于零，也即体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去。 由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，运用振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交

10、性原理，振型关于阻尼矩阵也是正交的，即：3）振型关于阻尼矩阵的正交性当 jk 时，4振型分解 n个自由度的弹性体系具有n个振型；为体系按某一振型振动时各个质点的相对位置。以某三层框架为例，其三个振型如图，其中xji为j振型下i质点的水平相对位移。其三个振型的振型向量如下： 把n个振型集中起来形成振型矩阵A(nn阶的方阵)。 根据振型叠加原理，体系每一质点在振动中的位移可分解为以振型为变量的线性组合： qi(t)是以振型为广义坐标体系的一坐标轴，xi(t)是坐标qi(t)的分量。xji可视为q(t)的函数。因此多质点体系的位移、速度和加速度列向量分别表示为：多质点弹性体系运动微分方程的矩阵表达式

11、可改为： 5.计算水平地震作用的振型分解反应谱法等式两端左乘AT得 因 ，将上式展开后可得n个独立的二阶微分方程，引入广义质量、广义刚度和广义阻尼的符号；对于体系的第 j 振型，可写为 上式为一单自由度弹性体系的运动方程，它是以广义坐标qi(t)作为未知量；同时考虑与体系自振频率有关地震波的参与程度。 经过上述处理，把多自由度体系运动微分方程组化为一组由n个以广义坐标qi(t)为未知量的独立方程，其中每个方程对应体系的一个振型。由单质点体系的振动可知，方程的解为 j(t)为阻尼比、自振频率分别为j和j的单自由度体系以广义坐标qi(t)作为坐标的体系位移。 因此多自由度体系i质点相对于基础(直角

12、坐标系)的位移和加速度为 质点任意时刻的水平地震作用1质点i任意时刻的水平地震作用 由结构动力学得 t 时刻体系第 j 振型下 i 质点的水平地震作用为 i质点在j振型下的水平地震作用标准值Fji为上式的最大值： 式中 j j振型的地震影响系数 xji j振型下i质点的水平位移 j j振型的振型参与系数 Gi i质点的重力荷载代表值 式中的 为阻尼j和自振频率j的单自由度弹性体系的最大绝对加速度反应 ,则 求得i振型j质点的水平地震作用后，可计算j振型的水平地震作用所产生的效应。 6 地震作用效应层间剪切型结构的各楼层水平地震层间剪力： 由上式求得的各振型下的层间剪力是各振型地震作用单独作用下

13、的最大效应值。这些最大值同时出现的可能性极小，应对各振型的作用效应进行组合。抗震规范规定了两种组合方法： (1)完整二次项组合法(CQC法) (2)平方和开方法(SRSS法) 方法(1)主要用于平移-扭转藕连体系；方法(2)主要用于平面振动的多质点弹性体系，方法(2)假定输入地震为平稳随机过程，各振型反应之间相互独立，再根据相互独立的随机过程求解出地震的总效应等于各振型的作用效应的平方和开方。 式中: S 水平地震作用的效应； Sj j振型水平地震作用的效应。 7 楼层水平地震剪力最小值地震动态作用中的地面运动速度和位移可能对长周期结构的破坏具有更大影响， 抗震规范 规定结构任一楼层的水平地震

14、剪力应符合下式要求 例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）已知体系的自振周期和振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数1.400.90(1.20)0.50(0.72)-罕遇地震0.320.16(0.24)0.08(0.12)0.04多遇地震 9 8 7 6地震影响烈度地震影响系数最大值（阻尼比为0.05）查表得地震特征周期分组的特征周期值（s）0.90 0.65 0.450.35

15、第三组0.75 0.55 0.400.30第二组0.65 0.45 0.35 0.25第一组 场地类别例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数查表得第一振型第二振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数第一振型第二振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈

16、度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第一振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第二振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各

17、振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型第三振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）第一振型第一振型1振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影

18、响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）1振型第二振型2振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层的水平地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地震作用效应（层间剪力）1振型2振型第三振型3振型例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。解：（1）求体系的自振周期和振型（2）计算各振型的地震影响系数（3）计算各振型的振型参与系数（4）计算各振型各楼层地震作用第一振型第二振型第三振型（5）计算各振型的地