《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

1、 第13章三角形中的边角关系、命题与证明学习要求：1理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。2掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4了解三角形的稳定性。知识要点：一、三角形中的边角关系1三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。注意：三角形的中线平分三角形的面积。三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线

2、段的和是否大于第三条最长的线段。3三角形各角之间的关系：三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180。三角形的外角和等于360（每个顶点处只取一个外角）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：不等边三角形三角形1等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形按角的关系可以如下分类：直角三角形RtA（有一个角为直角的三角形）三角形斜三角形J锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）八一J钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）5三角形具有稳定性。知识结构：用正多边形铺满地面二、命题与证明1判断一件事情的

3、句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2.命题都可以写成：“如果，那么。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。3命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。4命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。7定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：（1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。（2）两直

4、线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行（3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。（7）等腰三角形的判定与性质。（8）直角三角形的判定与性质。9反证法假设，推理，矛盾，结论。第13章三角形中的边角关系、命题与证明练习题一、填空题：三角形的一边是8,另一边是1,第三边如果是整数，则第三边是，这个三角形是三角形。TOC o 1-5 h z已知三角形两边的长分别为1

5、和2,如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为。三角形的三边长分别为a-1，a，a+1，则a的取值范围是。三角形的三边为1,1a，9，则a的。已知a，b，c为AABC的三条边，化简寸（a+b-c）2|bac|=。在ABC中，AB=AC,AD是中线，AABC的周长为34cm,AABD的周长为30cm，求AD的长。如图，CE平分ZACB，且CE丄DB,ZDAB=ZDBA,AC=18cm,CBD的周长为28cm，贝DB=AB&已知等腰三角形两边长分别为4和9,则第三边的长为。题图9.等腰三角形的周长为20cm,TOC o 1-5 h z（1）若其中一边长为6cm,则腰长为;（2）若其中一边长为5cm

6、,则腰长为。10等腰ABC中，AB=AC,BC=6cm,则厶ABC的周长的取值范围是。等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题TOC o 1-5 h z已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4,则这个等腰三角形顶角的度数为。三角形的最小角不大于度，最大角不小于。16三角形的三个内角中至少有个锐角，三个外角中最多有个锐角。在ABC中，若ZC=2（ZA+ZB），则ZC=。11在ABC中，ZA=2ZB=3ZC,则ZB=。如果A

7、BC的一个外角等于150，且ZB=ZC，则ZA=。如图，已知Z1=20，Z2=25，ZA=50。，则ZBDC的度数是。如图，在ABC中，ZA=80,ZABC和ZACB的外角平分线相交于点D,那么ZBDC=纸片ABC中，ZA=65,ZB=75，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内（如图），若Z1=20，则Z2的度数为。F第20题图）第21题图）第22题图）纸片ABC中，ZA=65,ZB=75，将纸片的一角折叠，使点C落在AABC外（如图），若Z2=20，则Z1的度数为认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1：如图1,在厶ABC中，0是ZABC与ZACB的平分线B

8、O和CO的交点，通过分析发现1ZB0C=90+-ZA,理由如下：厶VB0和C0分别是ZABC和ZACB的角平分线，11.Z1=ZABC,Z2=ZACB221.Z1+Z2=-（ZABC+ZACB）厶又VZABC+ZACB=180-ZA11AZ1+Z2=2(180-ZA)=90-ZA11.ZB0C=180(Zl+Z2)=180(90ZA)=90+ZA。22探究2：如图2中，0是ZABC与外角ZACD的平分线BO和CO的交点，试分析ZBOC与ZA有怎样的关系？请说明理由。探究3：如图3中,0是外角ZDBC与外角ZECB的平分线B0和CO的交点，则ZB0C与ZA有怎样的关系？(只写结论，不需证明)。结

9、论：I如图，已知ZA=80,TOC o 1-5 h z若点0为两角平分线的交点，则ZB0C=；若点0为两条高的交点，ZB0C=。如图，AABC的面积等于12cm2，D为AB的中点，E是AC边上一点，且AE=2EC,0为DC与BE交点,若厶DB0的面积为acm2CE0的面积为bcm2，则a-b=。如图，AABC的ZB的外角的平分线与ZC的外角的平分线交于点P,连接AP。若ZBPC=50，贝VZPAC=。第25题图)(第26题图)如图，AABC的外角ZACD的平分线CP与内角ZABC的平分线BP交于点P,若ZBPC=40，则ZCAP=度。12345.5678910111213.14151617二、

10、选择题：在下列长度的四根木棒中，能与3cm,7cm两根木棒围成一个三角形的（）A7cmB4cmC3cmD10cm若氐ABC的三边长分别为整数，周长为11,且有一边为4,则这个三角形的最大边长为（）A.7B.6C.5D.4若ABC的三边之长都是整数，周长小于10,则这样的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a的取值范围是（）A.-6a-3B.5a2C.2a5D.a2一个三角形的周长为奇数,其中两条边长分别为4和2011,则满足条件的三角形的个数是（A.3B.4C.D.6四条线段的长度分别为4、6、8、10,可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.

11、2D.1等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分,则此三角形底边之长为（）A.7B.11C.7或11D.不能确定一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数（）A.60B.75C.90D.120如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和,这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形三角形的一个外角大于相邻的一个内角,则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定在厶ABC中，如果ZAZB=90，那么ABC是（）A

12、.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.斜三角形三角形中，最大角a的取值范围是（）A.0a90C.60a90B.60a180D.60aAC，则ZA的取值范围是（）A.0ZA180B.0ZA80oC.50ZA130D.80ZAZB,AD丄BC于D,量关系？如图(b)，AE平分ZBAC，F为其上一点，且FD丄BC于D,这时ZEFD与ZB、ZC又有何数量关系？ 如图(c),AE平分ZBAC,F为AE延长线上一点，FD丄BC于D,这时ZAFD与ZB、ZC又有何数量关系？如图，PABC内任意一点，求证:ZBPCZA；ZBPC=ZABP+ZA+ZACP；AB+ACPB+PC。如图中的几个图形是五角星和

13、它的变形A图(1)中是一个五角星，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZEo图(1)中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？(即ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE如图(2),说明你的结论的正确性。把图(2)中点C向上移动到BD上,五个角的和(即ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE)有无变化？如图(3),说明你的结论的正确性。ABE11.如图已知厶ABC中,若ZABC=30若ZABC=a,ZB和ZC外角平分线相交于点P。,ZACB=70,求ZBPC度数。ZBPC=B,求ZACB度数。AABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是AABC边上的两点。如果纸片沿直线脚折叠，使点A正好落在线段AC上，如图1,此时Z

14、A与ZBDA的关系是如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的内部，如图2,试猜想ZA和ZBDA、ZCEA的关系是如果纸片沿直线DE折叠，使点A落在ABC的外部，如图3,则此时ZA和ZBDA、ZCEA的关系是，请说明理由。如图所示，BE、CD交于A点，ZC和ZE的平分线相交于F。试求：ZF与ZB,ZD有何等量关系？当ZB:ZD:ZF=2：4：x时，x为多少？若ABC的三边之长都是整数，周长小于10,则这样的三角形共有几个?有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知AABC的三边长分别是a,b,c。且a、b、c的值满足等式|b+c2a|+(b+c5)2=0,求b的取值在什么范围？”。你能

15、解答这道题吗?在ABC中，ZAZBZC，且ZA=4ZC，求ZB的范围在ABC中，ZA是最大角，ZC是最小角，且ZA=2ZC，求ZC的取值范围。第13章三角形中的边角关系练习题答案一、填空题：1.9.3.a2。4.9a12。11.1。8，等腰。2.2。12.10厘米或吕厘米。13.有两个角相等的三角形是等腰三角形；14.20或12017.120；18.60；19.30或120；20.95；15.60，60；16.2，1；21.50；CFE+ZC=ZA+ZB+ZC,解：如图，TZCEF+Z23.2425.26.27.AZCEF+ZCFE=ZA+ZB=85+55=140,又将纸片的一角折叠，使点C落

16、在ABC内，AZCzEF+ZCzF=ZCEF+ZCFE=140,.ZCEC+ZCEC=140+140=280,VZ1=20,.Z2=180X2ZCECz+ZCECzZ1=360故答案为：60。解：如图，VZA=65,ZB=75,AZC=180ZAZB=180657528020=60=40；又将三角形纸片的一角折叠，使点C落在ABC外,AZCz=ZC=40,而Z3+Z2+Z5+ZCZ=180,Z5=Z4+ZC=Z4+40,Z2=20,AZ3+20+Z4+40+40=180,AZ3+Z4=80,.Z1=18080=100。故答案为100。11ZBOC=ZA,ZBOC=90ZA；22（1）130；（

17、2）100或80；2；解：延长BA,做PN丄AD,PF丄BA,PM丄BC,设ZPCD=x,.CP平分ZACD,.ZBCP=ZPCD=x,PM=PN,TBP平分ZABC,.ZABP=ZPBC,PF=PN,.PF=PM,ZAPC=50,.ZBAP=ZPAC=（x50）,.ZABC=ZBCDZBAC=2x（x50）（x50）=100.ZCBF=100,在RtAPFB和RtAPMB中，PA=PA,PM=PF,.RtAPFB9RtAPMB,.ZFAP=ZPAC=40o2850。二、选择题：1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.C11.D12.B13.C14.B15.C16.B17.

18、B18.B19.C20.B21.C22.A23.B24.D25.D26.C27.Co考点：三角形内角和定理。分析：根据外角与内角性质得出ZBAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出ZCAP=ZFAP，即可得出答案。解：延长BA,作PN丄BD,PF丄BA,PM丄AC,设ZPCD=x,TCP平分ZACD,.ZACP=ZPCD=x,PM=PN,TBP平分ZABC,.ZABP=ZPBC,PF=PN,.PF=PM,VZBPC=35,.ZABP=ZPBC=(x-35),.ZBAC=ZACD-ZABC=2x-(x-35)-(x-35)=70.ZCAF=110,在RtAPFA和RtAPM

19、A中，PA=PA,PM=PF,.RtAPFA9R也PMA,.ZFAP=ZPAC=55o故选C。三、解答下列各题：（1）5VxV13；18VAABC的周长V26；当x为偶数时，x=6、8、10、12；当ABC的周长为偶数时，x=7、9、11；当AABC周长是5的倍数时，x=7、12；若ABC为等腰三角形，x=9oa=2,b=1,1cZPDCZA；ZBPC=ZPDC+ZACP；ZPDC=ZA+ZABP；ZBPC=ZAZABPZACP。.AB+ADBD。PDDCPC。.ABADPDDCBDPC。.ABACPBPC。(1)180。(2)无变化。理由：ZCAD+ZB+ZC+ZE=ZCAD+ZEAD+ZB

20、AC=180。(3)无变化。理由:ZCAD+ZB+ZACE+ZD+ZE=ZACB+ZACE+ZECD=180。11解：(1)ZBPC=180-(2乙EBC+-ZBCF)11=180-(ZEBC+ZBCF)=180-(180-ZABC+180-ZACB)221=180-(180-30+180-70)2=50；1(2)ZBPC=180-(180-ZABC+180-ZACB)21=(ZABC+ZACB),2ZBPC=B,ZABC=a,1B=(a+ZACB)。2故ZACB=2Ba。12.解:(1)ZBDAz=2ZA；根据折叠的性质可知ZDAE=ZA,ZDAE+ZA=ZBDA，故ZBDA=2ZA；ZBDA+ZCEA=2ZA,理由：在四边形ADAE中，ZA+ZDAE+ZADA+ZAEA=360,.ZA+ZDAE=360ZADAZAEA,VZBDAZ.ZBDA.ZBDA+ZADAZ=+ZCEA+ZCE