刚体和流体的运动

1、3-1 刚体模型及其运动3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律3-5 进动* 3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程3-7 牛顿力学的内在随机性 混沌第三章 刚体和流体的运动2022/7/292花样滑冰运动员的“旋”动作2022/7/293一、刚体的角动量 如图，以角速度绕定轴Oz转动的一根均匀细棒。zmiriRiOviLiLizL3-4 定轴转动刚体的角动量定律角动量守恒定律刚体对定点O点的角动量zmiriRiOviLiLizL（1）先求第 i 个质点对O点的角动量 Li 。（2）再求所有质点角动量的矢量和，就是刚

2、体对O点的角动量Lo 。把细棒分成许多质点，其中第i个质点的质量为 当细棒以转动时，该质点绕轴的半径为它相对于o点的位矢为则 对o点的角动量为：2022/7/2942022/7/295因，所以 的大小为方向如图所示。RimiviLi刚体对O点的角动量，等于各个质点角动量的矢量和。 刚体绕定轴的角动量miriRiOviLiLizL从图中得出： 而分量 实际上就是各质点的角动量沿 轴的分量 之和。 对于定轴转动，要求 对 轴的分量 ，刚体绕定轴转动的角动量。2022/7/2962022/7/297刚体绕定轴的角动量：刚体对 轴的转动惯量，用J 表示。二、 定轴转动刚体的角动量定理冲量矩当 M=0

3、时，刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变， 这一规律就是定轴转动的角动量守恒定律 。由定轴转动定律即三、 定轴转动刚体的角动量守恒定律a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量=恒量b.若系统由若干个刚体构成，当合外力矩为零时，系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。讨论：花 样 滑 冰收臂大小Iw张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw 被 中 香 炉惯性导航仪（陀螺） 角动量守恒定律在技术中的应用 2022/7/2912分析：第一阶段，小虫与细杆的碰撞瞬间。研究系统：小虫和细杆。受力分析：小虫只受重力作用

4、，在碰撞瞬间，对O轴不产生力矩。细杆受重力和支持力作用，通过O轴，不产生力矩。系统所受合外力矩为0，角动量守恒。例题1，质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?2022/7/2913第二阶段：细杆+小虫。细杆以w转动，在小虫的重力矩作用下，系统角动量发生改变。由刚体转动定理，得即由于2022/7/2914例题2，一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由

5、下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解：M在自由下落过程中只有重力做功，机械能守恒。因此，碰撞前 M 落在A点的速度为2022/7/2915把M、N和跷板作为一个系统，碰撞瞬间系统合外力矩为0，系统角动量守恒。设跷板的角速度为w。解得演员 N 以速度u 起跳，达到的高度为ll/2CABMNh2022/7/291617m (黏土块) yxhPOM光滑轴均质圆盘（水平）R例题3，如图示，已知：h，

6、R，M=2m， =60求：碰撞后的瞬刻，盘 P 转到 x 轴时，盘 解：m下落：(1) mPhv对（m +盘）系统，碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，系统角动量守恒：(2) (3)18对（m + M +地球）系统，只有重力作功，机械能守恒。令P、x 重合时 EP = 0，则：mmgOMR (5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得： (4)1 2练习1：人与转盘的转动惯量J0=60kgm2,伸臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 。解：研究对象：人受力

7、：重力和支持力，对中心轴的合外力矩为0，因此角动量守恒。由转动惯量的减小，角速度增加。2022/7/2919练习2：有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度 为多大？解：对于整个系统不考虑轴间摩擦阻力矩，则系统不受外力矩作用，碰撞前后角动量守恒。2022/7/2920Lo练习3：一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴O固定.在

8、微扰动作用下以O为轴倒下。求：当杆与竖直方向成 角时，对轴的角速度 = ？解1：先求在任意角 时杆对O点的力矩(重力矩)。质元：dmx质元对轴的力矩为2022/7/2921M是变力矩，由刚体定轴转动定律，得(变角加速度)进而，可由积分求出2022/7/2922解2：由转动动能定理解。先求在任意角 时杆对点O的力矩(重力矩)由转动动能定理.Lcox2022/7/2923刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同。Lcohc解3:用机械能守恒定律来解。L/2L/2hc2022/7/2924总结学习定轴转动刚体的角动量定理；理解定轴转动系统的角动量守恒定律；掌握利用角动量守恒定律解决问题的方法。

9、2022/7/2925回转仪定向原理L万向支架基 座回转仪w常平架由内外两个圆环构成，外环能绕光滑支点A、A所确定的轴线自由转动，内环可绕外环上的光滑支点B、B所确定的轴线自由转动。回转仪是一个边缘厚重并能绕自身的对称轴高速转动的转子，自转轴C、C安装在常平架的内环上。AA、BB和 CC彼此垂直，并且都通过回转仪的质心。特点：回转仪的转轴在空间可取任何方位。3-5 回转仪 进动1、回转仪的定向性2022/7/29262、回转仪的进动演示实验：观察现象：高速自旋的物体在空间转动的现象叫进动。ZO飞轮的轴一端做成球形，放在固定竖直杆顶端的凹槽内。2022/7/2927进动演示仪2022/7/292

10、8因此，飞轮的自转轴在水平面内由OA位置转到OB位置，这一转动的连续进行就形成进动。ZO由 ， 与 的方向相同。图示，当飞轮轴为水平的情况，角动量L的方向向右。 飞轮的外力矩：重力矩M的方向垂直纸面朝里，M垂直于L。分析飞轮受力：重力G和支持力。支持力对O点的力矩为0。OABr2022/7/2929L的大小不变，方向要改变。Q飞轮所受的重力矩的大小：方向总是垂直于L在dt时间内自旋轴转过的角度:进动角速度W，为2022/7/2930ZO进动现象是自旋物体在外力矩作用下沿外力矩方向改变其角动量的结果。进动角速度W的计算：旋进实例玩具陀螺的进动高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O的力矩作用下发生进动。

11、2022/7/2931对O点，陀螺的角动量为由角动量定理由于因而只改变方向，不改变大小(进动)近似讨论，只适用高速自转，即 重力对定点O的力矩2022/7/2932 进动角速度而且由转动定律所以近似讨论，只适用高速自转，即2022/7/2933当旋进发生后，总角速度 只有刚体高速自转时，才有 这时才有 和以上 的表示式。 当考虑到 对 的贡献时，自转轴在进动中还会出现微小的上下的周期性摆动，这种运动叫章动（nutation）。章动(nutation) 2022/7/293435弹筒内壁的来复线（螺旋线）炮弹的引爆需要弹头击中目标，炮弹前进过程所受空气阻力一般不通过质心，所以炮弹有可能翻转。因此

12、，弹道无法预料，瞄不准目标。pC2022/7/2936地轴进动进动周期25800年秋分点春分点西二分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分点秋分点春分点恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差（precession）岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒北半球南半球黄道面赤道面太阳东2022/7/29 岁差37我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年） 前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。晋朝（公元265 316）虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：391年有144个闰月。祖冲之（公元429 500）编大明历最先（精确值为50.2/年）2022/7/2938随着地球自转轴的进动，北天极方向不断改变。北极星3000年前 小熊座 星 现在 小熊座 星12000年后 天琴座 （织女）T = 25800年C1C2F1F2太阳赤道平面黄道平面地球北天极地轴L地球自转角动量（F1F2 ）M地球自转轴进动2022/7/29思考题（1）一个处于平衡状态的回转仪绕水平轴转动，开始时无进动。如果用手指在与转轴垂直的水平方向上推一下转轴，回转仪的运动将会发生什么变化？2022/7/2939(2)一个回转仪绕水平轴转动，同时绕竖直轴进动。如果在回转仪的一端挂上一重物，进动速率发生什么变化？2022/7/2940小结 1)理解