生产与库存问题

1、生产与库存问题的数学模型摘要随着中国经济的发展，中小企业在我国经济发展过程中起着越来越重要的作 用。生产与库存问题一直是学术界及企业十分关注的问题。如果库存量过大，流 动资金占用过多，就会影响企业的经济效益，但如果库存量过小，乂难以保证生 产经营活动的正常进行。在生产经营管理活动中也是如此，除了合理安排生产外, 还遇着采购的物资和生产的产品都在入库，这就关系到最佳库存量的问题。库存 量多了增加成本费用，库存量少了，会造成供不应求，在收益上造成损失，因此 库存合理，不仅能增强资金的流动活力，而且能降低成本，提高利润。下面用动 态规划数学模型来处理一类库存问题，既保证市场的需要，乂能降低总的成本。

2、关键字：动态规划，生产库存，数学模型一、问题的提出库存管理一直是现代企业物流管理的一个核心部分，同时也是我国许多企业 内部管理上的薄弱环节。库存是占用流动资金的一个大的方面，如何尽可能减少 原料和产品库存，降低库存成本，乂能准时完成对生产的供应，是库存管理系统 的最现实的问题。加入WTO后，面对世界其他国家烟草强手即将到来的激烈竞争, 我国的烟草企业越来越意识到，企业要在竞争中站稳脚跟，求得发展，就必须加 强物流方面的管理，并以此来降低成本，提高企业的竞争力。甚至有人提出了零 库存概念，零库存的概念，零库存是一种特殊的库存概念，零库存的概念：是指 物料（包括原材料、半成品和产成品等）在采购、生

3、产、销售、配送等一个或凡个经 营环节中，不以仓库存储的形式存在，而均是处于周转的状态。并且在韩国、日 本得到广泛应用，尤其是在钢铁库存方面，并引起了宝钢、首钢的关注，决定下 大力气解决他们的库存问题。本文针对三个具体的案例，建立了数学动态规划模 型，用LINGO软件将其解决。第一类问题是期初库存为零且成本固定的情况；第 二类问题是期初有库存且给定生产成本；第三类问题是期初有库存但生产能力受 限二、模型假设假设产品不受其他外界因素影响假设企业能可持续发展假设所得数据有效真实三、符号说明心：R阶段该产品的生产量（或采购量）4： #阶段市场对该产品的需求量:决策为每个阶段的产量岭：状态变量岭T： #

4、阶段开始的库存量q（天）：#阶段生产该产品的成本费用K :生产固定成本axk :产品成本九（匕）：k阶段末库存量岭所需的库存费用fk （vk）:从第一阶段初始库存量为零到k阶段末库存量为岭时最小的总费用四、模型的分析与建立4.1动态规划模型建立（1）划分阶段（2）正确选择状态变量决策变量心为k阶段该产品的生产量（或采购量），4为A阶段市场对该产品 的需求量，状态变量为匕=片_+玉.（# = 1,2,3,.,）。其中岭_表示R阶段开 始的库存量，玉.（匕+4。（3）确定决策变量及允许决策集合（4）确定状态转移方程阶段按计划时间自然划分，状态定义为每阶段开始时的储存量从，决策为每 个阶段的产量缉，

5、记每个阶段的需求量（己知量）为4,则状态转移方程为M+i = xk + uk -dk,xk 0,k = 1,2,.（5）确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规划基本方程用q（.q）表示上阶段生产该产品的成本费用，它包括生产固定成本k和产品 成本心女（其中。是单位产品成本）两项费用，即CJ玉）= K + aq（R = l,2,.,）。 当从=0时，G（xQ = 0。用九（*）表示k阶段末库存量岭所需的亩存费用，故A阶 段的成本费用为q （丸）十九（*）。用A （K）表示从第一阶段初始库存量为零到A阶 段末库存量为此时最小的总费用，于是可得库存问题5】动态规划基本方程：f：（岭）=婴, （c,

6、g）+hk（vk）+人-（*_）= i,2,. . A A 人期初库存为零且成本固定的情况库存系统的优化方法：某工厂对一种产品拟出一个季度生产计划，据预测，在下一季度三个月中市 场对产品的需求量分别为3, 2, 4,并设每月产品固定成本为5,单位变动成本为 1,每单位产品的库存费用为0.2,假设季度开始库存量和季度末库存量均为0,问 该厂如何安排下季度三个月的生产，使其既满足市场的需要乂使季度的总成本最 低？解：将下季度三个月分为三个阶段，即阶段变量k=l,2,3。以为决策变量，表 示第#个月的生产量，公（易）为第A个月的生产成本，海为第k个月市场需求量， 将态变量岭为第k个月末库存量，九（、

7、）为第#个月库存费用，指标函数人（*）为 第一个月至第k个月的积累成本，即A （* ） = 、畔.Q 成）+ 九（*） + A-i（*-】） M = 1,2,3,Vo（K） = o.其中q（玉）=固定成本+变动成本=5 +从x 1 = 5 +五;*_ = * + dk - xk, vk 2dk(库存量不超过市场需求量的二倍)；岛=0,v3 =0,也+4，/?(攻)=。.2% 下面分别就4 = 1,2,3.进行计算。当A = 1 时，有(vj= niiii (5 + x1 + O.2v1 + /o(vo)Vi Hi因4 = 3n* 为=3,4,5,6,78,9于是有：(0) = 5 + 气 +

8、0.2 K = 5 + 3 = 8, = * = 0, X； = 3(1) = 5 + 耳 + 0.2% = 5 + 4 + 0.2 = 9.2,=%* = 1,=4f (2) = 5 + 5 + 0.2 x 2 = 10.4,= 匕=2, x； = 5k(3) = 5 + 6+0.2x3 = 11.6,nV； = 3,x： = 6/；4(4) = 5 + 7 + 0.2x4 = 12.8Vl* = 4,x； = 7f (5) = 5 + 8 + 0.2x5 = 14,AV； = 5,x；= 8f (6) = 5 + 9 + 0.2x6 = 15.2,=Vf = 6,x： = 9当k = l时

9、，表格计算如表3-1表3-1/(*) = 5 + &+0.2*九W)V；/；56789012345689.210.411.612.8415.289.210.411.612.81415.20,31,42,53,64,75,86,9当k = 2时，有以*)= 1是n 5 + 易 + 0.2* + 九(匚)因为:4 = 2,n匕 K = 0,1,2,3,4;x2 x2 = 2,3,4,5,6：K=V,+d,丛,0匕=0,1,2,3,4。于是有：(0) = 5 + 2 + 0.2x0 + f (0) = 7 + 8 = 15,=* = 0,x； = 2U(0) = 5 + 3 + 0.2xl + T(

10、0) = 8.2 + 8 = 16.2,n* = l,x； = 3U(2) = 5 + 4 + 0.2x2 + f(0) = 9.4 + 8 = 174=V； = 2,x；=4U(3) = 5 + 5 + 0.2x3 + /；(0) = 10.6 + 8 = 18.6,nV * = 4,工；=6当k = 2时，表格计算如表3-2表3-2我)wft (V2) = miii 5 + 上 + 0.2V2 + f* (* )成）V；,x：23456012341516.217.418.619.81516.217.418.619.80,21,32,43,54,6当 A = 3时，有七=。,工3 .q =

11、0,1,2,3,4 ,于是有 *(*)= nuii 5 + 易 + 0.2匕 +人(*+% 易)当 v3 = 0, x3 = 0 时，有(0) = 5 + 0 + 0 +(4) = 5 + 19.8 = 24.8当七=0,易=1时，有 (0) = 5 + 1 + 0 +(3) = 6 + 18.6 = 24.6（3）当七=0,易=2时，有(0) = 5 + 2 +0 +工(2) = 7 + 17.4 = 24.4当 v3 = 0,x3 = 3 时，有 (0) = 5 + 3 + 0 +(1) = 8 +16.2 = 24.2当 v3 = 0,x3 =4时，有(0)= 5 + 4 + 0+工(0

12、) = 9 + 15 = 24”24.8、1=24.24.624.424.224当A = 3时,表格计算如表3-3表3-3AW)= 5 + /+0.2* + y；(匕)勺八301234024.824.624.424.224240,4最优生产方案：、=3,x； = 2,x；=4,其最小总成本为24。市场需求量三个月 分别为:4 = 3,久=2,% = 4,三个月库存量每月末分别为:匚=0,崎=0,匕=0。4.1. 2期初有库存且给定生产成本一个工厂生产某种产品，17月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表:表34月份（k）1234567生产成本11181317201015（。）需求量（4）085

13、3274为了调节生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9o已知期初库存 量为2,要求期末(七月低)库存量为0。每个月生产的产品在月末入库，月初根 据当月需求发货。求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。阶段R：月份，A = 1,2,3,.,7,8;状态变量心：第k个月初(发货以前)的库存量；决策变量4：第k个月的生产量；状态转移方程：xk+l = xk -rk+ dk;决策允许集合：Dk (xk) = 414 0, /; +1 +1 而x6 r6+d6= x7 =4 因此有 口 =工7 +七一工6 = 4+7-*6 = 11-工6也是唯一的决策。因此递推方程为：f (% )

14、 = 】皿我+ (%)=10=10(11-) = 110-10对于A = 5, f5(x5) = niinc5J5 + f6(x6)= niui20J5 + 110-10=min 20 + 110-10(x5+ 6/5)=nun 20% +110 -10 (w _ 2 + g)=min (10d5 -10 x5 + 1302(X5)*1420“ 5-乌+4 0,/ + -x5 J5 0,9-x5 d5 ll-x5因为七0,决策允许集合可以简化为。5 (电)=09-x5d5ll-x5递推方程成为：f5(x5) = niui(106/5- 10 x5 +130)=10(9*5)10氏5 + 130

15、= 220-20a5对于k=4,人(w) = mm(c0 + /；(w)=niui (17J4 + 220 一 20电=nun 17% + 220 - 20 (七 - /; + %)=nun 1 ld4 + 220-20(x4-3+f/4)=nun 一 3/ - 20*4 + 280)。4(七)=4 14 20 x4-r4+d40,r5 + r4-x4d40,5-x4 d4 12-4=d4 | max0,5-x4d4 12-x4j由于在尤(七)的表达式中4的系数是-3,因此在决策允许集合中应取集合 中的最大值，即 = 12 心，由此人(&) = 一3(12-也)一20也+280=-17易+ 2

16、44, 对于k = 3, (电)=皿如4+ (%)= nun 12 + 244-1 7x4)=nun 13d3 + 244-17 (西-弓 + %)= min -4一 17七 + 329 ( = |义 2 0g 冯-弓+4 = 4/3 2 0山 + 弓 一 t/3 0,8-x3 r/3 14-x3=/31 max0,8-x3 J3 2(x2) = (J2 d2 0, x2-r2+d2 0,/; + /; -x2 0,13-x2 d2 0,所以 J2(x2) = J2 |13-x2 cl2 09r2 -7; + H=10 20,; + q -*i 4 0,8- dL 9-xJ根据题意气=2,所以

17、0(气)=|647由此，d】 = 1，片3) = 74 18& + 442= -7x7-18x2 + 442= 357将以上结果总结成下表：表3-5k1234567Ck11181317201015fk0853274Xk2959974dk713-X2=4 14-X3=9 12-X4=3 9-X5=011-X6=40期初有库存但生产能力受限设某工厂调查了解市场情况，估计在今后三个时期市场对产品的需要量如表3-6所示:表3-6时期K需求量血132435假定：不论在任何时期，生产每批产品的固定费用F为8（干无），单位产品的 生产成本费用为2（千元），单位产品每时期（阶段）库存货H为2（干元），最初库存

18、量 S1为1个单位，仓库容量M为4个单位，计划期末的库存量0。任何一个时期生 产能力所允许的最大生产批量B不超过6个单位。问题：在满足上述给定的条件 下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？解：将下季度三个月分为三个阶段，即阶段变量k=l,2,3。以为决策变量，表 示第#个月的生产量，q（七）为第R个月的生产成本，4为第#个月市场需求量， 将态变量山为第k个月末库存量，九（*）为第*个月库存费用，指标函数人（*）为 第一个月至第妃个月的积累成本，即fk （% ） = 甄树（易）+ 九（*） + 人t （%-】）M = 1，2,37o（vo） = 2其中ck化）=固定成本+

19、变动成本=8 +玉.x 2 = 8 + 2玉;y = + 4 -知* 4（库存量不超过市场需求量的二倍）；v0 = 1, v3 = 0,xk vk +勿-*-i，九（* ） = 2*卜面分别就A = 1,2,3进行计算。当R = 1 时，有/；*(*)=理8 + 2耳 + 2* + ./0(椿).I 一 十4 = 3mI、* = 0,1,2,3,4 , X X = 2,3,4,5,6 于是有：广(0) = 8 + 2气 + 2匕 + 2 = 8 + 6 = 14,=匚* = 0,* = 2/；(1) = 8 + 2为 + 2、+ 2 = 18,=咋=1,工：=3f (2) = 8 + 2x4

20、+ +2x2 + 2 = 22,n* = 2, = 4f (3) = 8 + 2x5 + 2x3 + 2 = 26,W * 易=4,5,6,7,8;X2 X2 = 4,5,6于是有：*(0) = 8+2匕 + 2岭+片*(*) = 30,岭* = 0,入；=4U(0) = 8 + 10 + 2 + 14 = 34,WV； = 1,x； = 5U(2) = 8 + 12 + 4 + 14 = 38,n* = 2,x； = 6当k = 2时，表格计算如3.8表38Af；(V2) = min 8+2x2 + 2岭 + f (*)成）V；x：4560123034383034380,41,52,6当k

21、= 3时，有匕=0,凡V +一* = 0+ 5 = 5,=丹=0,2,3,4,5*)= njig 8 + 2玉+2* + 人(* +一凡)（1）当 v3 = 0,x3 = 0 时，有(0) = 8 + 0 + 0 + /；(5).f：(5)不存在,.无解(2 )当 v3 = 0, x5 = 1 时，有(0) = 8 + 2 + 0+工(4).不存在,.无解（3）当七=0,毛=2时,(0) = 8 + 4 + 0+(3).不存在,二无解当 v3 = 0,x3 =3 时,(0) = 8 +6 + 0+(2) = 14 + 38 = 52当 v3 = 0, x3 = 4 时，有(0) = 8 + 8

22、 + 0 +工(1) = 16 + 34 = 50当 v3 = 0, x3 = 5 时，有六*(0) = 8+10+人*(0)= 18+30 = 4852/；(0)=nihi 5048=48当A = 3时,表格计算如表3-9表3-9片(*) = 8 + 2易 + 2* +(匕)V； x；0123450无解无解无解525048480,5最优生产方案：、= 3,x； = 4,x； = 5,其最小总成本为24。市场需求量三个月分别为：4 = 3,q=4, = 5,三个月库存量每月末分别为：匚=0,* = 0,* = 0。五、模型的评价及推广动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题而且是

23、用来解 决多阶段决策过程最优化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一个维决策问 题变换为儿个一维最优化问题，从而一个一个地去解决。对于此类问题，现实生活中也经常遇到，我们通过建模，把问题一般化，运 用动态规划的一般方法，对其进行有效的求解，使其成本达到最低，这也是企业 最根本的目的，所以该模型的推广就更显重要了。参考文献1张家善.基于多阶段决策的库存动态规划模型研究.中国市场.2010(49)2肖侃;谭长庚;丁玲；基于中文分词的文本相似度动态规划算法J现代电子技术,ModernElectronics Techiuque, 2011( 08): 72-743孙晓燕，李自良，彭雄凤,傅亚力，梁志强

24、.利用动态规划法求解运输问题的最短路径.机 械设计与制造.2010(02)4邢莉燕，李纪成.动态规划法在网络成本工期优化中的应用J.山东科学.1998(03)5牟德;陈秋双.基于安全库存的二级库存系统的优化方法J.系统工程,2003,(02)6唐立新;孙德刚.单一品种项目的生产批量问题的动态规划算法J.东北大学学报,1999,(04).附录算法程序的框图如下:图附录-1图的左边部分是函数序列的递推计算，可输出全过程最优值/,（）,如果需要 还可以输出后部子过程最优值函数序列fk（Xki）和最优决策序列诚（功）。计算过程 中存fg）是备计算九|之用，在九T算完后可用fl将人替换掉；存戒（4）是备

25、 右边部分读；（K）之用。图的右边部分是最优状态和最优决策序列的正向计算，可输出最优策略 ：（x：）和最优轨线x：,x；,X：。lingo代码：model：sets：lbj/1.5/:c;yf?1.6/:;sb/1.4/:;sll(yf,lbj):x,d,s;sl2(sb,lbj):t;sl3(sb,yf):n;end setsData:enddatamin= sum(sll(k,j):c(j)* x(k,j)+0.5 s(k,j);fot(yf(k):fdr(sb :suin(lbj(j):t(i,j)*x(k,j)=32O*n(i,k);for(yf(k)|k#gt# 1: for(lbj

26、 (j): s(k j)=s(s(k-1 ,j)+x(k,j)-d(k j);foi(lbj :s(l ,j)=8O+x( 1 j)-d( 1 ,j);for(lbj(j):s(6,j)=50);for(si 1 (k,j) :s(k,j)0);for(sll(k,j): x(k,j )=5 0);endmatlab 代码：function p_opt,fTal=dynprog(x,DecisFun,ObjFun,TransFun)% p_opt,fval=dynpiog(x,DecisFun,ObjFun,TransFun)%自由始端和终端的动态规划，求指标函数最小值的逆序算法递归%计算程序

27、。x是状态变量，一列代表一个阶段状态；M-函数% DecisFun(k,x)由阶段k的状态变量x求出相应的允许决策变量；% M-函数 ObjFim(k,x,u)是阶段指标函数，M-函数 TransFun(k,x,u)%是状态转移函数，其中x是阶段k的某状态变量，u是相应的决策变量;%输出p.opt由4列构成，p_opt=序号组;最优策略组;最优轨线组；%指标函数值组;fVal是一个列向量，各元素分别表示p_opt各%最优策略组对应始端状态x的最优函数值；%例(参看胡良剑等编数学实验-使用MATLAB) Pl80%先写3个函数%egl3fl_2.m% function u=DecisF_l(k,

28、x)%在阶段k由状态变量X的值求出其相应的决策变量所有的取值 %c=70,72,80,76;q=10*6,7,12,6;% if q(k)-x0,u=0:100; %决策变量不能取为负值% else,u=q(k)-x:100;end; %产量满足需求且不超过100% u=u(:);%egl3f2_2.m% function v=ObjF_l(k,XAi)%阶段k的指标函数% c=70,72,80,76;v=c(k)*u+2*x;%egl3f3_2.m% function y=TiansF_l (k,x,u)%状态转移方程% q=10* 6,7,12,6 ;y=x+u-q(k);%调用DynPr

29、og.m计算如下：% clear;x=nan*ones(14,4);% x 是 10 的倍数，最大范围 0 x130,% %因此x=0,l,.13,所以x初始化取14行，nan表示无意义元素% x(l:7,l)=10*(0:6) %按月定义x的可能取值%x(l: ll,2)=10*(0:10);x(l: 12,3)=10*(2:13);%x(l:7,4)=10*(0:6)%p,f=dynpiog(x；egl3fl_27egl3f2_2,；egl3f3_2,)% By X.D. Ding June 2000k=length(x( 1,:; fLopt=nan*ones(size(x); d_opt=fLopt;t_vubm=mPones(size(x);x_isnan=isnan(x);t_vub=mf;%计算终端相关值tmp 1 =fiiid(x_isnan(:,k);tmp2=length(tmp 1);fbr i=l:tmp2u=ffeval(DecisFun,k,x(i,k);tmp3=length(u);fbf j=l:tmp3tmp=feval(ObjFun,k.x(tmp 1 (i),k),u(j);if tmpv=t_v