关键字：引体向上,手臂,单杠,挠度,应力,静定问题

1、工程力学课程阶段作业引体向上力学模型的分析小组成员：011898李曦011899颜见秋011913卓开阔011917马超关键字：引体向上，手臂，单杠，挠度，应力，静定问题，一问题的引入引体向上，作为一个锻炼臂力的有效方法，是清华的一项传统运动，也是体育老师们对我们进行素质考核的重要项目。由于此运动十分普及，大多数同学对其中的诀窍都深有体会，但是很少有人去仔细分析其中的问题。在选题的过程中我们发现，看似简单的引体向上，其实包含了各种形态的力学模型，是一个很值得分析的对象。为什么有的同学在加强了技巧之后能大幅度的提升成绩，为什么有的同学苦练之后还是没有效果？这些都值得我们去好好分析。在参考了大量的

2、资料后，我们对模型进行了必要的简化，并得出了一些初步的结论。当然，由于所学有限，我们无法十分全面的考虑整个问题，不过，在目前已学的知识下，我们也能得出一些十分重要的结论。二初步分析的结果分析整个运动过程，我们可以发现，系统受力大致可以分为两部分，一部分是单杠，另一部分是人。单杠的分析相对比较容易，因为有现成的挠度公式，而且系统比较简单，只有三根杠。应用所学知识，可以轻易的算出单杠上各杠的情况。人的手臂则相对比较复杂，骨骼和肌肉数量很多，而且连接关系复杂，如果不进行简化，根本无法计算。在参考运动解剖学后我们发现，人的手臂可以简化成两根直杠和一根弹簧。经过简化之后，问题变得简单多了，我们也可以应用

3、现有的知识来计算静态下手臂的受力情况。由于动力学上的分析不易进行，我们分析了一些特定角度下手臂的受力情况。三单杠受力1模型说明：杆对单杠（梁）可等效为对梁的固定约束，人在单杠中央做引体向上，及两臂关于单杠中心对称，单杠自身重力可等效为均布载荷，且人对单杠所施力设为恒力。所建立的坐标系以单杠左端为原点，X方向从左向右。（上面简图中没有画单杠重力的均布载荷及两边杆对单杠的力矩）2基本数据及符号说明：单杠弹性模量：E=206.0GPa（设材料为Q235型钢）单杠材料密度：P二7.850 x103kg/m3单杠横截面半径：r=0.015m兀r4惯性矩：I=3.976xl0-8m44单杠长：l=2.00

4、0m人的重力：W=600.0N两臂间距：d二0.400mW两臂所施力皆为：F=300.0Np2单杠重力：G=pxgx兀r2I二7.850 x103x9.8x3.1415x0.0152x2.000=108.754N,G108.754等效为均布载荷：q=2000=54.377N/m左(右)手距单杠左(右)端距离：l二0.800m1单杠端受力：F=(G+2F)=354.377N，方向竖直向上y2p单杠端受力矩：M(待求)计算单杠端所受力矩M:取消右端约束，保留约束力F与力矩M，下面采用叠加法计算单杠最右端的挠度:y将梁上的载荷分解为五种简单载荷单独作用时的情形：左手施力单独作用：Fl3Fl2W二一,

5、0二一pA3EIA2EIFl3Fl2wp1+斗x(d+1)=2.032x10-2mTOC o 1-5 h zc3EI2EI1右手施力单独作用：F(l+d)3F(l+d)2w-4,0-4B3EIB2EIV八F(l+d)3F(l+d)2ww+0lp1+p1CBB13EI2EI3.右端F单独作用:yFl3wy-1.154x10-1mC3EI右端力矩M单独作用：Ml2wC2EI重力均布载荷单独作用：w必1.3278x10-2mC8EI单杠右端挠度应为0，将以上单独作用形成的挠度相加，其和为0：Fl3Fl2F(l+d)3F(l+d)2Fl3Ml2ql4wp1+x(d+1)+p1+p1xly+=0C3EI

6、2EI13EI2EI13EI2EI8EIMl23.959x10-2m2EI可求出：M162.126N-m4.计算单杠中点的挠度：依然取消右端约束，保留约束力F与力矩M,下面采用叠加法计算单杠中点的挠度：将梁y上的载荷分解为五种简单载荷单独作用时的情形：1.左手施力单独作用：TOC o 1-5 h zFl3Fl2w，0A3EIA2EIFl3Fl21wp1+xd8.595x103md3EI2EI22.右手施力单独作用：6EI3(l+d)x，其中xl12w+3d-1)1.587x10-2mTOC o 1-5 h zd24EI12右端F单独作用:yFx21w(x)y(3lx)，其中xl6EI25Fl3

7、wy3.606x10-2md48EI右端力矩M单独作用：Mx2w(x)2EIw9.897x10-3md8EI5重力均布载荷单独作用：&(x)=qX(x2+6l2-4lx)24Elo=旦乞=4.703x10-3md384EI将以上单独作用形成的挠度相加，得中点挠度为：Fl3Fl2mFl2lFl2mFl35Fl3Ml217ql4o=p+p1+p1+ppy+=3.012x10-3md3EI4EI8EI8EI48EI48EI8EI384EI分段计算梁的弯矩方程1.OA段：0 x/1剪力Fq=F-qxTOC o 1-5 h zM(x)+M-(F-qx)x-qx2=01y2M(x)=-M+Fx-qx21y

8、22.AB段:I,xd剪力F=F-qx-FQypM+M(x)-Fl-(F-qx-F)x-qx2=02p1yp2M(x)=Fl+Fx-Fx-qx2-M2p1yp23.BC段:+dxI剪力Fq=F-q(l-x)M+M(x)+F-q(l-x)x-qx2-Fl-F(l+d)=03y2p1p1.M(x)=F(2l+d)M+(qlF)xqx23p1y2将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分：1.OA段：0 xl1d201EI1=M一Fx+qx2dx2y2EI01=Mx-2Fyx2+6qx3+CiEIi=2MX2-6FyX3+24qX4+C1+Di2.AB段：lxl1+dEI竺dx2=丄qx2+Fx+MF

9、lFxEIO262pp12y22pp1yTOC o 1-5 h z246py2p1223.BC段：+dx1EI竺=1qx2+MF(2l+d)+(Fql)xdx22p1yEIO=1qx3+MF(2l+d)x+x2(Fql)+C6p12y3246y2p133利用约束条件和连续条件确定积分常数O、C两处挠度为0 x=0，o=01x=l，o=0；3梁弯曲后应为光滑曲线，OA段与AB段，AB段与BC段交界处挠度和转角分别相等x1，6=6112x1=3112x-1+d，6=6123x-1+d，3=3123将约束条件代入小挠度微分方程，得如下六个方程：D二01ql4+-M-F(21+d)l2+-13(F-q

10、l)+Cl+D=0242p16y333Ml-F12+-ql3+C=-ql3+-F12+Ml-F11-F12+C12y1611612p11p122y124.-Ml2+-Fl3+ql4+Cl+D=ql4+-13(F-F)+-12(M-Fl)+Cl+DTOC o 1-5 h z216y124111124161py21p12125.-q(1+d)3+1F(1+d)2+M(1+d)-F1(1+d)-F(1+d)2+C612p11p112y12-q(1+d)3+M-F(21+d)(1+d)+-(1+d)2(F-ql)+C61p1121y36.q(1+d)4+-(1+d)3(F-F)+-(M-F1)(1+d

11、)2+C(1+d)+D24161py2p11212=丄q(1+d)4-M-F(21+d)(1+d)2+-(1+d)3(F-ql)+C(1+d)+D2412p1161y313四手臂分析研究几个角度记：前臂与上臂的夹角记为。；前臂长度为11；上臂长度为12；一、手的受力分析由于人体重力的作用而产生的竖直向下的拉力F=W/2=300.0N,以及单杠产生的向上的反作用力Fng=W/2=300.0N，假设此力只作用于手的最高点。这些力在手的各处产生大小不同的弯矩。将人的手简化为均匀的曲面。单杠的半径为r。Fg和Fng只在竖直线AB的右侧产生弯矩，由力向一点简化的方法可求得,C点的弯矩为MC=FGrcos

12、y，Y=0时，Mmax二FGr=4.5Nm沿切线方向的拉力Ft=FGCOSY，y=0时，Ftmax=FG=300.0N。二、臂的受力分析1、手臂伸直时,9=180。臂只受拉力，由平衡条件及人体的对称性，每只臂受的拉力为F=W/2=300.0N。应力状态为只受拉应力，其平均大小为b=F/A(A为臂的平均截面积)。设臂的最小截面积为Amin，则最大拉应力为bmax=F/Amin。弯矩为零。300300BC轴力图2、手臂夹角为90(9=90)设前臂与竖直线的夹角为0，肱二头肌BD与上臂的夹角为9，CD的长度为l3。Fg二W/2，由平衡得F二Fg。前臂受力如图示，上臂受力如图示。由C点力矩为零，MC(

13、F)=Fml3cos申Flsin=0，得肌肉的拉力为Fm=Fl1sin013cos申由D点力矩为零，MD(F)=FC113F(1113)sin=0，故FC1=f(/1/3)sin訂/人。由平衡得：FC2+Fcos=Fmsin申，所以FC2=Fmsin申Fcos。由BC杆，C点力矩为零得：M=Fml2sin申-FJ2cos。将l1=25cm,12=22cm,13=5cm,F=FG=300.0N代入以上各式，并由sin=12/lF+1孑-0.6606,cos=0.7507sin屮=13/：l22+132=0.2216,cos申=0.9751，可得：F=1016.2N,F1=792.7N,F2=-6

14、7.3NmC1C2M=14.815N严。下面分析各处的剪力、弯矩及应力状态。图：A：FQ=-Fsin=-198.2N，M=0：D上侧截面：Fq=-Fsin=-198.2N,M=-Fsin(11-13)=39.636N*D下侧截面：Fq=FC1=792.7N,M=-Fsin(11-13)=39.636N册；C：Fq=FC1=792.7N,M=0。AD段受的轴力Fcos=225.2N；CD段受的轴力FC2=-67.3N。图：B：Fq=-(Fmsin申-Fgcos)=67.3N,M=-M=-14.815N严;C：Fq=-FC2=67.3N,M=0。BC段的轴力FC1=792.7N。Foi二30。mi

15、n设前臂与竖直线的夹角为0，肱二头肌BD与上臂的夹角为9,CD的长度为13。臂受的外力如图示。Fg=W/2，由平衡得：F=Fg。前臂的受力如图示，上臂的受力如图示。由C点力矩为零，MC(F)=Fl1sin-F3sin(o+9)=0，得肌肉的拉力为F=Fsinm13sin(0+9)。由D点力矩为零，MD(F)=FC113-F(11-13)sin=0，故FC1=f(1厂13)sin/13。由平衡得：FC2+Fcos=Fmsin9，所FC2=Fms9i-nF。cos由BC杆C点弯矩为零：M=Fg12sin(0+)-F2sin9将11=25cm，12=22cm，13=5cm，F=FG=300.0Nco

16、s0=J3/2，sin0=1/2代入以上各式，并由几何关系，利用余弦公式及正弦公式可得：1AB=12.505cm，cos=0.4756，sin=0.8797,sin9=0.616513sin(0+9)=1BD=17.846cm，cos9=0.9901，sin9=0.1401,sin(0+)=Lsin=0.9997，cos(0+)=0.0245。12代入可得：F=428.1N,F1=1161.2N,F2=82.7N,M=52.8NmC1C2图(7)：A：Fq二-Fsin=-263.9N,M=0:D上侧截面：Fq=Fsin=263.9N,MFsinQ(l、-13)=58.060N乍D下侧截面：Fq

17、FC11161.2N,MFC1/358.060Nm；C：FqFC11161.2N,M0。AD段受的轴力Fcos142.5N；CD段受的轴力FC282.7N。图：B：FqFgcos(+0)Fmsin52.6N,M52.8N乍C：Fq(FC2cos0FC1sin0)509.0N,M0。BD段的轴力为Fmcos申+Fgsin(+0)723.8N。142.582.7ADCAC杠轴力图-723.8BC杠轴力图六总结一个实际的问题，其复杂程度是无法想象的，为了能得到我们感兴趣的东西，我们必须对实际模型作出一些必要的简化，尽管会失去一些东西，却能将精力放在一个突破口上，得到对我们有用的东西。一个人做东西，也许能做出好东西，却不能做出大气的东西。在社会分工日益细化的今天，没有团队协作，是根本无法作出突破的。这次工力作业，我们四个成员充分发挥了各自的优点，进行了团队合作的磨和。这次经历，不仅是一次简单的协作；对我们来说，这更是一次宝贵的经验。最后，我们要感谢所有关心我们的人们，更要感谢老师，谢谢老师让我们有机会进行这样的锻炼！参考书目：工程力学范钦珊主编;蔡新,郭占起,范钦珊编著机械工业出版社,2002ISBN：7-111-10407-2运动解剖学体育院、系教材编审委员会运动解剖学编写组编人民体育出版社,1984运动生理学邓树勋,洪泰田,曹志发主编高等教育出版社