九年级数学-相似三角形经典练习题及参考答案

1、相似三角形经典练习题及参考答案例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形.例2 已知：如图，oABCH1, AE:EB果S AEF 6cm2,求 S CDF 1:2,求 AEF与 CDF的周长的比，如例3 如图，已知 ABDs ACE,求证：ABCs ADE .例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等边三角形都相似.例5如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE使点E在ABC的 边上，并且点D点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与 ABC相似.尽可能 多地画出满足条件的图形，并

2、说明线段 DE的画法.例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺， 站在距电线杆约30米的地方, 把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约 12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂 长约60厘米，求电线杆的高.例7如图，小明为了测量一高楼 MN勺高，在离N点20m的A处放了一个平面 镜，小明沿NA后退到04,正好从镜中看到楼顶 M点，若AC 1.5m,小明的眼 睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到 0.1m）.C AN例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由.例9根据下列各组条件，判定 ABC和ABC是否相似，并说明理由：(1)AB3.5cm, BC 2.5cm,CA

3、 4cm, A B24.5cm, B C17.5cm,C A 28cm.A35 , B 104 , C 44 , A 35 .(3)AB3, BC 2.6, B 48 , A B 1.5, BC1.3, B 48.例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用 字母表示出来，并简要说明识别的根据.例11已知：如图，在 ABC中，AB AC, A 36,BD是角平分线，试利用三角形 相似的关系说明AD2 DC AC .例12已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的 ABC的最大边长为26,求ABC的面积S.例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高

4、度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部 A与竹 竿顶部E恰好在同一直线上，又测得G D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5 米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.例14.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点 B和C,使AB BC,然后再选点E,使EC BC ,确定BC 与AE的交点为D,测得BD 120米，DC 60米，EC 50米，你能求出两岸之间 AB的大致距离吗？例15.如图，为了求出海岛上的山峰 AB的高度，

5、在D和F处树立标杆D5口 F 标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于5尺)，并且AB C济DEF在同一平 面内，从标杆DCM后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上， 从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰 的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD#是多少？(古代问题)例16如图，已知 ABC勺边AB= 2V3, AC= 2, BQi上白高AD=花.(1)求BC的长；(2)如果有一个正方形的边在 AB上，另外两个顶点分别在 AC BC上，求这个正方形的面积.BJJ相似三角形经典习题答案例1.解、相似，、相似，、相似例2. 解ABCD 是平行四边形

6、，AB/CD,AB CD, /. AEF s CDF ,又 AE:EB 1:2,AE:CD 1:3,AEF 与 CDF 的周长的比是 1： 3.又 SL (1)2,Saef 6(cm2) , S cdf 54(cm2). S CDF 3例3分析 由于 ABD s ACE ,贝U BAD CAE ,因止匕BAC DAE ,如果再进 一步证明幽CA,则问题得证.AD AE证明 : ABD s ACE ,. BAD CAE .又 BAC BAD DAC ,DAE DAC CAE , BAC DAE .ABD s ACE, 在ABC和ADE中,AB AC AD AE .AB BAC ADE,- ADA

7、l，ABCs ADE例4.分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此 直角三角形的形状不同. 也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形 ABG口 ABC ,其中C则 A A 45 , B B 45 ,设 ABC的三边为 a、b、C, ABC的边为a、b、 则 a b,c V2a,a b ,c J2a ,ABCs ABC .对应角相等，对应边都成（4）也正确，如 ABC与ABC都是等边三角形, 比例，因止匕 ABCs ABC .答：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.-6 -画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可

8、以画出如下图那样的几何图形，即 DF 60厘米 0.6米，GF 12 厘米 0.12 米，CE 30米，求 BC 由于 ADF s AEC DF ”， EC AC又ACFs ABC, .匹GF,从而可以求出BC的长.EC BC解 AE EC,DFEC, ADF AEC, DAF EAC ,ADF s AEC .DF AFEC AC又 GF EC,BC EC, /. GF / BC, AFGACB, AGF ABC ,AGF s ABC ,AFACDFEcGFBC又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 线杆的高为6米.0.12米，EC 30米，BC 6米.即电例7.分析 根据物理学定律：光线

9、的入射角等于反射角，这样， BCA与MNA 的相似关系就明确了.解 因为 BC CA, MN AN, BAC MAN ,所以 BCA s MNA .所以 MN:BC AN: AC,即 MN :1.6 20:1.5,所以 MN 1.6 20 1.5 21.3 (m).说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪 器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的.实际上格点无形 中给图形增添了条件一一长度和角度.解在格点中DE EF,AB BC,所以 E B 90 ,又 EF 1,DE 2,BC 2, AB 4.所以里 正 1 .所以 DEF s ABC

10、.AB BC 2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏.例9.解3.5cm1 BC24.5cm 7, BC2.5cm1 CA17.5cm 7CA4cm 128cm 7所以 ABCs ABC ；(2)因为 C 180 A B 41 ,两个三角形中只有 A 另外两个角都不相等，所以 ABC与ABC不相似；因为B B,黑黑所以ABC相似于ABC-例10.解 （1） ADEs ABC 两角相等;ADEs ACBCDEs CABEABs ECDABDs ACBABDs ACB两角相等；两角相等；两边成比例夹角相等;两边成比例夹角相等;两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65的

11、等腰三角形，它的底角是72 ,而BD是底角 的平分线，CBD 36 ,则可推出ABCs BCD,进而由相似三角形对应边成 比例推出线段之间的比例关系.证明 A 36 , AB AC, ABC C 72 .又 BD平分 ABC,ABD CBD 36 .AD BD BC,且 ABCs BCD,BC: AB CD : BC ,BC .S 1AC BC AB CD , /.2 AD AC CD .说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角 形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些 边是对应边.（2）要说明线段的乘积式ab cd,或平方式a2 bc, 一般都是证明

12、比例 式，亘d,或b a,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.c b a c例12分析 由ABC的三边长可以判断出 ABC为直角三角形，又因为 ABCsABC ,所以ABC也是直角三角形，那么由 ABC的最大边长为26,可以求 出相似比，从而求出 ABC的两条直角边长，再求得 ABC的面积.解 设 ABC的三边依次为，BC 5, AC 12, AB 13,贝U AB2 BC2 AC2, /. C 90 .又ABCs ABC，.二 C C 90 .BC AC AB 13 1 -BCACAB 26 2又 BC 5, AC 12,BC 10, AC 24 .11 24 10 1202例13.分析

13、判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法，过F作FG AB于G,交CE于H可知AGF sEHF ,且GF HE EM求，这1可求得 AG故旗杆AB可求.解 这种测量方法可行.理由如下：设旗杆高AB x.过F作FG AB于G交CE于H （如图）.所以 AGF s EHF .因为 FD 1.5,GF 27 3 30,HF 3,所以 EH 3.5 1.5 2, AG x 1.5.由 AGF s EHF，得空 GF ,即 上5 30 , EH HF23所以x 1.5 20 ,解得x 21.5 （米）所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时，方法要现实、

14、切实可行.例 14.解： ADB EDC, ABC ECD 90 ,BD ECCD管100 （米），AB BDABDS ECD,至 D,AB EC CD答：两岸间AB大致相距100米.例 15.答案：AB 1506米，BD 30750步,（注息:八 DGKC AK,KECDFHFEAK .)例16.分析：要求BC的长，需画图来解，因AB ACS大于高AD那么有两种 情况存在，即点D在BC上或由D在BC的延长线上，所以求BC的长时要 分两种情况讨论.求正方形的面积，关键是求正方形的边长.解：（1）如上图，由ADL BC由勾股定理得BD= 3,所以 BC= BADC= 3+1=4.如下图，同理可求BD= 3, DC= 1,-9 -BC D所以 BOBD-CD= 3-1 = 2.(2)如下图，由题目中的图知BC= 4,且AB2 AC2 (2V3)2 22 16, BC2 16, AB2 AC2 BC2.所以 ABO直角三角形.由AEF是正方形，设 0= x,则FC= 2x,.G/ AB.也FC即x JA