2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习-第五章 平面向量

1、第 页共12页2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习第五章平面向量第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算夯基础考点练透2022山东部分重点中学综合考试在优中，设点尸是況上的任意一点，点0为戶上靠近点A的三等 TOC o 1-5 h z 分点，若AQ=AAB+AC,)i A+/j=(念B-|C-|1X12022郑州一模已知向量a, A，c在正方形网格中的位置如图5-1-1所示，以a,办为基底，则(A. c=-2a+3b2021重庆市第三次调考已知向量a= (2, - 2)，Zf(1，2)，若a A则|沪| =0, 0)，则登十的最小值为(2B. 5C.-D.23数学与物

2、理综合两問学合提捆书，提起后书保持静止，如图5-1-2所示，则历与厂的大小的比值 为.2022豫北名校联考己知非零向量a, b互相垂直，且a2b与a2b的夹角为120 ,则.2022苏州市调研在等腰直角三角形/!從中，点尸是斜边沉上一点，AP =+则/L%的面积为 .2022广东六校联考己知向量a, b满足| a=6, b= -收/2）,K| 4a+b：=0（ A 0）,则$ |的值为 .提能力考法实战2022苏州市调研设a，/是两个非零向量，则下列说法正确的是（）若 &b = a - b,则 alb若 a丄，则&b = a- b若ab = a-川，则存在实数A，使得a=Ab若存在实数夂使得a

3、=Ab,则|护办| = |&-|办已知A/K1中，长为2的线段卯为況边上的克，满足AB sin lACs in AQ,为/R?上一点且;577 =则则 ）A.手B. 4V7C.手D. 2/7如图5-1-3,在必6中，ZBA（今AD=2D,戶为6Z?上一点，且满足AP=tAC + AB,若/1议?的面积为2V5,则亦|的最小值为（）A. V2B. V3C.3D.图 5-1-32022湖南名校联考多选题己知M OB= OA=OB=ly点/满足OP=xOA+yOB (x, 7eR),则下列说法中正确的是A.当A+尸1吋，|而的最小值为1当 x+y=吋，OP =1当4吋,的面积为定值当尸|吋，AP =

4、 BP2020江苏岛考如图5-1-4,在/!况中，AB=4,ZBAC=90 ，P在边BCh，延长必到P、使得若PA=rnPB （|-/） PC （/为常数），则CD的长度是 .图 5-1-4第二讲平面向量的数量积及应用夯基础考点练透 TOC o 1-5 h z 2022 南昌市模拟已知向量 a=（2,1）,则 a2b=（）A. V5B. V3C. 2/3D. 52022贵阳市模拟在中，Z90 ，AB=AC=3t若点I），f分别是斜边從的三等分点，则;茹的值为（）A.2B. V5C.4D.52022皖南八校联考己知向量a=（l,2）,2/F（7,-2）,则向量a在向量/方向上的投影为（）A.孕B

5、，4C.丐I）.与己知单位向量a、A满足fAl 1,则a与A夹角的取值范围是（）A. 0,B. 0,学）C. （p n D. （y,n 易错题设平面向量a=（-2,l）,ZF（A,2）,若a与办的夹角为锐角，则J的取值范围是（）2） U （2, +）（-, -4） U （-4,1）（1，+）（-, 1）2022安徽省名校联考己知向量a, b的夹角为120 , I a -2,b=l,若（淤3汾丄（2W,则 A= .易错题己知单位向量a，办满足 Hb =3a b,则向量a，办夹角的余弦值为 .2022长春市质量监测己知向量a与办的夹角为$ a|=3, b -1，则|a+26|= .提能力考法实战2

6、022 r西南宁质检己知向量a, b, c共面，且均为单位向量,a 护0,则| 的取值范围是 （）A. V2-1,V2+1 B. 1.V2C. V2, V3D. 72-1,12022甘肃九校联考己知AM,例分别为圆Oc. （a+1）2+/=1与ft: （r2）2+/=4的直径，则而丽的取值范 TOC o 1-5 h z 围为（）A. 0, 8B. 0,9C. 1,8I）. 1,92022四川成都七中模拟已知单位向量a,满SII+23-ZfO,则3tb的最小值为（）A.OB.|C手Dj2021苏锡常镇四市联考我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正

7、方形所构成（如图5-2-1）,后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形6必中，己知 GC= 6决3,在线段份上任取一点P,线段從上任取一点Q、则而而的最大值为（）A. 25B. 27C. 29D. 312021洛阳市第三次统考己知|而=OB =2,且向量瓦?与而的夹角为120，又|=1,则茹的取值范围为（）A. -1,1B. -1,3C. -3,1D. -3, 32022海口市名校联考多选题若a,是单位向量，且UW是平面a内的一个基底,cvb, d=ab,则（）A.a丄办B.c丄C. c + d2y/2 D. c|+V3M4國创新预测数学探索已知向量（1,2）,Zf（-A2, l）,k,a,b的夹

8、角为I若存在实数历，使得旧cos 0-鐵则a的取值范围是（）A. (-|，+)B. (0, +)C. (-，營)D. (-0, |)角度创新己知0为的外接圆圆心，且而 AB -2AO AC,则的值为A.|B.yC. V2D.2答案第五章平面向量第一讲平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标运算夯基础考点练透B点戶为從边上任意一点，则存在非负数X，/满足xV-1，且;因为点0为川上靠近点A的 三等分点，所以而=AP,所以而=xAB+AC, )CAQ= AC,所以A+故选B.C建立如图D 5-1-1所示平面直角坐标系，则炉(1，1)，2f(-2, 3),c=(7, -3).设c=xayb,

9、则|3y = -3,解得g Z 32,故3a2故选C.图 I) 5-1-1D 由 a/b,得 2X2=-X 1,(已知向量 s=.y,).b=(x,. y),若 a/b,則 x,yy,)所以 A=-4,所以 a=(2, 4),所以 a+/r(3, 6),所以 I妒Z| =V3T6-3V5,故选 D.C解法一 设正方形/边长为2,则以/I为原点，以J汉/L9所在直线分别为x轴，/轴建立平面直角坐标系，如图 D 5-1-2 所示，则 J(0, 0), M2,0), f(2, 2), P(0,2), (1,1)设狐 t), ze0, 2).(因为 A0, 0,故0不重合)Q _ 2+因为而=AAC+

10、 p風所以(2, t)= A (2, 2) + (1,-1),即(272,则: A 所7 + 1 = 7 + 7 = I(7 + 7) (2+Z+2-rf(10+2V8V2)4 当且仅当 g时等号成立.故选 C. AZ 十 C C 4 t tC43解法二 由题意知AAC+ uDO= AAC+ /jOB= AAC+ (AB-AC) = ( A-p)AC+ pAB,则 4-1/+ =1，即l+|z/ = l. (8. C, E三点共线)tt| + -=(/l4/z)(| + -)4 + + M 当且仅当令=即a= 4时等号成立，故选C. A H 2 X n 2 X fi 2A n3 如图D 5-1

11、-3,构造平行四边形，则45由正弦定理，得一 = -，得+ =所以穴与K2sin60 sin4S F2 2的大小的比值为#.图 1) 5-1-3f 如图 D 5-1-4, igAD=a, AB=2b,则AC=a2b, BD-a2b.因为非零向量a，b互相垂直，所以为矩形，且况与做是矩形的两条对角线，所以tanZ64Ztan3(T = 士，所以+ =手图 1) 5-1-47警=鲁+吾=+而+士&由题可知B，P, f三点共线，所以+ -1.又AB = AC,所以|而|=5,故/况的面积5X5X5=y.| 解法一 设 er (a-, y),则 r+/=36,zZf( x-y/2 P，A /).由于

12、| Aa- Pb=O,所以 TOC o 1-5 h z (厂( (V2p, ArV2/) = (0. 0),gprX_V2(i=0；所以 X 代入 A?=36,得 4(今)2=36,即爷=3,所以 Uy + V2g = 0, v = -，AA解法二 因为I AaPb=0且A /判，所以|ia+2|=o,所以、jbh.为相反向馱，则有么=|-| |a =b.因 Mfin为 a=Q,b =J (-V2)2 + V22=2,所以 f I =|.提能力考法实战C设非零向量a，办的夹角是么将ab = a -b两边同时平方得，a2+2+2a. Zf I a 12+ 心|心|，即 2a-b=-2a |此得c

13、os汐=-1，则a，办是共线向量，即存在实数A使得乎入b，则C正确,A错误.若a丄& 则a ZfO,代入2a-b=2ab .显然不成立，故B错误.若存在实数夂使得a= A b,则a+b = l+Ab, a-b = ( A -1)|川，故当-l 时 ab = a -|川不成立，故D错误.故选C.D 動线段/为6边上的商，所以亚sin AC sin C=AB + AC =而，即芸+芸=芸，结合向量 加法的平行四边形法则可得仰平分ZBAC,且ZBAZCAQQ o，所以AB=AC=A.又因为而=AC,所以点H 为/3,解得皿X AD Xcos -=因为而=2而，所以AP= tAC + AB=fAC +

14、 AD, 乂因为C, P, P三点共线，所以Z十1，得1=,故亞=4-则;2= (.-AC +-AD)2=-AC2 + -AD2+2X- 441616421n2X2+9 | 411当且仅当即77=6/时取等号， 164故AP的最小值为VIAD依题意得，101=1, 0B=2, Zd敝60 , ZOAB=90 .对于A,当x+y=l时，点戶在直线AS上，(已知 OP=xOAyOB (*. y 为实数.x+y=1 =M, P. 5 三点共线)则 茹i的最小值为点0到直线似的距离晒=1，故选项A正确；对于 B,由 OP OP2=x:OA2+y-OB2+2x)VA . OB= +4/-i-2xy,可知

15、I OP卜1台Z+4?+2听1,故选项B错误；当4时，点厂在过线段0A中点且平行干ft线做的逬线上，的面积不为定值，故选项C错误： 当尸|时，点戶在过线段做中点且平行于直线側的直线(即线段必的垂直平分线)上，所以 茆=IL故选 项D正确.故选AD.I3.专或0巾题意可设PA-APD=(-ni)PC, 乂1，所以PD = yPB + PC,因为B，D，C三点共线，所以7 + =1,贝IJ即f = $又仲=9,则|戸5卜6, AD =3,所以AD=AC.当D与6重合时，6ZM):当/?与C不重合时，在 J從中，由题意可得cosZJ6|,在八AC艸，由余弦定理可得cosZ撒艺芑艺即=解得吟综上，或0

16、.第二讲平面向量的数量积及应用0夯基础考点练透A 因为 a=(2,0),Zp(-j, 1),所以扩2卜(1,2)，则沪2b 二Vl2 + 22 = ，故选 A.C解法一 因为，AAC=3,所以以J为坐标原点，AB, /16所在直线分别为x轴和/轴，建立平面 直角坐标系，如图D 5-2-1所示，则A(Q, 0), M3,0)，=3,所以而 AC=Ot因为D, 分别是优的三等分点，所以可取而=BC,则而-AB= (AC - AB)，整理得 AE =AB + AC.同理可得AD =AB +AC，所以而 AE=(AB +AC) (AB + ACAB2 + AB . AC + AC2,故选 C.D ?(

17、1，2)，a2b= (7, -2)，:. (3,-2),/.向量 a 在向量办方向上的投影为 f = lx3+2x(2=- 故选b13D.B解法一 设单位向量a,办的夹角为则G0, n,将|a+A|l两边同时平方得/+2a 扮发1，化简得 2+2cos 01,即 cos 又 0, Ji ，所以 0彡 l成立;当a利时，如图D 5-2-2所示，令OA=a, OB=b,以0A,做为邻边作平行四边形OACB，则OC=ab,设ZJ敝 人因为a,办均为单位向量，所以平行 四边形仍是边长为1的菱形，在0从0增大到n的过程中,lOCl 直在减小，当M|=l时，Jtr为等边三角形，此时0=n,故0.综上可知,

18、0 0,(1 又 a=(-2, 1),b=( 4,2),所以*1、所以G所以又的取值范围为(-,-4)U(-4，l).故选B.解法二 因为a与5的夹角为锐角，所以cose (0, 1).所以A的取值范围为(-oo，-4)U(-4，l).故选B.-1 由已知得 a- tra |Z|cos 120 =2 X1X (-|) =-1，因为(沪3 扮丄(2a+b)，所以( (2a- A b) -0, 即 2a2+(+6)a.扮3 破，即 2X4+( A+6) X (-1)+3 A X 1=0,解得 乂 =-l.|设a，/?的夹角为l因为a，6是单位向量，将a-2b=3a- b两边同吋平方得9cos2 9

19、+4cos 0-5=0,得cos 0=或 cos =-1. rtl I a2b -3a b可知 a bQ,所以 cos 沒0,所以 cos 0.Vl9 因为|a2b 2=i+4a- b4t/= az+4a . b - cosj+4 Z|2=9+4X3X ix|+4=19,所以 a2b=y.0提能力考法实战A设a-OA, trOB, c-OC,由题意可OA = OB = OC =1，且側丄鐵 以做做为邻边作正方形側做，连 接收如图D 5-2-3所示，则b = OD=y2t a+bc =OD + OC,当而与沅方向相同时，最大，为 V2+1:当ODjOC方向相反时，I c最小，为W-l.故选A.A

20、 如图 D 5-2-4, AB MN=(A0 + 0 + 0) (M0 + 0 + ON) = 0102 +(A0 + OB) 0(AO+OB) = O2-AOi+OB2=9- AO+OB2,其中 AO +OB e 2-1，2+1 = 1，3，所以而丽 e 9-32,9-12 = 0, 8.故选 A.图 D 5-2-3C因为a, 5是单位向量，由ab +2a /f 0可得2a* kr ab ,则a所以4 (a H)=+2a b+i/=2+2a b,即 2 (a b) (2a 21) =0,可得 a Zf-|,所以3atb =V9a2 + 6ta-b + t2b2 = Vt2-3t + 9 =当

21、且仅当戶| 时取等号，所以 3atb 的最小值为#，故选C.C建立如图D 5-2-5所示平面直角坐标系，由题意可知,(0, 3), 5(4, 0), C(7, 4),五(4, 3)，尸(4, 4)，设 尸(4, yi)，则 3-3) (4 -3) =25+(4 厂3)凡(/,与 J 是两个无关的 所以当y.=4, A =1时，AP 取得最大值，最大值为29,故选C.图 D 5-2-5C解法一 以0为坐标原点，做所在直线为a轴，建立平面直角坐标系，如图D 5-2-6所示，可得 於1，V5),供2, 0)，因为 而1=1,所以点戶在以0为圆心，1为半径的圆上，设戶(cos a, Sin a) (

22、a R)，则 乔 BP= (cos a+l，sin o-3) (cos a-2, sin a) = (cos a+1) (cos a-2) + (sin o-y/3) sin a=-2sin( a+)-ie -3, 1.解法二 AO - JO = 0A OB=OA - 0B cos 120 =2X2X (-|)=-2.以 0At 做为邻边作菱形创连接 汉;如图D 5-2-7所示,则易知厦为等边三角形，0C=2,所以AP -BP=(AO + OP) (B0 +OP)AO BO + OP (AO +BO)-OP2 = OP (AO + BO)=0P OCl.设向量OPjOC的夹角为 a，则 AP BP=OP OCl=