工程材料的本构方程

1、工程材料本构方程读书报告目 录 TOC o 1-3 u 摘要 PAGEREF _Toc301897626 h - 1 -Abstract PAGEREF _Toc301897627 h - 2 -1绪论 PAGEREF _Toc301897628 h - 3 -1.1工程材料本构理论的发展示概况 PAGEREF _Toc301897629 h - 3 -1.2连续介质力学的基本方程 PAGEREF _Toc301897630 h - 3 -1.3应力分析 PAGEREF _Toc301897631 h - 6 -应力状态和应力张量 PAGEREF _Toc301897632 h - 6 -应力

2、张量的分解 PAGEREF _Toc301897633 h - 7 -应力空间、应力路径 PAGEREF _Toc301897634 h - 9 -1.4应变分析 PAGEREF _Toc301897635 h - 9 -应变状态和应变张量 PAGEREF _Toc301897636 h - 9 -应变张量的分解 PAGEREF _Toc301897637 h - 10 -应变率张量 PAGEREF _Toc301897638 h - 11 -应变增量张量 PAGEREF _Toc301897639 h - 11 -2工程材料的强度和变形特征 PAGEREF _Toc301897640 h -

3、 12 -2.1概述 PAGEREF _Toc301897641 h - 12 -2.2金属的强度和变形特征 PAGEREF _Toc301897642 h - 12 -基本试验 PAGEREF _Toc301897643 h - 12 -简化模型 PAGEREF _Toc301897644 h - 14 -2.3土的强度和变形特性 PAGEREF _Toc301897645 h - 15 -应力-应变曲线 PAGEREF _Toc301897646 h - 15 -土体变形的组成部分 PAGEREF _Toc301897647 h - 16 -土体变形影响因素 PAGEREF _Toc301

4、897648 h - 17 -2.4混凝土的强度和变形特性 PAGEREF _Toc301897649 h - 18 -单向应力下的变形性质 PAGEREF _Toc301897650 h - 18 -复合应力下的变形性质 PAGEREF _Toc301897651 h - 19 -其他条件下的变形性质 PAGEREF _Toc301897652 h - 19 -3弹性模型 PAGEREF _Toc301897653 h - 21 -3.1概述 PAGEREF _Toc301897654 h - 21 -3.2线性弹性模型 PAGEREF _Toc301897655 h - 21 -3.3非线

5、性弹性模型理论 PAGEREF _Toc301897656 h - 22 -3.3.1 Cauchy弹性模型 PAGEREF _Toc301897657 h - 22 -超弹性模型 PAGEREF _Toc301897658 h - 22 -次弹性模型 PAGEREF _Toc301897659 h - 23 -3.4土的非线性弹性模型举例 PAGEREF _Toc301897660 h - 23 -3.4.1 E-K非线性弹性模型 PAGEREF _Toc301897661 h - 23 -正常固结粘土四参数非线性弹性方程 PAGEREF _Toc301897662 h - 25 -一个土的

6、K-G非线性弹性模型 PAGEREF _Toc301897663 h - 26 -考虑球张量和偏张量交叉影响的非线性弹性模型 PAGEREF _Toc301897664 h - 26 -3.5混凝土的非线性弹性模型举例 PAGEREF _Toc301897665 h - 27 -3.5.1 K-G非线性弹性模型 PAGEREF _Toc301897666 h - 27 -混凝土的正交各向异性弹性模型 PAGEREF _Toc301897667 h - 28 -3.6破坏准则 PAGEREF _Toc301897668 h - 28 -概述 PAGEREF _Toc301897669 h - 2

7、8 -最大主应力准则 PAGEREF _Toc301897670 h - 28 -3.6.3 Tresca准则 PAGEREF _Toc301897671 h - 29 -3.6.4 von Mises准则 PAGEREF _Toc301897672 h - 29 -3.6.5 Mohr-Coulomb准则 PAGEREF _Toc301897673 h - 29 -4弹塑性模型 PAGEREF _Toc301897674 h - 30 -4.1弹塑性模型 PAGEREF _Toc301897675 h - 30 -屈服条件的概念 PAGEREF _Toc301897676 h - 30 -理

8、想弹塑性材料的加载和卸载准则 PAGEREF _Toc301897677 h - 30 -加工硬化材料的加载和卸载准则 PAGEREF _Toc301897678 h - 31 -4.1.4 Drucker公设和公设 PAGEREF _Toc301897679 h - 31 -塑性位势理论和流动规则 PAGEREF _Toc301897680 h - 32 -加工硬化规律 PAGEREF _Toc301897681 h - 32 -4.2理想弹塑性模型 PAGEREF _Toc301897682 h - 33 -理想弹塑性本构方程的一般表达式 PAGEREF _Toc301897683 h -

9、 33 -4.2.2 Prandtl-Reuss模型 PAGEREF _Toc301897684 h - 34 -4.2.3 Drucker-Prager模型 PAGEREF _Toc301897685 h - 34 -4.2.4 Mohr-Coulomb模型 PAGEREF _Toc301897686 h - 34 -4.2.5 Willam-Warnke模型 PAGEREF _Toc301897687 h - 35 -4.3加工硬化弹塑性本构方程的一般表达式 PAGEREF _Toc301897688 h - 36 -4.4土的加工硬化弹塑性模型举例 PAGEREF _Toc3018976

10、89 h - 36 -临界状态模型及其发展 PAGEREF _Toc301897690 h - 36 -4.4.2 Lade-Duncan(1975)弹塑性模型 PAGEREF _Toc301897691 h - 37 -4.5混凝土的加工硬化弹塑性模型举例 PAGEREF _Toc301897692 h - 38 -混合硬化von Mises模型 PAGEREF _Toc301897693 h - 38 -等向硬化三参数模型 PAGEREF _Toc301897694 h - 39 -5粘弹塑性模型 PAGEREF _Toc301897695 h - 40 -5.1粘弹性模型理论 PAGER

11、EF _Toc301897696 h - 40 -材料的蠕变与应力松弛现象 PAGEREF _Toc301897697 h - 40 -粘弹性积分型本构方程 PAGEREF _Toc301897698 h - 41 -粘弹性微分型本构方程 PAGEREF _Toc301897699 h - 41 -5.2线性粘弹性模型 PAGEREF _Toc301897700 h - 41 -5.2.1 Maxwell模型 PAGEREF _Toc301897701 h - 41 -5.2.2 Voigt模型 PAGEREF _Toc301897702 h - 42 -标准线性模型 PAGEREF _Toc

12、301897703 h - 42 -加载-卸载响应 PAGEREF _Toc301897704 h - 43 -广义Burgers模型 PAGEREF _Toc301897705 h - 44 -5.3非线性粘弹性模型 PAGEREF _Toc301897706 h - 45 -本构理论中的形变描述 PAGEREF _Toc301897707 h - 45 -单积分型本构模型 PAGEREF _Toc301897708 h - 45 -5.4粘塑性模型 PAGEREF _Toc301897709 h - 46 -粘塑性特性的某些实验资料 PAGEREF _Toc301897710 h - 46

13、 -粘塑性模型理论 PAGEREF _Toc301897711 h - 46 -5.5岩土粘塑性模型 PAGEREF _Toc301897712 h - 49 -参考文献 PAGEREF _Toc301897713 h - 50 -摘要工程中常见材料的宏观本构行为是本课程研究的内容。研究材料的本构方程钱需要连续介质力学的基本知识，随后按照金属、土和混凝土三种工程材料的强度和变形特性给出联系实际材料的情况。此外，书中从弹塑性力学的角度列出了弹性模型、弹塑性模型和粘弹塑性模型的本构关系，弹性变形是指物体在加载-卸载过程中变形可以恢复的部分，塑性变形是指变形不能恢复的性质，粘性则是指变形与时间相关的

14、部分。关键字：工程材料、本构方程、力学AbstractKeywords：Engineering materials, mechanics1绪论1.1工程材料本构理论的发展示概况1.本构关系：广义上指作用与由该作用产生的效应两者之间的关系。这里讨论的是材料的力学本构关系。2.力学本构关系是应力-应变-强度关系，描述它的数学表达式称为本构方程。3.工程材料：工程用土、岩石、混凝土和工程用钢等材料。注：以前经常把工程材料的应力-应变关系简化为线性弹性关系，或者刚塑性关系，或者理想弹塑性关系。但是工程材料的应力应变关系是很复杂的，受到多重因素影响。发展较复杂的本构模型是较好地描述工程材料真实性状的需要

15、。4.工程材料的本构模型：(1)弹性模型：建立在弹性理论基础上的本构模型，可分为线性弹性模型（广义虎克定律）和非线性弹性模型（Cauchy弹性模型、超弹性模型、次弹性模型）。(2)弹塑性模型：建立在弹塑性模型理论基础上的本构模型。它将应变分为弹性应变和塑性应变两部分，分别采用弹性理论和塑性增量理论计算。塑性增量理论包括：屈服面理论、流动规则理论、加工硬化理论。(3)粘弹塑性模型：弹性、塑性和粘性是连续介质三种基本的性质，各在一定的条件下独自反映材料本构关系一个方面的特性。(4)内蕴时间塑性模型：建立在内蕴时间塑性理论基础上的本构模型。内蕴时间塑性理论的最基本概念可以叙述为：塑性和粘塑性材料内任

16、一点的现时应力状态，是该点邻域内整个变形和温度历史的泛函，而特别重要的是变形历史是用一个取决于变形中材料特性和变形程度的内蕴时间来量度的。(5)损伤模型：建立在损伤力学基础上的本构模型。1.2连续介质力学的基本方程求解一个具体工程问题，首先要提出反映这一问题的基本方程的具体表达式，以及边界条件和初始条件。这是一个从实际的工程问题，简化成物理模型，进而抽象成数学模型的过程。通过这一过程，工程问题转化成数学问题的求解。1.运动微分方程：描述介质质点的移动和转动的动力学方程。()式中，介质的密度； 单位质量的体积力分量；质点加速度分量。2.几何方程：描述应变与位移之间关系的方程。()3.本构方程：描

17、述一个作用与其产生效应之间关系的方程。(1)工程材料力学本构方程介质的力学本构方程又称为广义的应力-应变关系。它与介质的物理属性密切相关。从本质上说，它是描述质点动力状态与运动状态之间关系的。()式中，应变增量，包括弹性应变增量、塑性应变增量、蠕变应变增量等； 广义弹塑性模量矩阵；(2)渗流本构方程研究水在墙体中的流动规律，通常采用平均的概念，用单位时间通过墙体单位面积的水量这种平均渗透速度来代替真实速度，并且大都通过试验研究进行。描述水在土体中流动规律的最简单、最常用的渗流本构方程是达西定律，其表达式为()式中，水在土体中的渗流速度； 土的渗透系数；水力梯度。达西定律说明，水在土体中的渗流速

18、度同水力梯度成线性比例，渗透系数是常值。4.连续方程土体是三相组合体，包括气相、液相和固相。在荷载作用下，土体体积改变等于其中三相体积改的和，即()式中，固相体积改变量； 气相体积改变量；液相体积改变量。在土力学中，通常假定土中固相的体积是不可压缩的，即。在排水条件下，荷载作用会使土中水从土体中流出或流入，则；在不排水条件下，土中水不能流出也不能流入，则。气相作用下体积改变包括气体体积压缩或膨胀，气体从土体中逸出或吸入，气体溶于水或从水中释放。饱和土体积的改变等于土体中液相的体积改变（水的流出或流入），即单位时间单元土体的压缩量等于流过单元表面的流量。()式中，分别为x,y,z方程的渗透系数；

19、 超孔隙水压力；水的重度。5.有效应力原理有效应力原理反映多相体在荷载作用下，其中各相承担荷载的关系。土体受到外力作用后，一部分由孔隙中的液体承受，另一部分由土骨架承受。孔隙中液体的压力称为孔隙压力（孔隙水压力和孔隙气压力），粒间应力或土骨架应力称为有效应力。有效应力原理可表示为()式中，与饱和度有关的参数。6.边界条件和初始条件()对工程材料不同的工程问题，基本方程中运动微分方程和几何方程是相同的，本构方程是不同的。采用连续介质力学方法求解工程问题，关键问题之一是材料本构模型的合理选用。1.3应力分析1.3.1应力状态和应力张量1.应力状态的定义在Oxyz直角坐标系中，连续介质中一点处的应力

20、状态可用一应力张量表示，()由于剪力互等()，所以应力张量是对称张量，只有6个分量是独立的。2.斜面上应力的求解图1-1 一点的应力如图1-1所示，设考察点M斜面n（其法向为n，分量为nx=n1，ny=n2，nz=n3，）上合应力矢量为p，其沿坐标轴方向的面力分量为px=p1，py=p2，pz=p3，其法向和切向的应力分量分别为正应力n和切应力n。斜面上的面力公式() 3.应力张量的主值、主方向和不变量如果只有正应力作用在微分面上，剪应力为零，则作用在这微分面上的总应力就是主应力，微分面的法线方向就是应力主方向。主应力为特征值的特征方程为()式中，； ；。在给定的荷载作用下，物体中任一点的主应

21、力值及主应力方向就已确定，它们不会因选取不同的坐标系而改变，方程式()中的系数I1、I2、I3也与选取的坐标系无关，所以它们称为应力张量的三个不变量。4.主剪应力和主剪应力面在分别通过应力主轴1、2、3，并且平分各主应力平面之间45夹角的各平面上，剪应力具有极值，称为主剪应力，这些平面称为主剪应力面。主剪应力分别等于()图1-2 八面体1.3.2应力张量的分解1.八面体应力将坐标原点和所讨论的点生命，坐标轴与该点应力主方向一致。在坐标系中可作八个对坐标平面同样倾斜的余微分面，形成一正八面体。如图1-2所示。八面体面上的应力称为八面体应力。八面体上正应力()八面体剪应力()八面体剪应力方位角()

22、2.应力球张量和应力偏张量在一般情况下，应力张量可分解为两个分量()式中，该点平均应力。等式右端的第一个张量称为应力球张量，它相当于四周承受相等压力的应力状态；等式右端的第二个张量称为应力偏张量。应力偏张量特征方程为()式中，； ；。J1、J2、J3分别称为应力偏张量的第一不变量、第二不变量和第三不变量。特征方程式的三个实根S1、S2、S3是应力偏张量的主值，应力偏张量的主方向与其相应的应力张量的主方向是一致的。图1-3 应力摩尔圆3.摩尔圆图1-3为应力摩尔圆，通过某点各个微分面上的法向应力和剪应力对应的(,)点必位于图中阴影部分内。应力摩尔圆在轴上的位置由应力球张量决定，与应力球张量无关。

23、一点的主应力1、2、3之间的比值有了改变，则应力摩尔圆的三个直径之间的比例也随之改变，这种情况相当于应力偏张量的形式有了改变，Lode参数：()对应相等的值，应力摩尔圆是相似的，即应力偏张量的形式是相同的。1.3.3应力空间、应力路径主应力空间是指坐标轴为三条主应力轴的空间。在主应力空间，与三条坐标轴成相同夹角的直线L称为等倾线，在等倾线上，表示各向等压力状态。与等倾线垂直的平面称为平面。物体中一的应力状态可以用应力空间中的一点来表示。一点应力状态的变化可以用应力点在应力空间的运动轨迹来描述，应力点的运动轨迹称为应力路径。1.4应变分析1.4.1应变状态和应变张量1.应变状态的定义在Oxyz直

24、角坐标系中，连续介质中一点处的应变状态可用一应变张量表示，()由于剪应变互等，应变张量是对称张量，只有6个分量是独立的。2.应变张量各分量与位移分量之间的关系()3.任意方向上的线应变过一点方向余弦为nx、ny、nz的任意方向上的线应变为()4. 应变张量的主值、主方向和不变量在连续介质的任一点处，总可以找到三个相互垂直的方向，沿着这些方向线应变达到驻值，而相应剪应变为零。这三个方向称为应变主方向，或应变主轴。这些方向上的线应变称为主应变。主应变特征方程表达式为()式中，； ；。、分别称为应变张量的第一、第二、第三不变量。5.八面体剪应变八面体剪应变的几何意义为：八面体剪应力的指向与八面体法线

25、方向所交直角的改变量。()1.4.2应变张量的分解1.应变球张量和应变偏张量在一般情况下，应变张量可分解为两个分量()式中，该点平均应变。等式右端的第一个张量称为应变球张量，它相当于各向均匀压缩（或拉伸）的应变状态；等式右端的第二个张量称为应变偏张量。应力偏张量特征方程为()式中，； ；。、分别称为应变偏张量的第一不变量、第二不变量和第三不变量。特征方程式的三个实根S1、S2、S3是应力偏张量的主值，应力偏张量的主方向与其相应的应力张量的主方向是一致的。2.应变Lode参数()如果Lode参数值相等，则表明它们所对应的应变摩尔圆是相似的，即应力偏张量的形式是相同的。1.4.3应变率张量一点的应

26、变率张量可表示为()在小变形条件下，一点的应变率张量也可表示为()1.4.4应变增量张量()本章知识联系：2工程材料的强度和变形特征2.1概述本章就三种广泛使用的工程材料（金属、土和混凝土）的强度和变形特性进行介绍。金属材料在宏观上可以看成各向同性。金属塑性变形主要是通过晶粒之间位错的滑移（甚至攀移），其次是通过孪晶。土是一种松散的感想体，由固体颗粒、液体和气体组成的多孔隙材料，由于形成环境和演变过程的差异，土往往表现为非均质、各向异性、有一定的胶结性和结构性。土的体积变形主要是由土中水的排出，孔隙的压缩引起的，固体颗粒本身体积可以认为是不可压缩的。混凝土的密实度介于金属和土之间，由细骨料（砂

27、子）与水泥浆组成水泥砂浆，粗骨料（碎石或砾石）则浸埋在水泥砂浆内的非匀质非连续体。普通混凝土的各个组成部分的抗压强度一般都比作为整体材料的混凝土的抗压强度高，这是由于水泥浆和骨料接触面上的粘结力较弱所致。2.2金属的强度和变形特征2.2.1基本试验1.单向拉伸试验 (1)金属材料可根据其塑性变形性状分成两类。1)有明显屈服阶段的金属（如图2-1a所示）：变形曲线可以分为四个阶段，弹性阶段（OB）、屈服阶段（BC）、强化阶段（CD）、局部变形阶段（DE）。图中A点为比例极限p，B点为弹性极限e，C点为屈服应力s，D点为强度极限。2)没有明显屈服阶段的金属（如图2-1b所示）：一般规定以0.2%残

28、余应变时的应力作为条件屈服极限0.2。a)b)图2-1 金属材料单向拉伸试验应力-应变曲线图2-2 二次加载应力-应变曲线(2)在变形不大的情况下，用简单拉伸试验代替压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。(3)应力超过屈服极限后卸载，卸载过程中应力-应变曲线BD挖平等于原来的弹性阶段AO，如图2-2所示。卸载过程中恢复了一部分变形e，尚残留一部分变形即塑性变形p。如果再加载，弹性极限和屈服极限都提高了，其提高的程度与塑性变形的历史有关，这种现象称为“强化”或“加工硬化”。(4)如果卸载后进行反向加载，首先出现弹性变形，随后产生塑性变形，但这时新的屈服极限有所降低，即这时的压缩应力-应变曲线比通常的

29、压缩曲线更早出现屈服点，这一现象称Bauschinger效应。2.静水压力试验(1)体积的变化静水压力试验中，固体金属的体积变化基本上是弹性的，去压力后体积变形可以恢复，不呈现残余的体积变形。在复杂应力状态下，对一般金属材料在弹塑性变形很大时，忽略体积变化，认为体积不可压缩是合理的。(2)静水压力对屈服极限的影响对于致密材料，静水压力不影响初始屈服应力的数值。2.2.2简化模型1.基本假定(1)塑性体是初始各向同性的、均质的和连续的。(2)塑性变形部分的体积变化为零。体积变化是弹性的，与平面应力呈线性关系。(3)静水压力不影响屈服。(4)拉伸与压缩屈服应力相等，不考虑Bauschinger效应

30、。2.应力-应变曲线的简化有些金属有明显的屈服点，且流动阶段比较长，或者硬化程度比较小，可以忽略硬化的影响，可以采用理想弹塑性模型，如图2-3所示。若变形比较大，相应的弹性应变部分很小可以忽略不计，则可采用理想刚塑性模型，如图2-4所示。图2-3 理想弹塑性材料图2-4 理想刚塑性材料对于硬化材料，也有将塑性硬化部分用直线代替成为线性硬化塑性模型，如图2-5所示。若变形比较我大，而弹性部分比较小可以忽略不计，成为线性硬化刚性模型，如图2-6所示。图2-5 线性硬化弹塑性材料图2-6 线性硬化刚塑性材料2.3土的强度和变形特性2.3.1应力-应变曲线1.正常固结土、松砂和中密砂三轴试验()式中，

31、主应力差； 轴向应变；双曲线函数参数；图2-7 正常固结土或松砂的应力-应变曲线双曲线初始切线斜率；双曲线渐近线值。在加载过程中，材料变形进入弹塑性阶段后，应力随着应变增大而不断提高，应力-应变关系如图2-7所示，这种类型的应力-就变曲线称为加工硬化类型曲线。加工硬化材料在加载过程中体积不断收缩。2.超固结土和密砂三轴试验()式中，拟合曲线函数参数；初始切线斜率； 曲线峰值；曲线渐近线值。图2-8 超固结土或密砂的应力-应变曲线初始加载时，随着应变增大，对应的主应力差不断增大，土样的体积逐渐收缩，随着应变进一步增大，土由收缩变为膨胀，主应力差增大到贬值后，其值急剧下降，曲线的坡度变成负值，直到

32、主应力差落至一极限，即土的剩余强度，这种类型的应力-应变曲线称为加工软化类型曲线，应力-应变关系如图2-8所示。2.3.2土体变形的组成部分1.应变增量组成()式中，总应变增量；弹性应变增量； 塑性应变增量；蠕变应变增量。在应力比较小的情况下，土的变形主要表现为弹性，弹性应变可根据广义虎克定律进行计算。塑性变形是永久性的变形，其变形不可恢复，它可以通过塑性理论来计算。蠕变是在荷载保持不变的情况下，随时间不断增加的变形，可通过粘弹塑性理论来计算这部分变形。2.软粘土地基最终沉降组成(2.3.4)式中，最终沉降；瞬时沉降； 主固结沉降；次固结沉降。瞬时沉降是紧随着加载之后很快发生的沉降，此时，地基

33、土在荷载作用下其体积还来不及发生变化，可近似用弹性理论计算。主固结沉降是由于荷载作用下随着土孔隙中水分的逐渐撤出，孔隙体积相应减小而发生的。次固结沉降则是由土骨架的蠕变变形所引起的。主固结沉降主要受超水压力消散速率控制，次固结沉降主要受土骨架的蠕变速率控制。2.3.3土体变形影响因素1.土体的围压对变形的影响围压越大，初始模量越大，相同应力下应变越小。2.应力路径对变形的影响不同的应力路径对应力-应变曲线的初始模量及峰值都有重要影响。3.各向异性对变形的影响天然土层在强度和刚度上往往表现为各向异性，土的各向异性主要有两个原因：(1)结构方面的原因，在沉积和固结过程中，天然土层中的粘土颗粒及其组

34、构单元排列的方向性形成了土体各向异性；(2)应力方面的原因，天然土层中的初始应力一般处于各向不等压力状态。4.加载速率对土的应力-应变的影响随着加载速率的增加，曲线的初始模量增大，峰值提高。5.不同排水条件对变形的影响在排水条件下，由固体颗粒组成的土骨架间的液体和空气因荷载作用会被排出，引起土体固结而变形。而饱和粘土在不排水条件下，通常认为土体体积是不变的。2.4混凝土的强度和变形特性2.4.1单向应力下的变形性质1.单向压缩混凝土单向压缩试验典型的应力-应变曲线如图2-9a所示。当应力小于混凝土最大抗压强度的30%时，应力-应变关系呈现线性弹性关系。应力超过时，应力-应变曲线逐渐弯曲。超过时

35、，应力-应变曲线斜率变得很小。达到后，混凝土发生加工软化现象。当应变达到时，混凝土压缩破坏。图2-9b表示混凝土体积变形情况。当应力小于时，混凝土体积变形几乎是线性的。应力再增大，混凝土体积压缩变形减小，当应力达到附近时，混凝土体积膨胀到比压缩加载前还要大。a)b)图2-9 单向压缩试验应力-应变曲线图2-9所示的应力-应变曲线的开关可以通过混凝土内部微裂缝发展的机理来解释。当应力小于时，由于在微裂缝端部的应力集中现象，裂缝开始发展，消耗内能；当应力小于时，微裂缝的发展是稳定的；当应力大于时裂缝开展加快，成为不稳定；当应力到时，材料发生加工软化现象。所以混凝土压缩破坏是微裂缝不稳定发展的结果。

36、2.单向拉伸 图2-10 混凝土单向拉伸试验应力-应变曲线混凝土单向拉伸试验应力-应变曲线如图2-10所示。几乎所有曲线在应力小于混凝土抗拉强度的60%时，材料呈现线弹性性状。超过时，微裂缝开展；超过，微裂缝开展就不稳定了。裂缝开展的方向与拉应力方向正交。混凝土单向护拉强度与抗压强度之比大约为0.050.1之间。2.4.2复合应力下的变形性质双轴压缩试验，混凝土最大挤压强度提高；压缩-拉伸双轴试验，混凝土最大挤压强度降低，强度降低与拉伸应力的增加几乎成正比例。双轴拉伸试验混凝土的抗强度与单向拉伸试验几乎相同。混凝土破坏时断裂面与最大拉应力方向正交。在三向受辱下混凝土不仅能提高强度，而且能提高延

37、性。其他条件下的变形性质1.收缩和膨胀图2-11 混凝土的徐变收缩和膨胀是混凝土在不受外部花卉作用情况下因体积变化而产生的变形。混凝土在空气中结硬时，体积会收缩，而在水中结硬时体积会膨胀。水泥用量越多，水灰比越大，骨料颗粒越小，孔隙率越高，骨料的弹性棤走低，则收缩也越大。2.徐变或蠕变在应力为常数时，随着荷载持续时间的增长，混凝土的变形也将增长，这种现象称为混凝土的徐变或蠕变，增长的变形称为徐变变形。从图2-11可以看出，徐变变形开始增长较快，以后逐渐减慢，经过较长时间后逐渐趋于稳定。徐变应变值约为瞬时应变值的14倍。3弹性模型3.1概述弹性模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型两大类，非线性弹

38、性模型又可分为Cauchy弹性模型、超弹性模型和次弹性模型三种。本构模型是描述材料应力-应变-强度关系的，破坏准则是本构模型的不可缺少的一部分。弹性模型有破坏准则，弹塑性模型中有屈服准则。3.2线性弹性模型1.一般表达式：()式中，材料刚度张量或模量张量。2.各向同性体：()式中，Lame常数。3.无限小的材料单元：()式中，应力矢量；应变矢量；材料刚度矩阵。3.3非线性弹性模型理论 Cauchy弹性模型1.Cauchy弹性模型一般表达式为()式()表明应力是应变的函数，应力-应变关系是可逆的，与应力路径无关。2.材料八面体的本构方程：()式中，割线体积变形模量；割线剪切变形模量。3.增量形式

39、的应力应变关系：()式中，切线体积变形模量；割线剪切变形模量；切线剪切变形模量。超弹性模型超弹性模型(Hyperelastic models)又称Green超弹性模型，它通过材料的应变能函数或余能函数来建立材料的本构方程。超弹性本构方程：()()式中，外力作的功；单位体积的余能。次弹性模型次弹性模型(Hypoelastic models)用来描述应力状态不仅与应变状态有关，还与达到该状态的应力路径有关。其本构方程的一般表达式为()对各向同性材料()式中，材料的切线模量张量。3.4土的非线性弹性模型举例 E-K非线性弹性模型1.Duncan和Chang(1970)根据Kondner(1963)的

40、建议，采用下述双曲线方程表示由三轴试验得到的墙体应力-应变曲线（图3-1a）()式中，轴向应变；主应力差；双曲线函数参数。图3-1 双曲线型应力-应变关系2.Duncan-Chang定义土体破坏时的主应力差与双曲线渐近线值之比为破坏比，其表达式为()3.根据Janbu(1963)的建议，土体初始模量可表示为()式中，单位应力（或大气压力）；试验常数；围压。4.土体切线弹性模量可表示为()5.卸荷和重复加荷时弹性模量值为()式中，单位应力（或大气压力）；试验常数；围压。6.不同围压时，体积变形模量表示为()式中，单位应力（或大气压力）；试验常数。式和式3.4.6为DuncanE-K模型的基本方程

41、。在E-K模型中，模型参数的7个参数可由常规三轴试验确定：。正常固结粘土四参数非线性弹性方程1.正常固结粘土固结排水和不排水三轴压缩试验应力-应变曲线可以用有效应力归一。归一化曲线可用双曲线方程拟合()式中，主应力差；轴向应变；由试验确定的参数。2.切线模量方程()式中，归一化应力-应变曲线的初始斜率；破坏线斜率；土体破坏比；强度发挥度。土体的切线模量是在荷载作用下土体中的平均有效应力和土体强度发挥的函数。3.土体切线泊松比()式中，初始切线泊松比；破坏状态时土体切线泊松比。由式和式3.4.9中只有四个参数，适用于软粘土地基。参数值和值有关，它比较容易由一些强度试验测定。破坏比和初始泊松比变化

42、范围较小，比较容易估计。土的归一化初始模量是最重要的变形参数。一个土的K-G非线性弹性模型1.各向等压力试验()的压缩曲线可由下式表示()式中，等于单位压力时的土体孔隙比；曲线斜率。2.切线体积变形模量()3.剪切变形模量()式中，初始切线剪切模量；破坏比；土体剪切破坏点对应的值。4.本构方程()式适用于牌正常固结状态的加载过程。考虑球张量和偏张量交叉影响的非线性弹性模型沈珠江(1986)建议按初应变法考虑剪胀性，其增量型应力-应变关系为()式中，切线模量矩阵；剪切引起的体积应变；。对于饱和粘土，；剪胀系数。3.5混凝土的非线性弹性模型举例 K-G非线性弹性模型1.增量形式的本构方程切线体积模

43、量方程()切线剪切模量方程()2.全量形式的本构方程割线体积模量方程()割线模量剪切模量方程()混凝土的正交各向异性弹性模型Darwin和Pecknold(1977)提出等效单轴应变的概念，并推导了平面应变问题正交各向异性次弹性本构方程。()对平面应变问题3.6破坏准则概述1.破坏准则：当荷载超过材料的强度极限，材料产生破坏。判断材料在荷载作用下是否会产生中雨的准则称为破坏准则。2.屈服准则：判断材料在荷载作用下是否已经产生屈服的准则。最大主应力准则当物体中的最大主应力达到某一数值时，材料发生破坏，通常称为最大主应力准则或第一强度理论。() Tresca准则() von Mises准则()常数

44、C可以由简单拉伸试验或纯剪切试验确定。 Mohr-Coulomb准则土体任何一个洞察力面上的极限抗剪强度可表示为()式中，内摩擦角；受力面上的正应力。4弹塑性模型4.1弹塑性模型弹塑性理论认为物体在弹塑性变形阶段的应变可包括两部分：弹性应变和塑性应变，应变增量的表达式为()塑性增量理论主要包括三部分：屈服面理论；流动规则理论；加工硬化理论。屈服条件的概念根据不同的应力路径所进行的实验，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限。在应力空间中，将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性和塑性的分界面，称为屈服曲面。描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数。弹塑性理论把材料进入无限塑性状态时称作破坏

45、。理想弹塑性材料的加载和卸载准则理想弹塑性材料的屈服条件是不变的，即后继屈服条件和初始屈服条件是一样的。在主应力空间中，后继屈服面和初始屈服面重合，当应力点保持在屈服面上时称为加载，当应力点从屈服面上退回到屈服面之内时称为卸载。如果以表示屈服面，则可以把上述加载和卸载准则用数学形式表示()加工硬化材料的加载和卸载准则对加工硬化材料，后继屈服面随着塑性变形的发展而不断变化。对加工硬化材料，当在指向初始屈服面或后继屈服面变化时，屈服面不会变化，这种变化过程叫做中性变载过程。它对应于应力状态从一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，但不引起新的塑性变形。对单向应力状态或理想塑性材料没有这个过程。当向着后继

46、屈服面内部变化时，则是卸载过程。如果用表示屈服条件，则上述加载，中性变载和卸载准则可表示为() Drucker公设和公设1.Drucker公设对于处在某一状态下的材料单元，借助于一个外部作用，在其原有的应力状态上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。如果处在屈服面之内，()如果处在屈服面上，(4.1.5)塑性应变增量的方向只依赖于应力张量，而与应力增量张量无关，但它的大小则与有关。2. 公设在弹塑性材料的一个应变循环内，外部作用做功是非负的。如果做功是正的，表示有塑性变形，如果做功是零，只有弹性变形发生。如果初始应变点在应变空间屈服面之内，(

47、4.1.6)如果初始应变点在应变空间屈服面上，(4.1.7)塑性位势理论和流动规则1.塑性位势理论经过应力空间的任何一点M，必定存在一塑性势面，其数学表达式称为塑性位势函数，可记为(4.1.8)塑性应变增量(4.1.9)塑性位势理论表明一点的塑性应变增量与通过该点的塑性势面存在着正交关系，这就确定了塑性应变增量的方向，也就确定了塑性应变增量各分量间的相互关系。2.流动规则流动规则是确定塑性应变增量各分量间的相互关系，也就是对塑性应变增量方向的一条规定。式是流动规则的一种表示形式。通常把的流动规则称为相关联的流动规则，把的流动规则称为非相关联的流动规则。加工硬化规律1.等向硬化模型等向硬化模型假

48、定后继屈服面的形状、中心和方位，与初始屈服面相同，后继屈服面的大小则随着加工硬化过程，围绕其中心产生均匀的膨胀。在应力空间，这种后继屈服的大小只与最大的应力强度有关，而与中间的加载路径无关。2.运动硬化模型运动硬化模型假定后继屈服面的大小，形状与初始屈服面相同，后继屈服面是由初始屈服面在塑性变形方向上作刚体位移形成。3.加工硬化规律加工硬化规律是决定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量的一条准则。在流动规则中，这个因素可以假定为(4.1.10)式中，A硬化参数的函数4.2理想弹塑性模型理想弹塑性本构方程的一般表达式1.弹塑性变形的应变增量可分为弹性应变增量和塑性应变增量两部分(4.2.1)(1

49、)弹性应变增量(4.2.2)式中，I1应力张量第一不变量；Sij应力偏张量；K、G体积人变形模量和剪切模量。(2)服从相关联流动规则的材料的塑性应变增量(4.2.3)式中，屈服函数； 比例因子。(3)服从非相关联流动规则的材料的塑性应变增量(4.2.4)式中，塑性势函数；2.服从相关联流动规则的理想弹塑性本构方程的一般表达式(4.2.5) Prandtl-Reuss模型Prandtl-Reuss模型假设材料为理想弹塑性体，服从相关联流动规则，屈服条件为von Mises屈服准则。该模型的本构方程表达式为(4.2.6)式中，土体弹性体积变形模量； 土体弹性剪切模量； 试验常数。 Drucker-

50、Prager模型Drucker-Prager模型屈服条件为广义von Mises屈服准则，其本构方程表达式为(4.2.7)式中，。 Mohr-Coulomb模型Mohr-Coulomb模型屈服条件为Mohr-Coulomb屈服准则，其本构方程表达式为(4.2.8)式中，； ； ；。 Willam-Warnke模型Willam-Warnke模型假设材料为理想弹塑性材料体，服从相关联流动规则，屈服条件有两个：三参数Willam-Warnke屈服条件，五参数Willam-Warnke屈服条件。1. 三参数Willam-Warnke模型(4.2.9)式中，； ； 。2.五参数Willam-Warnke

51、模型(4.2.10)式中，；。4.3加工硬化弹塑性本构方程的一般表达式(4.3.1)式中，塑性刚度张量为。4.4土的加工硬化弹塑性模型举例临界状态模型及其发展1剑桥模型土体在外力作用下，体积应变增量和剪切应变增量分别由相应弹性变形和塑性变形组成(4.4.1)(4.4.2)弹性体积应变(4.4.3)式中， 回弹曲线斜率。平面上破坏线斜率(4.4.4)式中， 土体有效摩擦角。能量方程(4.4.5)屈服面方程(4.4.6)2修正的剑桥模型(4.4.7) Lade-Duncan(1975)弹塑性模型土体的屈服和破坏条件(4.4.8)式中， 分别为应力张量第一、第三不变量；硬化参数。材料服从不相关联流动

52、规则，其塑性应变增量(4.4.9)式中， 塑性势函数；比例因子，是塑性能的函数。塑性势参数(4.4.10)k与k1存在下述线性关系(4.4.11)式中， 塑性势函数；比例因子，是塑性能的函数。比例因子(4.4.12)式中，破坏比 。4.5混凝土的加工硬化弹塑性模型举例混合硬化von Mises模型初始屈服面(4.5.1)式中， 简单拉伸的初始屈服应力。混合硬化的后继屈服条件(4.5.2)式中， 移动张量，反映屈服面中移动的规律；反映屈服面扩大（等向硬化）的参数。(4.5.3)式中，弹性刚度张量 ；塑性刚度张量 ； ； 。等向硬化三参数模型在双轴压缩应力状态下，破坏面(4.5.4)在双轴拉伸或压

53、缩-拉伸应力状态下，破坏面(4.5.5)在双轴压缩应力状态下，初始屈服面方程(4.5.6)在双轴拉伸或压缩-拉伸应力状态下，初始屈服面方程(4.5.7)处于双轴压缩状态的条件和(4.5.8)处于双轴拉伸状态的条件和(4.5.9)处于压缩-拉伸状态的条件和或和(4.5.10)后继屈服条件(4.5.11)式中，等价应力； 等价塑性应变。5粘弹塑性模型5.1粘弹性模型理论材料的蠕变与应力松弛现象1.蠕变是指弹性后变形和粘性流动，此时应力保持不变，应变随时间增长而增加。2.工程材料的蠕变实验曲线如图5-1所示，在恒定应力条件下，材料的应变变化可以分为三个阶段：(1)在恒定应力作用下，首先出现瞬时弹性变

54、形0。随着时间增长，应变沿AB线增加。在AB阶段，应变-时间曲线向下凹，应变速率逐渐减小，该阶段称为蠕变的初始阶段。(2)BC段：该阶段应变-时间曲线接近直线，应变速率近似常数，该阶段称为等速蠕变阶段。图5-1 蠕变实验曲线(3)CD段：C点应变-时间曲线上凹，应变加速增长，直至破坏。该阶段称为加速蠕变阶段。蠕变的变形可以表示为(5.1.1)式中，瞬时弹性变形； 过渡蠕变； 等速蠕变； 加速蠕变。3.应力松弛即受载材料发生变形后，如维持变形不变，则随时间的推移，应力会减小。应力松弛是蠕变现象有的另一种表现。4.如栽花与变形之间的关系保持线性关系，但依赖于第三个参数：时间。对于这类材料，只有知道

55、了整个栽花作用时间，现时变形状态才能完全确定，这类材料称为线性粘弹性材料。粘弹性积分型本构方程对于粘弹性直杆，设t=0为加载和变形的起始时刻，则有(5.1.2)(5.1.3)式和5.1.3称为线性粘弹性材料的Boltzman本构方程，式5.1.2称为Boltzman固体积分蠕变型本构方程，式5.1.3称为Boltzman固体积分松弛型本构方程式中C(t)为蠕变函数，K(t)为松弛函数。粘弹性微分型本构方程(5.1.4)(5.1.5)5.2线性粘弹性模型 Maxwell模型该模型由一个弹簧元件和一个阻尼器串联而成，如图5-2所示。Maxwell模型的微分本构关系(5.2.1)图5-2 Maxwe

56、ll模型Maxwell模型的积分本构关系(5.2.2)当时，。当时，突然作用一单位应力，将立刻引起弹簧应变变形，其后跟着有阻尼的蠕变。 Voigt模型该模型由一个弹簧元件和一个阻尼器并联而成，如图5-3所示。Voigt模型的微分本构关系(5.2.3)初始条件为：图5-3 Voigt模型Voigt模型的积分本构关系(5.2.4) 标准线性模型该模型由一个Maxwell元件和弹性元件并联而成。标准线性模型的微分本构方程(5.2.5)初始条件为：标准线性模型的积分本构关系(5.2.6)加载-卸载响应1.Maxwell模型设想在时刻突加一单位应力，持续到时刻，突然卸去载荷，并维持无应力状态。当时，(5.2.7)当时，(5.2.8)当时，(5.2.9)在点有突变，因此对于Maxwell材料，即使加载后完全卸载，物体上仍有粘性变形，这与弹性材料不同，但这里无弹性后效变形。2.Voigt模型设想在时刻突加一单位应力，持续到时刻，突然卸去载荷，并维持无载荷。当时，(5.2.10)当时，(5.2.11)当时，(5.2.12)对Voigt材料，加载-卸载后，随时间的无限延续，变形减小至零，但与弹性材料也不同，对弹性材料，加载-卸载后，变形立即为零，对Voigt材料却反映了弹性后效的现象。3.标准线性模型设想在时刻突加一