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文档简介

1、 关于实数完备性的6个基本定理1. 确界原理（定理1.1）； 2. 单调有界定理（定理2.9）； 3. 区间套定理（定理7.1）；4. 有限覆盖定理（定理7.3） 5. 聚点定理（定理7.2）6. 柯西收敛准则（定理2.10）； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。第七章习题课在有理数系中这六个命题不成立 。1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。2. 单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 3. 区间套定理 若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点 所以区间套定理在有理数系不成立。反例：4. 有限覆盖定理在实

2、数系中，闭区间a, b的任一开覆盖H，必可从H中选出有限个开区间覆盖a, b。反例：5. 聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例： S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。5.1 致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于e。故xn在有理数域内没有收敛的子列。6. 柯西收敛准则反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：区间套（闭区间套），聚点（3个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。 但不存在属于所有开区间的公共点。 举例说明有

3、限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖 ，定义 有界数列(点列) xn的最大聚点 与最小聚点A分别称为xn的上极限与下极限,记作数列的上下极限概念 1. 在（a，b）上的连续函数 f 为一致连续的充要条件是 f（a+0）与f（b-0）都存在。不适合无限开区间 f(x)一致连续的判定：3. 闭区间上连续的函数必一致连续。5. 若f(x)在有限区间I上无界，则f(x)在I上必不一致连续。P168.1.解答P168.7.证法1：不妨设xn单调增加。 若xn无界或xn是常数列，则xn一定没有聚点。不合题意。故xn必为有界数列且不是常数列。从而xn一定有确界，由单调有界定理的证明可知：证法2：由单调有界定理的证明可知：故xn一定有界，从而有确界。P172.2证有限区间I上一致连续的

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