定积分的应用教学课件

1、第六章 定积分的应用第1页，共73页。第一节 定积分的元素法abxyo分析面积元素回顾曲边梯形求面积的问题第2页，共73页。设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为：定积分的元素法 选择函数 f (x) ,并确定自变量 x 的变化区间a, b; 在a, b内考虑典型小区间x, x+dx, 求出相应于这个小区间的部分量U的近似值 f(x)dx, 记为 计算应用方向： 平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等第3页，共73页。第二节 定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形面积元素:(1) 由连续曲线 y = f (x), 直线 x=a, x=b

2、(ab)及x轴所围成的平面图形的面积yo面积第4页，共73页。若f (x)有正有负,则曲边梯形面积为xyoab第5页，共73页。 (2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积cxyoab面积元素:第6页，共73页。特别， 时,xyoab面积元素:第7页，共73页。dcxyo围成的平面图形的面积为 xyodc第8页，共73页。及y轴围成的平面图形的面积为 dcxyodcxyo第9页，共73页。解先求两曲线的交点面积元素选x为积分变量,例1 第10页，共73页。例2 围成的平面图形的面积. xoy解 由对称性,交点第11页，共73页。解

3、两曲线的交点例3 第12页，共73页。此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则： (1)积分容易；(2)尽量少分块. 第13页，共73页。例4 第14页，共73页。有时需要把边界函数参数化.第15页，共73页。解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,例4 第16页，共73页。解例5 360页 第17页，共73页。面积元素曲边扇形的面积2.极坐标情形扇形面积公式 第18页，共73页。解例6 解例7 第19页，共73页。解例8 第20页，共73页。第21页，共73页。第22页，共73页。 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆

4、台二、体积1. 旋转体的体积第23页，共73页。abox y体积元素:旋转体的体积为第24页，共73页。直线OP的方程为解例1 第25页，共73页。例2 x yOab解 第26页，共73页。例3 解 xy利用圆面积第27页，共73页。第28页，共73页。例4 解 下面再补充介绍一个方法.第29页，共73页。上例:套筒法第30页，共73页。解例5 绕 x 轴旋转的旋转体体积第31页，共73页。绕 y 轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差. 第32页，共73页。绕 y 轴旋转的旋转体体积:可看作平面图OABC与OBC分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体

5、积之差. 或用“套筒法”:第33页，共73页。例6 解 22-2第34页，共73页。第35页，共73页。2. 平行截面面积为已知的立体的体积xxx+dxA(x)ab第36页，共73页。解建立坐标系如图,截面面积所以立体体积例6 垂直于 x 轴的截面为直角三角形, 第37页，共73页。三、平面曲线弧长并依次连接相邻分点得一内接折线， 则称此极限为曲线弧AB的弧长. 此时称弧为可求长的.第38页，共73页。定理(弧长公式) 证在第三章“导数的应用”中弧微分一节知, 即得证. 推论1 第39页，共73页。推论2 证第40页，共73页。解例1 第41页，共73页。例2 解 例3 解 第42页，共73页

6、。例4 解 的弧长. 第43页，共73页。练习：P284 习题6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.第44页，共73页。 将弹簧一端固定,另一端从平衡位置拉长s,问克服弹性需做多少功？ 第三节 定积分在物理学上的应用如果是变力, 例1 解 势能一、变力沿直线所作的功第45页，共73页。例2 两物体之间的万有引力为 地球对地表外物体的引力为 当物体在地球表面时, 把物体从A点提升到B点,需克服引力做功 第46页，共73页。如果要求物体飞离地球引力范围, 取发射时物体的动能

7、为 称为第二宇宙速度. 第47页，共73页。 一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米,池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功？ 建立坐标系如图,解例3 功元素注：若水不装满,如何求？ 第48页，共73页。二、水压力例4 解在端面建立坐标系如图,压力元素端面上所受的压力为 第49页，共73页。 水库的闸门是等腰梯形,上底6米,下底4米,高10米,水面与上底齐平,求闸门所承受的压力. 例5 解6m4mx01mx建立坐标系如图,细长条长度压力元素第50页，共73页。三、引力 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒,在其中垂直线上距棒a处有一质量为m的质点M. 求该棒对质点的引力. 例6

8、解建立坐标系如图,第51页，共73页。水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为第52页，共73页。练习：P291 习题6-33. 5. 第n次呢? 6. 8. 9. 11. 12.第53页，共73页。习题课第54页，共73页。例1 解所围成的图形的面积. 关于y积分较方便，第55页，共73页。作草图如下,化为极坐标计算,例2 解第56页，共73页。例3 解第57页，共73页。导数左负右正，故为极小值点，又由唯一性知是最小值点，第58页，共73页。例4解法1旋转体的体积为用直角坐标，第59页，共73页。例4 解法2参数化，第60页，共73页。例5 解体积元素为y=f(x)y=g(x)a

9、bxx+dxy=mxyo所以所求旋转体体积为第61页，共73页。体积元素为例6 解第62页，共73页。例7解(考研) 用“套筒法”： 本题：第63页，共73页。解例8 第64页，共73页。求心脏线 r = a (1+cos ) 的全长.心脏线全长对应例9 解第65页，共73页。 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？解设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为P292 5.设n次击入的总深度为h厘米, 所作的总功为例10第66页，共73页。所以第n次击入的深度为依题意知，每次锤击所作的功相