2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第8章第7节双曲线

1、第七节双曲线考纲 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单的几何性质. 3.了解双曲线的简单应用.4.理解数形结合的思想.抓基础自主学习|知识梳理.双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|FiF2|) 的点的集合叫作双曲线，定点 F1, F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离 叫作双曲线的焦距.(2)集合 P=M|MF1|MF2|= 2a, |FF2| = 2c,其中a, c为常数且a0, c0.当2a|F1F2|时.M点不存在.双曲线的标准方程和几何性质标准方

2、程X2一2 ay2b2=1（a0, b0）y2 x2g-b2=1（a。, b0）图形nF 一 i性质范围xa, y C RxC R, y0a 或 y a对称性对称轴：坐标轴、对称中心：原点顶点A1（-a,0）, A2（a,0）A1（0, a）,A2（0,a）渐近线yxaa-yzuax离心率C，一，-ne=二，eC (1, +qq),其中 c=a2+b2a, b, c的关系c2 = a2+ b2(ca0, cb0)学情自测 1.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打“x )(1)平面内到点F 1(0,4), F2(0, 4)距离之差的名对值等于8的点的轨迹是双 曲线.() TOC

3、 o 1-5 h z 22(2)方程专一(=1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程mx2Xm0, n0,后0)的渐近线方程是m2=0,即 = 0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于,2.()答案(1)X (2)X ，2.(教材改编)双曲线/一七=1(a0)的离心率为2,那么a=()A. 2BqD. 1B. 2c. 2c 二a2土3 TOC o 1-5 h z e= a=a =2,a2 + 3=2a,那么 a2=1, a=1.22(2021福州质检)假设双曲线E: X 常=1的左、右焦点分别为F1, F2,点P在双曲线E上，且|PF1|=3,那么|PF2|等于(

4、)【导学号：57962406】A. 11B. 9C. 5D. 3B 由题意知 a = 3, b = 4, ；c=5.由双曲线的定义 |PF1|PF2|= |3一|PF2|= 2a=6, 产2| = 9.（2021全国卷I ）方程一或门-Qmyn=1表示双曲线，且该双曲线两焦点I II I n 31ll n间的距离为4,那么n的取值范围是（A.(T,3)C.(0,3)b.(-1, V3)D. (0, V3)V原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为 4.m2+ n+ 3m2 n = 4m2+n 3m2 n 0,m2= 1,那八m2vn3m2,因此1n0, b0）的渐近线为正方形OABC的边OA, O

5、C所在的直线，点B为该双曲线的焦点.假设正方形 OABC的边长为 2,那么a =2 双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=皋，易得两条渐近线方程互相垂 a ba直，由双曲线的对称性知b=1. a又正方形OABC的边长为2,所以c= 2V2,所以 a2+b2=c2 = 8,因此 a= 2.明考向题型突破|观律方（2021全国卷I改编）F是双曲线C: x2考问T一双曲线的定义及应用8左支上一点，A（0,6a/6）.那么 APF周长的最小值为32 由双曲线方程x2*D-3A 由e=a = 2得c= 2a,如图，由双曲线的定义得|FiA| /|F2A| = 2a.七=1可知，a= 1, c= 3,故

6、F(3,0), Fi(-3,0),当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PFi|=2.所以|PF| =|PFi| + 2,从而 AAPF 的周长=|AP|+ |PF|+ |AF|= |AP|+ |PFi |+ 2+ |AF|.因为|AF| = q32+ 6祀2= 15为定值,所以当(|AP|十|PFi|)最小时，AAPF的周长最小，A, Fi, P三点共线.又因为 AP|十|PFi|AFi|=|AF|=i5.所以AAPF周长的最小值为i5+ i5+2 = 32.规律方法i .应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点

7、)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离.假设定义中的“绝对值去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定 义的转化应用.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PFi|PF2|=2a平方，建立|PFi| |PF2|间的联系. TOC o 1-5 h z 变式训练i双曲线C的离心率为2,焦点为Fi, F2,点A在C上.假设 |FiA| = 2|F2A|,那么 cos/ AF2Fi = ()a iC1A.4b,3又|FiA| = 2|F2A|,故|FiA|=4a,|F2A|=2a,4a 2+ 2a2- 4a 2 1cos/ AF2F1 =- c=7.2X4aX 2a4双

8、曲线的标准方程lIC 2（1）（2021广州市莫拟）双曲线C： Ab2= 1的离心率e=5,且其右焦点为F2（5,0）,那么双曲线C的方程为（【导学号：57962407AX2-亡43x2 y2。京一二1二1D.x2 y2916x2 y23-4二1二122（2021天津高考）双曲线1器=1（b0）,以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A, B, C, D四点，四边形ABCD的面积为2b,那么双曲线的方程为（）2XAT -CX- C.4用1B.D.222_4y=43x22412二1C(2)D (1)由焦点 F2(5,0)知 c=5.又 e= = $,得 a=4,

9、b2 = c2a2 = 9.a 4双曲线c的标准方程为一y2=1. 16 9由题意知双曲线的渐近线方程为y=x,圆的方程为x2+y2 = 4,联立x2 + y2= 4, by= 2x，即第一象限的交点为2b4+b2 3+b2 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD为矩形，其相邻两边长为春,号2故双曲线的方程为、一8X4b4 b2= 2b,得 b2=12.上=1.应选D.规律方法“定位条件，两个“定量条件.“定位是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量是指确定a, b的值，常用待定系数法.假设双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为 Ax2+By2=1(AB0, b0）的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,

10、 A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点.假设A1BLA2C, 那么该双曲线的渐近线为.【导学号：57962408】(1)A (2)x-=0 (1)如图,因为 MF1，x轴，所以 |MF1| b2 . a在 RtzMFF2 中，由 sin/MF2F1=(得3tan/ MF2F1 =：24 .所以IMFij_ .12bl_ . 2 即C22_ 22c 4 ，即 2ac 4 ，即 2ac 4 ，整理得 c2-2ac- a2 = 0, 两边同除以a2得e2g2e1 = 0.b2 a .解彳3e=啦（负值舍去）.(2)由题设易知 A1(-a,0), A2(a,0), B c, - , C

11、c,因为 A1BXA2C,22bb一aa_所以-=-1,整理得a=b.c+ a cab因此该双曲线的渐近线为y= 1这一条件.2.双曲线中c2=a2+b2,可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系=a0, b0),那么 |BM|= AB|=2a, /MBx=180-120 =60 ;0.M点的坐标为（2a, V3a）. M点在双曲线上,4a2 3a2孑卞:1, a=b, .c=啦a, e=，亚.应选 D.名蜥微博。思想与方法.求双曲线标准方程的主要方法:(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2, b2,得双曲线方程.(2)待定系数法：即“先定位，后定量，如果不能确定焦点的位置，应注 意分类讨论或恰当设置简化讨论.假设双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+By2=1(AB0).当双曲线的渐近线方程 bxiay= 0,求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2= KR 0).与双曲线b2= 1有一样的渐近线的双曲线方程可设为02-2=0).双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，