《概率统计教学》12节(生物、心理、药学、中药)第2章随机变量及其分布教学课件

1、2022/8/31第一章 随机事件及其概率几个基本概念样本点样本空间随机事件概率的三种定义统计定义公理化定义古典定义概率的计算条件概率概率乘法公式全概率公式和贝叶斯公式独立性第1页，共38页。2022/8/32一、随机变量的概念二、离散随机变量(二项分布 0-1分布 泊松分布)三、连续随机变量(均匀分布、指数分布、正态分布)四、随机变量的分布函数五、随机变量的独立性六、随机变量函数的分布基本内容：第二章 随机变量及其分布第2页，共38页。2022/8/33 第一节 随机变量第3页，共38页。2022/8/34第4页，共38页。2022/8/351. 随机变量的定义设随机试验E的样本空间为若对于

2、每一个样本点变量X 都有唯一确定实数与之对应,则X是定义在上的单值实函数,即称X为随机变量.常用X, Y, Z等或等表示,而表示随机变量所取的值时, 常用x, y, z等.定义:注：随机变量是定义在样本空间上的单值实函数;e第5页，共38页。2022/8/36第6页，共38页。2022/8/37二、 随机变量的分类根据随机变量 X 的取值情况，它可分为(1) 离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个值连续随机变量:取值是在某个实数区间(有界或无界)(2) 非离散随机变量第7页，共38页。2022/8/38第二节 离散型随机变量及其分布律一、 离散随机变量的分布律或记则称为 X 的概率分布律（

3、简称分布律）.其所有可能取值为且定义: 设X为离散随机变量,要完整地了解一个离散随机变量,不仅要知道它的所有可能取值,还需要知道它的所有可能取值相应的概率。第8页，共38页。2022/8/39(2)性质显然，概率分布pk有下面的性质:例1.求a ，且P(1X2)解：根据概率函数的规范性，有已知离散随机变量X的分布律为第9页，共38页。2022/8/310A表示第一次罚球罚中，B表示第二次罚球罚中 据以往的资料知道，某一篮球运动员罚球有以下规律:若罚球两次, 第一次罚中的概率为0.75，若第一次罚中则第二次罚中的概率为0.8，若第一次未罚中则第二次罚中的概率为0.7.以X记罚球两次其中罚中的次数

4、，求X的分布律。例2.解：X的可能取值为0，1，2.P(X=0)P(X=1)第10页，共38页。2022/8/311或将分布律表示为X012pk0.0750.3250.6或用线条图、直方图表示0 1 20 1 2第11页，共38页。2022/8/312二、 n重伯努利试验、二项分布 设随机试验E只有两种可能的结果:A及A,且P(A)=p,则称E为伯努利试验.将E独立地重复进行n次,则称这一串试验为n重伯努利试验。 伯努利试验 考虑一个简单的试验,它只出现 (或只考虑) 两种结果,如某批产品抽样检查得到合格或不合格;射击手命中目标或不命中;发报机发出信号0或1;掷一次骰子点数“6”是否出现等.第

5、12页，共38页。2022/8/313 设X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的所有可能取值为0,1,2,n, 共有Cnk种方式,k次n-k次k-1次n-k-1次由于各次试验相互独立，每一种方式发生的概率均为p k (1-p) n - k因此事件A在n次试验中发生k次的概率为第13页，共38页。2022/8/314二项分布（Binomial distribution）定义：设随机变量X具有分布律其中n为正整数，则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作XB (n, p)。特别当n=1时，X的分布律为 X 0 1 pk 1-p p 则称X服从参数为p的 (0-1)分布或伯努利分布.第

6、14页，共38页。2022/8/315第15页，共38页。2022/8/316 经验表明人们患了某种疾病，有30%的人不经治疗会自行痊愈。医药公司推出一种新药，随机地选10个患这种病的患者服用了新药，知道其中有9人很快就痊愈了。设各人自行痊愈与否相互独立。试推断这些患者是自行痊愈的，还是新药起了作用。解：假设新药毫无效用，则一个患者痊愈的概率为P=0.3. 以X表示10个患者中痊愈的病人数，例5.P（X=9）则XB（10，0.3）“概率很小的事件，在一次试验中实际上几乎是不发生”（称为实际推断原理），现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，推断新药是有疗效的。第16页，共38页。2022/8

7、/317 若某人做某事的成功率为1%，他重复努力 400次，则至少成功一次的概率为多少？成功次数服从二项概率 有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 爱迪生: 天才1%的灵感99%的汗水”但那1%的灵感是最重要的，甚至比那99%的汗水都要重要第17页，共38页。2022/8/318是单位时间内随机事件的平均发生率(次数).三、泊松分布 (Poissons distribution)定义. 设随机变量X的分布律为则称随机变量X服从参数为泊松分布，记作泊松分布是由法国数学家S.D.Poisson(1983)提出.它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数,而参数第18页，共38页。2022/8/31

8、9辆汽车通过的概率.例6.一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看作服从泊松分布的随机变量，汽车通过的概率为0.2，解：由题意知求在这一时段内多于一若在该时段内没有第19页，共38页。2022/8/320 当n充分大, p很小 (p0.1), 二项分布B( n, p)的分布律近似等于泊松分布的分布律:泊松分布与二项分布的关系泊松定理：若当n时，则有注：即np比较适中时，第20页，共38页。2022/8/321证明：则第21页，共38页。2022/8/322 某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.01，设各人患病与否相互独立。现随机抽取200人, 求其中至少4人患这种病的概率。例7.解:XB(200

9、,0.01）设X表示200人中患此疾病的人数，则所以二项分布的分布律近似于泊松分布的分布律，第22页，共38页。2022/8/323例如：3)显微镜下相同大小的方格内微生物的数目;5) 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;2)一本书一页中的印刷错误的个数； 1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；4)某医院在一天内的急诊病人数; 实际问题中若干稠密性问题是服从或近似 服从Poisson分布 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。第23页，共38页。2022/8/324的概率P(Xx)称为随机变量X的分布函数,随机变量X的分布函数定

10、义：设X为一随机变量，F(x)则事件“X x”记作注：=P (Xx)，任xR第24页，共38页。2022/8/325分布函数F (x)的性质(1) F(x)是非减函数,即若x1 x2, 则(3)离散随机变量X，F (x)是右连续函数,即事件“Xx”当x-时是不可能事件;事件“Xx”当x+时是必然事件.第25页，共38页。2022/8/326例1. 设随机变量X表示出现3点的次数，求X的分布函数;解：据题意知XB(2,1/6),其分布律为其中k = 0,1,2.掷一颗质量均匀的骰子2次，求P(X1/2), P(-1X3/2), P(1 X2),即X的分布律为 X 0 1 2 P (x) 0.69

11、44 0.2778 0.0278第26页，共38页。2022/8/327P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1, X的分布函数为F(x)=0,x0;0.6944,0 x1;0.6944+0.2778=0.9722,1x2;0.6944+0.2778+0.0278=1,x2.P(Xx)=0,x0;P(X=0),0 x1;P(X=0) + P(X=1),1x2;2x.即F(x)=X的概率分布（概率函数） X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278第27页，共38页。2022/8/328（右连续函数）P(-1X3/2)=F(3/2)-F(-1)=0.9722-0=0.

12、9722. X 0 1 2 P (x) 0.6944 0.2778 0.0278P(X1/2)=P(1 X2)F(1/2)=0.6944=F(2)-F(1)+P(X=1)= 1-0.9722+0.2778=0.3056第28页，共38页。2022/8/329故离散X 的分布函数为其概率函数则其分布函数为练习 设随机变量X的概率分布为 X -1 2 3 P (x) 1/4 1/2 1/4求X的分布函数，并求P(X1/2), P(3/2X5/2).第29页，共38页。2022/8/330内容小结1.理解随机变量的概念，了解其分类;2. 理解离散随机变量的分布律及其性质；3. 熟悉常用离散分布的分布

13、律及其关系.B(n, p)() 当n充分大, p很小 (p0.1), 即np比较适中时，第30页，共38页。2022/8/331作业习题二(P70 )： 1、3、5、6、7第31页，共38页。2022/8/332备用题则a =_.1. 已知离散随机变量X的概率函数为解：根据概率函数的规范性，有即第32页，共38页。2022/8/3332. 设随机变量XB(2, p), 随机变量YB(3, p),若P(X1)=5/9, 则P(Y1)=_.解：由于XB(2, p),P(X1)=5/9,于是 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=5/9故 p=1/3.又 YB(3, p), 于是P(Y1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=1-8/27=19/27.第33页，共38页。2022/8/3343. 口袋中有7个白球，3个黑球.(1) 每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X的概率函数；(2) 如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，求此时X的概率函数.解：X的首次取到白球的取球次数，则X的可能取值为1, 2, 3, 4，记Ai为“第i次取出的球为黑球”i=1,2,，10.(1)由乘法公式得第34页，共38页。2022/8/335第35页，共38页。2022/8/336 X 1 2