中考数学几何模型之弦图模型(解析版)

1、- -拨开云雾开门见山（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE丄BF于点E,BF丄CG于点F,CG丄DH于点G,DH名师点睛弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：AHE9ABEF9ACFG9ADGH.启迪思维探究重点典题探究例题1.如图，在ABC中，ZABC=90，分别以AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG,连接EG,若AB=12,BC=16,求厶AEG的面积.Q例19匚x/X握示】如倒.过点（G直蜕沖E的垂线.垂圮分別为亞匚扯曙/W-=CH-/I

2、B=AE.从曲勺沁-Sg变式练习如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE,以CE为边作正方形CEFG,点D,F在直线CE的同侧，连接BF,若AE=1,求BF的长.F例5/T4.【提示】如图，过点F作班？的垂线，分別交BC.AD的延长线于点H.K.得到EK=CD=4、FK=ED=3*所段CH=从而解RtABHF即口T.例题2.如图，以RtAABC的斜边BC在厶ABC同侧作正方形BCEF,该正方形的中心为点O,连接AO.若AB=4,AO=6：2，求AC的长.2.如图，点A,B,C,D,E都在同一条直线上，四边形X,Y,Z都是正方形，若该图形总面积是m,正方形Y的面积是n则图

3、中阴影部分的面积是变式练习W72甘r一】南刚i的館曙町稱is中的闷个三倩形的曲积是相等69-由勾股定理可得+=场=叭例题3如图，在ABC中，ZBAC=45,D/ABC外一点，满足ZCBD=90,BC=BD,若S*=4.5,例*【提示】如图.过点B作月E丄At?于点E过点D作DF丄BE于点F,可得B-AE,BF=CE,AifijEF=AC.所以=5*即AC=3.变式练习3.点P是正方形ABCD外一点，PB=10cm,AAPB的面积是60cm2,ACPB的面积是30cm2.求正方形ABCD的面积.啊图过点百*作直哉PH的垂线，曝足仆别为点E-F.UifiiBFAK-12cm.BE=(=6rm,即可

4、求止方形例题4在边长为10的正方形ABCD中，内接有6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.DMCAPE解答】解；如圄所示:王方形边坛为10,.Z_Az赴二硼r4=lft过点总柞少m蚩足为戶,JUJ/4：二抽。,、30PsbFQN,空_竺_丄、QF_Q科飞鲤1In_,的=2.-.AF=2.同連1ZV=：2.KF=AD-D!4-A.QN=QF2+FN2-12打=2v*34.小王鬥形的边辰为岂网大个小正方形的面积和是石x(=学工=兽变式练习4.如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=(x0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,x

5、.AM=BN=.2,OM=AN=、，：.OD=42,)，(.+-迈)(.巨,BD弋一:.B:双曲线y=(x0)同时经过点A和B,XV2V2解得：k=ll5(负值舍去).k=l+；5；故答案为：1+1宅=k，整理得：k2-2k-4=0.若IC丄BE,求证：I为AD中点;若I为AD中点，求证：IC丄BE例题5.如图，在等腰RtAACB和等腰RtADCE中，ZAXB=ZDCE=90，连接AD,BE,点I在AD上,【吭不】TCBET点/，过点沖，作ftnri的龜线.垂圧分别为M.N由強图権型可得A/liWCW厶丿乩厶“垃宴?厶了+所以AMCJ=/JN,从而DHF,所以為二口匚即得证M2)如图氛延检le

6、HE于点至点F.fBf*JF=Ki接f.则DF=A(H:乩DA=DAC,廊ZBCE=UO-/AC7=Z/MC+丄人DC-上FDC*所HZFDC幻BCE所UADC1=ZCEj,从而Z(/+ZECJ-ZDCI+ZCJ即得i.例题6.在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=2x+b，其与x轴交于点A,与y轴交于点B,在直线l移动的过程中，直线y=4上是否存在点P,使得APAB是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标，如不存在，请说明理由.n巴8Qy9存在点尸的坐标可口是門II空4儿巴(一4.,.【投示】如图+对血帝三擀形的直角隕点逬厅讨论势岳构适弦图摄究点卩的坐标即可.领悟提升强化落

7、实达标检测1.如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为耳，S2，S3，已知S+S2+S3=10，则S2的值是.【解答】解：将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10,得出S=8y+x,S2=4y+x，S3=x，S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10,x+4y=，所以S2=x+4y=,我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这是著名的赵爽弦图（如图1）它是由四个全等的直角

8、三角形拼成了内、外都是正方形的美丽图案在弦图中（如图2）,已知点O为正方形ABCD的对角线BD的中点，对角线BD分别交AH,CF于点P、冬在正方形EFGH的EH、FG两边上分别取点M,N,且MN经过点O,若MH=3ME,BD=2MN=4；5.则AAPD的面积为5.【解答】解：如图，连接FH,作EK/MN,OL丄DG四边形ABCD是正方形，且BD=2MN=45:.MN=2沱,AB=2;10四边形EFGH是正方形:.FO=HO,EH/FGAZHMO=ZFNO,ZMHO=ZNFO,且FO=HO:.MHOKFNO(AAS),：MH=FN:MH=3ME,：.MH=FN=3EM,EH=EF=4EM:.EK

9、/KN,EH/FG,：.四边形EMNK是平行四边形.MN=EK=2一5,KN=EM,.FK=2EM.EF2+FK2=EK2,.16EM2+4EM2=2O,EM=1,EH=4,.AD2=(AE+4)2+DH2,且AE=DH:.DH=AE=2,：AH=6punu1IpHOL，阳=1，仲=5,加0=x5X2=5故答案为5如图，在ABC中，ZACB=90。，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE,BG，EG(正方形的各边都相等，各角均为90)(1)判断CE与BG的关系，并说明理由；(2)若BC=3,AB=5,则AEG面积等于6.【解答】解：(1)如图,VZEAB=ZGAC=9

10、0,AZEAC=ZBAG,rEA=BA在AEAC和ASAG中，/EAC二三BA若，:AC=AG:.AEACABAG(SAS),：CE=BG,/AEC=ABG,VZAEC+ZAPE=90,ZAPE=ZBPC,:.ZBPC+ZABG=90,：CE丄BG；(2)延长GA,过E作EQ丄AQ,VZEAB=ZGAC=90:.ZEAG+ZBAC=180VZEAG+ZEAQ=180o：.ZEAQ=ZBAC,卩厂1EQ=AEsinZEAQ=ABBC=3,BC=3,AB=5,:.AC=4,AAEG面积詁AGEQ=护4X3=64【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,点P是正方形ABCD内一点，P

11、A=1,PB=2,PC=3.你能求出ZAPB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA,连接PP,求出ZAPB的度数；思路二：将AAPB绕点B顺时针旋转90，得到CPB,连接PP,求出ZAPB的度数.请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.【类比探究】_如图2,若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=lll,求ZAPB的度数.解答】解：（1）思路一、如图1,将厶BPC绕点B逆时针旋转90，得到ABPA,连接PP,:.ABPCBP,AZPBP=90,BP=BP=2,AP=CP=3,在RtPBP中，BP=BP=2,：Z

12、BPP=45，根据勾股定理得,PP=EbP=2迈VAP=1,：AP2+PP2=1+8=9,VAP2=32=9,：AP2+PP2=AP2,.APP是直角三角形，且ZAPP=90,:.ZAPB=ZAPP+ZBPP=90+45=135；(2)如图2,将厶BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA,连接PP:.ZPBP=90,BP=BP=1,AP=CP11,在RtPBP中，BP=BP=1,:.ZBPP=45，根据勾股定理得，PP=lEBP=T2VAP=3,:.AP2+PP2=9+2=11,VAP2=O1D2=11,.AP2+PP2=AP2,.APP是直角三角形，且ZAPP=90,:.ZAPB=ZAPP-Z

13、BPP=90-45=45.如图，已知ZABC=90,D是直线AB上一点，AD=BC.如图1,过点A作AF丄AB,并截取AF=BD，连接DC、DF、CF.求证：AF+AB=BC判断FD与DC的关系并证明；如图2,E是直线BC上一点，且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,ZAPD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【解答】(1)证明：VAD=BC,:.AD=AB+BD,AF=BD,：AF+AB=BC.TAF丄AB,ZFAD=90,又VZDBC=90,AZF4D=ZDBC,；AF=BD,AD=BC,FADDBC(SAS),AFD=CD,ZADF=ZBCD,AZBDC+

14、ZADF=ZBDC+ZBCD=90，即DF丄DC；(2)解：作AFAB于A,使AF=BD，连结DF,CF,如图，TAF丄AD,ZABC=90,ZF4D=ZDBC,AD二BC在朋0与4DBC中，/FAD二上DEC,.FADDBC(SAS)期二BD:.FD=DC,CDF是等腰三角形，/F4DADBC,AZFDA=ZDCB,TZBDC+ZDCB=90,AZBDC+ZFDA=90,:.CDF是等腰直角三角形，ZFCD=45,TAFCE,且AF=CE,四边形AFCE是平行四边形，AECF,ZAPD=ZFCD=45.【探究证明】(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行

15、探究,提出下列问题,请你给出证明.如图1,矩形ABCD中，EF丄GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H,求丫EFAE证：1肓丽n【结论应用】(2)如图2,在满足(1)的条件下，又AM丄BN点M,N分别在边BC,CD上,若J111I则卑的值为；(直接写出结果)酬_17_【联系拓展】(3)如图3,四边形ABCD中，ZABC=90,AB=AD=6,BC=CD=3,AM丄DN点DMM,N分别在边BC,AB上，求半的值.AMCnFNcD【解答】解：（1）过点A作APEF,交CD于P,过点B作BQ/GH，交AD于Q,如图1,四边形ABCD是矩形，ABDC,AD/BC.四边形A

16、EFP、四边形BHGQ都是平行四边形，:.AP=EF,GH=BQ.又:GH丄EF,AP丄BQ,ZQAT+ZAQT=90.四边形ABCD是矩形，ZDAB=ZD=90,ZDAP+ZDP4=90,4pftFlTTp-ftDAZAQT=ZDp4.AApDAAQAB,A;EF丄诙，AS,由中的结论可得需墙豊(2)如图2,面-故答案为器（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形.VZABC=90,平行四边形ABSR是矩形，AZR=ZS=90,RS=AB=6,AR=BS.TAM丄DN,由（1）中的结论可得设SC=x,DS=y,则AR

17、=BS=3+x,RD=6-y,.在RtACSD中，x2+y2=9，在RtAARD中，(3+x)2+(6-y)2=36，由-得x=2y-3,如图，直角梯形ABCD中，ADBC,ZADC=90,l是AD的垂直平分线，交AD于点M,以腰AB为边作正方形ABFE,EP丄l于P.槪詁也仔仆沪90,一+亠90在正方形ABFE中，AB=AE,ZBAE=90,AZ2+Z3=90,AZ1=Z3,Z1=Z3在AABH和AEAG中，三期B二三A&E.AABH9AEAG(AAS),AH=EG,:AB=EACD=GP+PE=AD+PE,即卩2CD=AD+2PE.2提出问题：如图1,在ABC中，ZACB=90,分别以边A

18、B.AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接CE,BG,EG.探索CE与BG的关系；探究ABC与AAEG面积是否仍然相等？说明理由.如图2,学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，已知ZCDG理由：.ZEAB=ZGAC=90,ZEAC=ZBAG,rEA=BA在AEAC和ABAG中，.EACABAG(SAS),:AC=AG：CE=BG,/AEC=ABG,VZAEC+ZAPE=90,ZAPE=ZBPC,AZBPC+ZABG=90,：CE丄BG；即：CE=BG,CE丄BG；2)如图1,过点E作EH丄AG交GA延长线于H；：ZEHA=Z90=ZBCA,.ZEAH+ZB

19、AH=90,ZBAC+ZBAH=90,:.ZEAH=ZBAC,Veha=Zbca在AEHA和ABCA中，二EAH二上EAC,：AEHA竺ABCA,：EH=BC,.AC=AG：Sd”=ACXBC=ACXEH,ABC22SaageAGXEH胡ACXEH,SaABC_SaAGE，(3)V在RtACDG中，DG=3m,CG=4m,:.CD=5m,四边形ABCD,CIHG、GFED均为正方形：CG=GH=4,DG=FG=3,同(2)的方法得出Sabci=Sacdg,Saade=SacdgTOC o 1-5 h z：S=S+S+S+S+S+S+S*六边形花圃ABIHFE正方形ABCD，。aBC严正方形C田

20、严aFgH。正方形DEF严aAD严aSDG=S+S+S+S+S+S+S正方形ABCaCDG正方形CIHGaFG严正方形DEfGaCDGaCDG=S+S+S+S+3S正方形ABC正方形CIHGaFGH正方形DEFGaCDG=CD2+CG2+GHXFG+DG2+3XCGXDG22=52+42+*X4X3+32+寻X4X3=25+16+6+9+18=74(m2)故答案为74m2AEE11Q当ABVBC时，AB=BC,.AE=BF=；:.AB=12+如图3当ABBC时,同理可得：BC=豊,37_F矩形的宽为：(3)如图4过点E作ON垂直于11分别交l1，VZOAE=30，则ZEFN=601R*：AE=AE=1,故EO=,EN=,E由勾股定理可知菱形的边长为：.：十=上导2V213l3于点O,N,已知：lil2l3l4,平行线l1与12、2与l3、l3与l4之间的距离分别为久卫现,且d=d3=l,d2=2.我们把四个顶点分别在I.l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.M迟JJ:图？(1)如图1,正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为；0_.(2)矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1,求矩形ABCD的宽.如图1,EG过正方形ABCD的顶点D且垂直11于点E,分别交