高中数学选修第一册：1.1.1　空间向量及其线性运算

1、第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算基础过关练题组一空间向量的基本概念1.下列关于空间向量的命题中,正确命题的个数是()任一向量与它的相反向量都不相等;长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;平行且模相等的两个向量是相等向量;若ab,则|a|b|;两个向量相等,则它们的起点与终点相同. A.0B.1C.2D.32.下列说法正确的是(深度解析)A.若|a|=|b|,则a=b或a=-bB.若a、b为相反向量,则a+b=0C.零向量是没有方向的向量D.若a、b是两个单位向量,则a=b3.(2020山东烟台高二上期中)下列命题是真命题的是()A.若分别表示空间两

2、向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B.AB=CD的充要条件是A与C重合,B与D重合C.若向量AB,CD满足|AB|CD|,且AB与CD同向,则ABCDD.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0,则ABCD4.如图所示,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB题组二空间向量的加法与减法5.(2020北京第八中学高二上期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量B1D1的是()A1D1-A1A-AB;BC+BB1-D1C1;AD-AB1+DD1;B1D1-AA1+DD

3、1.A.B.C.D.6.已知A,B,C,D为空间中任意四个点,则DA+CD-CB等于()A.DBB.ACC.ABD.BA7.已知四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是()A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B=.(用a,b,c表示)题组三空间向量的数乘运算9.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,N是BC的中点,用a,b,c表示A1N为()A.-a+b+12cB.-a+b+cC.-a-b+12cD.a-b+12c10.

4、(2020广东深圳实验学校高二上期中)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M.设A1B1=a,A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与2B1M相等的向量是()A.-a+b+2cB.a+b+2cC.a-b+2cD.-a-b+2c11.(2020山西忻州一中高二上期中)在空间四边形ABCD中,若BCD是正三角形,且E为其中心,连接DE,则AB+12BC-32DE-AD的化简结果为.12.(2020浙江宁波高二上期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则x=,y=.题组四空间向量共线、共面问题13.设a

5、,b是不共线的两个向量,且a+b=0,R,则()A.=0B.a=b=0C.=0,b=0D.=0,a=014.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D15.(2020广东广州二中高二月考)已知空间任一点O和不共线的三点A,B,C,下列能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OP=13OA+13OB+13OCC.OP=-OA+12OB+12OCD.以上都不对16.有下列说法:若p=xa+yb,则p与a,b共面;若p与a,b共面,则p=xa+yb;若MP=xMA+y

6、MB,则P,M,A,B共面;若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB.其中正确的是()A.B.C.D.17.已知点P和不共线的三点A,B,C四点共面且对于空间任意一点O,都有OP=2OA+OB+OC,则=.18.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+k,若a,b,c三个向量共面,则实数等于.19.如图,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN,CD,DE共面.20.如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,求证:E,F,B,D四点共面.答案全解全析基础过关练

7、1.B零向量与它的相反向量相等,错;由相等向量的定义知,正确;两个向量平行且模相等,方向不一定相同,故不一定是相等向量,错;ab,可能两个向量模相等而方向不同,错;两个向量相等,是指它们方向相同,大小相等,向量可以在空间自由移动,故起点和终点不一定相同,错.故选B.2.B若|a|=|b|,则它们的方向相同时是相等向量,方向相反时是相反向量,还有可能方向既不相同,也不相反,A错;若a、b为相反向量,则它们的和为零向量,B对;零向量的方向是任意的,C错;两个单位向量只是模都为1,方向不一定相同,D错.故选B.方法归纳在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概

8、念完全相同;由于向量是由其大小和方向两方面确定的,因此解答空间向量有关概念问题时,要抓住这两点;零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任意向量都共线,这一点说明共线向量不具备传递性.3.D因为空间中任意两向量平移之后都可以共面,所以空间中任意两向量均共面,选项A是假命题;由AB=CD知,|AB|=|CD|,且AB与CD同向,但A与C,B与D不一定重合,选项B是假命题;因为空间向量不能比较大小,只能对向量的长度进行比较,因此也就没有ABCD这种写法,选项C是假命题;因为AB+CD=0,所以AB=-CD,即AB与CD共线,故ABCD,选项D是真命题.故选D.4.D因为AB=DC,所以四边形AB

9、CD是平行四边形,结合平行四边形的性质及相等向量的定义知,DO=OB,AD=BC,OA=CO,故选D.5.CA1D1-A1A-AB=AD1-AB=BD1,错;BC+BB1-D1C1=BC+CC1-D1C1=BC1+C1D1=BD1,错;AD-AB1+DD1=B1D+DD1=B1D1,对;B1D1-AA1+DD1=B1D1-DD1+DD1=B1D1,对.故选C.6.DDA+CD-CB=DA+BD=DA-DB=BA.7.B由已知可得AB=DC,由相等向量的定义可知,四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形,故选B.8.答案b-a-c解析如图,A1B=CB-CA1=CB-C

10、A-CC1=b-a-c.9.AN是BC的中点,A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.故选A.10.AB1M=B1B+BM=B1B+12(BA+BC)=c+12(-a+b),所以2B1M=2c-a+b,故选A.11.答案0解析延长DE,交BC于点F,则F为BC的中点,12BC=BF,32DE=DF,AB+12BC-32DE-AD=AB+BF+FD+DA=0.12.答案1;14解析AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14(AB+AD),x=1,y=14. 13.A若0,则a=-b,与已知a,b不共线矛盾,故=0,同理=0,故选A.14

11、.A因为BC+CD=BD=2a+4b=2(a+2b)=2AB,所以A,B,D三点共线.15.B若点P,A,B,C共面,设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1,满足条件的只有B,故选B.16.C若a,b共线,由p=xa+yb知p一定与a,b共面,若a,b不共线,则满足共面定理,p与a,b共面,对;同理对;若p与a,b共面,且a,b共线,则不一定有p=xa+yb,故不对;同理不对,故选C.17.答案-2解析对于空间不共线的三点A,B,C和点P,若四点共面,则对空间任意一点O,都有OP=xOA+yOB+zOC,其中x+y+z=1,所以=-2.18.答案657解析若向量a,b,c共面,则存在x,yR,使得a=xb+yc,2i-j+3k=x(-i+4j-2k)+y(7i+5j+k),2=-x+7y,-1=4x+5y,3=-2x+y,解得=6