电磁场与电磁波基础知识总结

1、第一章一、矢量代数A B =AB cos 0AB AB sin 0A (B x C) = B (C x A) = C (A x B)A x(B x C)= B(A - C)- C(A C)二、三种正交坐标系直角坐标系矢量线元dl = e x + e y + e z x y z体积元dV = dx dy dz矢量面元 dS = e dxdy + e dzdx + e dxdyxyz单位矢量的关系 e x e = e e x e = e e x e = ex y z y z x z x2.圆柱形坐标系矢量线元 dl = e d p + e pdg + e dz i矢量面元 dS = e pdgdz

2、 + e pd pdgp gzpz体积元dV = pdpdgdz单位矢量的关系e xe = e e xe =eg z g z p3.球坐标系矢量面元dS = er r2sin0 d0 d甲矢量线元 dl = e dr + e0 rd0 + e rsinO d甲 体积元 dV = r 2sin 0drd0d中e x e = e e x e = e e x e = e r 0 g 0 g r g r 0三、矢量场的散度和旋度通量与散度A - dS=A - dSdivA = V A = lim Sa0Av2.环流量与旋度maxAS A - dl| rotA=e lim in AS T03.计算公式6

3、AV A = + 4 + rPxpyPz1 a V A = p app( p Ap) + p1 PA唯+ PgdAizV A = r 2 pr(r2 A ) +1rP.(sin0 A )r sin 0 P001PA+r sin 0 pgeeepgzPPPPpPgPzApp AgAzD 41V x A =PeeexyzPPPPxPyPzAAAxyzVx A =1r 2 sin 0drArVx A =ep daee中dd中r sin 0 AzrA04.矢量场的高斯定理与斯托克斯定理i A - dS = j V A dVA - dl = f Vx A - dS i四、标量场的梯度1.方向导数与梯度d

4、u矛4=lim u(M) - u(M0)Al0Aldua?du=cos a + cos dxdudup + cos ydydzVu -q = |Vu|cos0dugradu =edn ndu dudu= x dX + e y 哥 + z 云2.计算公式dududuVu = ex 云 + ey d + ez 云1dudu1 du duVu=e p8P+p布+e z Wdu1 duVu = er 旬 + e0 r se+ % r sin 0dz五、无散场与无旋场无散场 V(Vx A) = 0无旋场 Vx (Vu) = 0六、拉普拉斯运算算子1.直角坐标系F =Vx AF = -VuV 2 u =+

5、V 2 A 二2 V 2 A+ e V 2 A+ e V 2 Adx2dy 2dz 2xxyyzzd 2 Ad 2 Ad 2 Ad 2 Ad 2 Ad 2 A+.厂 +x ，V 2 A=+y+y，V 2 A=z +dy2dz 2ydx2dy2dz 2zdx2d 2 AV 2 A =:xdx 21 d 2 u d 2 u + P 2 d 中 2 dz 2d 2 A * d 2 A dy2 dz22.圆柱坐标系3.球坐标系V2u =1 drPvdu、 dp,+P dp土 AP-2 dA卜er-甲p 2 d中4rV 2 ApV 2 A - A中P 2 中V 2 u = r2 dr1 dr 2 sin

6、 0 d0-A - 2te A -性一一2当 r2 r r2 e r2 80r2 sine 印)+ W色-A -座此性、25Ar2 80 r2 sin2 e e r2 sin2 e 印)+rr 2 sin e 8中4 2cose 8A A +e- r2 sin2 e 中r2sin2 e 8中七、亥姆霍兹定理如果矢量场F在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和唯一确定为边界条件（即矢量场在有限区域V边界上的分布）给定后，该矢量场F (r) = -V。(r) + Vx A(r)其中g）=j尹） 4兀 v |r - rA(r) = -/ 梏4丸 v r rItiir ni

7、t第一早一、麦克斯韦方程组1.静电场真空中:j E - dS=q = -1 j pdV (高斯定理)S00 VV-E =E 0VxE=01 j r - r场与位：E(r) 一J 4脆 v r - r 01E =四,、1中(r)=4n0介质中：。D - dS = q。E - dl = 0V D = pVx E = 0极化：D = 0E + P D = (1+x 肉 E = E =EPPS= P=P - e pp =-V-P恒定电场电荷守恒定律:j J - ds =-些=-勺 sdts_ p dv dt VV- J+A0传导电流与运流电流：J =。E恒定电场方程:J - dS = 0SJ - dl

8、 = 01V J = 0Vx J = 0恒定磁场真空中:B - dl = r01 （安培环路定理）B - dS = 0SVx B = rV B = 0场与位:J (r，) x (r - r，) dV,卜-rI3B = Vx AVA(r)专 j V介质中：。H - dl = I。B - dS = 0Vx H = JV- B = 0B磁化：H =-Mu0B = (1+x )u H = u U H = uHm 0r 0J = Vx M J = M x e电磁感应定律2 E - dl = d B - dS + i (v x B) dl i 仍dt scVx E =竺dt全电流定律和位移电流4 H -

9、dl =(J（法拉第电磁感应定律）全电流定律:-r _dD位移电流：J = d dt6. Maxwell Equationsi H - dl = f (J + 当-dSlSdth-dl = -j 竺-dSlS dtRd - dS = jp dv3S B - dS = 0VS二、电与磁的对偶性dBV x E = e edtdDdD+云Vx E =竺 dtV-D = pV-B = 0Vx H = JVx H =b E +dt 乂 Fd (U H)V x E =dtV-(8 E) = pV-(u H) = 0Vx H = J +V-D =pV-Be = 0ee三、边界条件1. 一般形式Vx H =2

10、mdt=.dBP& 1V x E = Jm vV-B =pmmV-D = 0、Vx E = J 竺 mdtVx H = J +dDV-D = peV-B = pmen x E = 0n 1 Se -D =pn1 Se - B = 0e x (H H ) = J( bT8) en - (B B ) = 0理想导体界面和理想介质界面巳 x (E1 一 E2)= 0e x (H H2) = 0e - (D D ) = 0n 12e - (B B ) = 0第三章一、静电场分析1.位函数方程与边界条件位函数方程:电位的边界条件: 512 土 = p、1 dn2 dns = const1 a(媒质2为导

11、体) = p1 ans2.电容定义：C =牛 两导体间的电容：c = q/U 任意双导体系统电容求解方法: 3.静电场的能量N个导体： W = 1 q连续分布： W =1 pdV e 2 i ie V 2i=1二、恒定电场分析电场能量密度：=2D - E1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：V 2 = 0e x J 妇=0122.欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式：J =。E边界条件： =1 , 2a1 遂=2ae - (J J)=0 D - dS G E - dSCnq =UJ2 E - dlJ2 E - dl焦耳定律的微分形式：P =E - JdVV任意电阻的计算1 u J2E -

12、 dl R = G = TJSJ2 E - dl =J E dS（R = L）（S/ J J dS M E dSG = = = SU J2 E dlJ 2 E dle x(上VxA - VxA ) = Jn 日1 日2 saa四 m2 =四 mt-2 an1 an4.静电比拟法：c G， 一 b 3 D dSJ E dSC = q =UJ2 E dlJ2 E dlii三、恒定磁场分析1 .位函数微分方程与边界条件矢量位：V 2A = RJA = A2标量位：V2 = 0 1 = 22.电感中 J B - dS i A - dl定义：L =广十广L =七+ L3.恒定磁场的能量N个线圈：w =W

13、 11中连续分布：w =1A - JdV 磁场能量密度：=1H - Bm 2 vm2第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值e= f 3）66（2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 M = f （S）on（3） 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：6 = f （S）学 =f （S）1 1On2（4）自然边界：lim r6 =有限值r T8二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布） 下，空间静电场被唯一确定。静电场的唯一性定理是镜像法和分离变量法的理论依据。三、镜像法根据唯一性定理

14、，在不改变边界条件的前提下，引入等效电荷；空间的电场可由原来的电荷和所有等 效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。选择镜像电荷应注意的问题：镜像电荷必须位于待求区域边界之外；镜像电荷（或电流）与实际电荷（或 电流）共同作用保持原边界条件不变。点电荷对无限大接地导体平面的镜像q = -q二者对称分布点电荷对半无限大接地导体角域的镜像兀由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角以=一,n为整数时，该角域中的点电荷将有 n（2n1）个镜像电荷。q =-aq， b=生 d d4.点电荷对不接地导体球面的镜像q=-q=加，位于球心5.电荷对电介质分界平面点电荷

15、对接地导体球面的镜像q=-二 q，q =二匕+2匕+2四、分离变量法分离变量法的主要步骤根据给定的边界形状选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯方程的表达式及给定的边界条 件。通过变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出含有待定常数的常微分方程的通解。利用给定的边界条件确定待定常数，获得满足边界条件的特解。应用条件分离变量法只适合求解拉普拉斯方程。重点掌握直角坐标系下一维情况的解迪=0 通解为：e= Ax + Bdx2圆柱坐标系下一维情况的解(r) = 0 通解为：8= AInr + B r dr dr球坐标系下轴对称系统的解V 2。=f(r 2 乎)+ - 备(sin。奈)=0r2

16、 drdrr 2 sin U QUQU通解为：8(r,U)=芸(A rn + B r-(+i)P (cosU)n=0其中 P (cosU) = 1,P(cosU)=、01cosU,P (cosU) = (3cos20 -1)/2 2第五章一、时谐场的 Maxwell Equations时谐场的复数描述E(r,t) = ReE (r)e网=Ree E (r)e网 + e E (r)e网 + e E (r)e网mx xmy ymz zm2. Maxwell EquationsVx H = (b + jos) EVx E =-仙 HV-E = p / sV-H = 0Vx H = J + jo DV

17、x E = -jo B_v.D = PV-B = 0二、媒质的分类分类标准:，5s lG E| b tan 6 =jos E osb 当tan6= 一L即传导电流远大于位移电流的媒质，称为良导体。 osb当tan 6 =- L即传导电流与位移电流接近的媒质，称为半导体或半电介质。 os,当tan 6 =- 1，即传导电流远小于位移电流的媒质，称为电介质或绝缘介质。 os三、坡印廷定理1.时谐电磁场能量密度为s = E - D = E2 w = 4ReE -D*s = -2 H - B = 2 日 H21_ w = ReB - H叮s = 8 E2 (t) H日 H2 (t)22p = J -E

18、 =b E2p = ?ReJ E*能流密度矢量瞬时坡印廷矢量：S = E xH平均坡印廷矢量:S = ：ReE x H 叮坡印廷定理3 E x H - dS = j s dV +j pdVSdt VV四、波动方程及其解有源区域的波动方程V 2 E 一日8箜=J + - VpV 2 H 32 = -Vx Jd 12dt 86t 2特解:E) = 一土4 兀v，r r在无源区间，两个波动方程式可简化为齐次波动方程a 2 ea 2 hV 2 E-R8 = 0V 2 H-R8= 0a 12a 12复数形式-亥姆霍兹方程五、达朗贝尔方程及其解时谐场的位函数B = Vx AE=-T达朗贝尔方程复数形式特解

19、：a 2paV 2 - r8 = 一(库仑规范 V A = -r8m)a 12sa tV2A + k2A = -R JV2巾 + k2 =-二8A(r) = Aj J(r)edV，(r)=上j P(；)，顼：顼dV，4 兀 v r 一 r4 兀s v， r 一 r六、准静态场（似稳场）1.准静态场方程Vx H =。E Vx E = -aBVB = 0 VD = 0at特点：位移电流远小于传导电流（岑 J =E）；准静态场中不可能存在自由体电荷分布。缓变电磁场（低频电路理论）随时间变化很慢，或者频率很低的电磁场。低频电路理论就是典型的缓变电磁场的实例。根据准静态方程第一方程，两边取散度有V-J

20、= 0J -dS = 0n 乙（基尔霍夫电流定律）位函数满足Vx A = 一日Jj=1V 2u = 0符合静态场的规律。这就是“似稳”的含义。 U = 0 （基尔霍夫电压定律） jj=1一3 E - dl = i J -也 + $V。-也 + $ 丝-也l aQll dt场源近区的准静态电磁场r如果观察点与源的距离相当近kr = 2兀亍v 1 n e-g 1，则人A（r） = fdVN，）= -rdV （近区场条件:4兀 V，|r - r4k v，|r - r 第六章一、基本极子的辐射电偶极子的远区场： E =e一jkr H = j1e-jkr02人r中2人r兀/罚兀IS磁偶极子的辐射：E=

21、sin0e-jkrh =一元一sin0e-jkr二、天线参数1.辐射功率：尸=3 S - dS = 2 3 Re |E x H * - dS电偶极子的辐射功率:P = 80n 212r辐射电阻:“ (i 电偶极子的辐射电阻：Rr=80兀2 厂3 效率.门 = = r= I.效率：人 P P + Pl R + Rl4.方向性函数:F，)= - 心maxfmax电偶极子的方向性函数为：F（0。）= sin0功率方向性函数：F （0,中）=F2（0,中）如下图主瓣宽度2005、2中爵：两个半功率点的矢径间的夹角。元天线：2605 = 900S，副瓣电平：SLL=10lg 了dBS0为主瓣功率密度，S

22、1为最大副瓣的功率密度。S 0 S ，前后比：FB=10lgdBS0为主瓣功率密度，Sb为最大副瓣的功率密度。Sb4兀D =顷0电偶极子方向性系数的分贝表示5.方向性系数:” F 2(6，中)sin6 d60D = 10lg1.5 dB= 1.64dB6.增益:GdB =10 宜三、对称天线1.对称天线的方向图函数:F (6)=cos(kl cos6) cos klsin 62.半波对称天线:方向性函数为：F (6)=60/ cos(2 cos6)燮 r sin6 ejn cos6k2 Jsin 6I cos( cos6) W 2mrs2n6ejcos辐射电阻为：R = 73Qr方向性系数：D

23、 = 10lg1.64 dB = 2.15dB四天线阵天线阵的概念为了改善和控制天线的辐射特性，使用多个天线按照一定规律构成的天线系统，称为天线阵或阵列天 线。天线阵的辐射特性取决于：阵元的类型、数目、排列方式、间距、电流振幅及相位和阵元的取向。均匀直线阵均匀直线式天线阵：若天线阵中各个单元天线的类型和取向均相同，且以相等的间隔d排列在一条直 线上。各单元天线的电流振幅均为I ,但相位依次逐一滞后或超前同一数值&，这种天线阵称为均匀直线 式天线阵。(1)均匀直线阵阵因子sinAF (6,8)= 一sin2(kd cos6 +g)(kd cos6 +g) 2(2)方向图乘法原理第七章H = n

24、x E e-jkn-r一、沿任意方向传播的均匀平面波E=E ejk -r = E e 一 jkn，r 0其中 k = nk = e k + e k + e kx x y y z zyy + *，为传播矢量k的单位方向即电磁波的传播方向。二、均匀平面波在自由空间中的传播对于无界空间中沿+z方向传播的均匀平面波，即E (z) = e =e 凡 e - jkzejx1.瞬时表达式为：E(z, t) = Re (e E e-jkzejj?x)e J = e E cos(rot - kz + 甲)2.相速与波长:I2兀k = v = 人p k1 c=(非色散)如8 如3.场量关系:4.电磁波的特点TEM

25、波；电场、磁场同相；振幅不变；非色散；磁场能量等于电场能量。三、均匀平面波在导电媒质中的传播对于导电媒质中沿+z方向传播的均匀平面波，即E = eE =。氏广州-押z（丫=以+ jP），其中e为衰减因子波阻抗：衰减常数：相位常数：相速：电磁波的特点:n =cE1-j *j-1/2=n时JoyLVC /c11 R8 J1+2-1I21?y ws)J!1+f12 I y w)TEM波；电场、磁场有相位差；振幅衰减；色散；磁场能量大于电场能量。四、良导体中的均匀平面波特性1.对于良导体，传播常数可近似为：a =。=相速与波长：趋肤深度：I呻-=叩施，2 P Rb（色散）a导体的高频电阻大于其直流电阻

26、或低频电阻。4.良导体的本征阻抗为：门=(1+j)j aej 4b良导体中均匀平面电磁波的磁场落后于电场的相角45。五、电磁波的极化1,极化：电场强度矢量的取向。设有两个同频率的分别为x、y方向极化的电磁波:E E cos(t kz + 中)E E cos(t kz +中)y ym一2,线极化:E y分量相位相同，或相差180 则合成波电场表示直线极化波。3,圆极化:E分量振幅相等，相位差为90，合成波电场表示圆极化波。右旋旋向的判断：中y冗中一中=y4,椭圆极化：ExE分量振幅不相等相位不相同，合成波电场表示椭圆极化波。六、均匀平面波对分界面的垂直入射1.反射系数与透射系数:r = rmEi

27、mq q2c1cq +q2c1cET = tmEim2q2cq +q2c 1c2.对理想导体界面的垂直入射-1，合成波为纯驻波3,对理想介质界面的垂直入射合成波为行驻波，透射波为行波。驻波系数:S = EL maxI EImin1+1 ri1i ri4,对多层介质界面的垂直入射(1) 3层等效波阻抗+ jq tan( P d)(2)四分之一波长匹配层_q3门 ef 门2 q + jq tan( P d)232无反射照相机镜头上的涂敷层消除反射的原理。(3)半波长介质窗d兰2 nq =ql 13R1 = 0n E = ETT = 13tm1im1 2雷达天线罩消除电磁波反射的原理。七、均匀平面波在界面上的斜入射1.反射定与和折射定律=ersin ek nsin e, kn垂直极化波和平行极化波的反射系数与透射系数r 门 cose.门 cose 门 cose +门 cose 2q cosO门 cose. +门 coser cos0 Je /- si，2 01 cose + 非