概率论与数理统计教学课件第四章大数定律及中心极限定理03

1、第四章 数学期望和方差分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了. 另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。1 随机变量的平均取值 数学期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 协方差与相关系数本章内容2引例: 测量 50 个圆柱形零件直径（见下表） 则这 50 个零件的平均直径为尺寸（cm）8 9 10 11 12数量（个）8

2、7 15 10 10 504.1 数学期望3换个角度看，从这50个零件中任取一个，它的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为X P 8 9 10 11 12则这 50 个零件的平均直径为称之为这 5 个数字的加权平均，数学期望的概念源于此.4定义1.1：设离散型随机变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望或均值，记作 E( X )。数学期望的定义5常见离散型随机变量的数学期望(1) 两点分布 这时 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 故(2)二项分布 X的取值为0,1,n. 且 P(X=k)= Cnk pk (1-p)n-k, k= 0, 1, , n

3、. E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)= p.6(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,且7(4)几何分布 X的可能取值为1,2, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,. 由于这可以由等式两边同时对x求导数得到。8例1：9例1（续）10例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,n，且11例2.（续）12定义1. 2 ：设 X 为连续型随机变量, 其密度函数为，若积分绝

4、对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望或均值，记作 E( X )。注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。13(5) 区间(a,b)上的均匀分布于是常见连续型分布的数学期望随机变量X的概率密度为14(6)正态分布N(,2 )因此, 对于正态分布N(,2 ),参数就是它的数学期望.随机变量X的概率密度为15(7)指数分布E()随机变量X的概率密度为16注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在17定理1.1.设X的数学期望有限，概率密度f(x)关于 对称，f( +x) = f( -x)。则E(X)= 。

5、证明：令g(t)tf(t+ )，由g(-t)-g(t)知g(t)是奇函数。于是，推论1.2.若XN( )，则 E(X)= 。 若XU( a,b ), 则 E(X)(a+b)/2。18例3.设X 的概率密度为： 求E(X)。解:注: 由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0。19 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？4.2 数学期望的性质 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 ,Xn )的联合分布， Y= g(X1, X2 ,Xn )是(X1 , X2 ,Xn )的函数,需要计算Y 的数学

6、期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题。20 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照数学期望的定义把Eg(X)计算出来.21 那么是否可以不先求出g(X)的分布而只根据X的分布直接求得Eg(X)呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的. 使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .22随机向量函数的数学期望 设X=(X1 , Xn)为离散型随机向量，概率 分布为Z = g(X1 , Xn),若则23随机向量函数的数学期望（续） 设X=(X1 , Xn)为连续型随机向量，联合

7、 密度函数为 Z = g(X1 , Xn),若积分绝对收敛，则24一维情形设Y是随机变量X的函数： Y=g(X), g(x) 是连续函数， (1) X是离散型随机变量，其分布律为 若 绝对收敛, 则(2) X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x).若 绝对收敛, 则25例4.设离散型随机向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望. X 0 1 1 E(Z)= g(0)0.5 + g(-1)0.25 + g(1)0.25解:= 0.5注：这里的 26例5: 设随机变量X 服从 二项分布B(n , p), Y = eaX, 求E(Y)。解:27例6.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如

8、下表所示,求:Z=X2+Y的期望. E(Z)= g(1,1)0.125 + g(1,2)0.25 + g(2,1)0.5 + g(2,2)0.125解:=4.25注：这里的28例7: 设(X,Y)的联合分布律为其中0, 0p1, 求E(XY).解:29注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.30例8: 设X U0, Y =sinX,求E(Y)。解: X 的概率密度为所以31例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X)解: 32数学期望的性质33数学期望的性质注意

9、：X ,Y 相互独立3435解：设每年生产 y 吨的利润为Y 显然，2000 y 4000例10. 市场上对某种产品每年的需求量为X 吨 ， X U 2000,4000, 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润最大？ 3637最终，显然，y = 3500 时，E (Y )最大，E(Y)max =8250万元.38例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm) N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：问平均直径 为何值时，销售一个零件的平均利润最大？39解：则由数学期望定义知：例

10、11.（续）40即：可以验证，零件的平均利润最大.故时销售一个41解：(1) 设整机寿命为 N , 五个独立元件,寿命分别为都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1)串联； (2)并联 成整机，求整机寿命的均值. 例12.42即 N E( 5), (2) 设整机寿命为 M ,例12.（续）43 可见，并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.注： 128页的4.20与此例为同一模型。例12.（续）44 E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) 当X ,Y 相互独立时，数学期望的性质E (X Y ) =

11、 E (X )E (Y ) .45性质 4 的逆命题不成立，即若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定相互独立.反例1X Y pij-1 0 1-1 0 10p jpi注46X Y P -1 0 1但47 若X 0，且EX 存在，则EX 0。 推论: 若X Y，则EX EY；特别地，若 aXb，a , b为常数，则a EX b . 证明：设 X 为连续型，密度函数为f (x), 则 由X 0 得：所以48性质2和3性质4例1.设 XN(10,4)，YU1,5，且X 与Y 相互独立，求 E(3X2XYY5)。 解：由已知， 有 E(X)10, E(Y)3.49例2.(二项分布 B

12、(n,p) 设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？解: 引入则 X 是n次试验中的成功次数。因此，这里， XB(n,p)。50例3:将 4 个可区分的球随机地放入 4 个盒子 中，每盒容纳的球数无限，求空着的盒子 数的数学期望. 解一:设 X 为空着的盒子数, 则 X 的概率分 布为X P0 1 2 351解二: 再引入 X i , i = 1,2,3,4.Xi P 1 052例4. 将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的期望。解:引入随机变量:则 X=X1+X2+XM ,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+ +E(XM). 每个随机变量Xi都服从两点分布,i=1,2,M.53因为每个球落入各个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M). 故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n ,即:注：129页4.27以此题为模型。54例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P第k次生产出的产品是正品=假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。解：设X是前10次生产的产品中的正品数，并设55例5.（续）56例6. 某厂家的自动生产线， 生产一件正品的概率