MATLAB追赶法求解三对角方程组的算法原理例题与程序

1、3）三对角形线性方程组4-1000-14-100I 014-1000-14000-1000000001000000000000-10 0 4-10-1 4 -1 0-1400-10 0 0000000000000000-104-1-140-10整10X2X3X4*X =(2,1- 3, 0, 1,2,-3, 0, 1,1)0000X5X6X7X81X94 _X10751-1326-1214I -455 j、数学原理设系数矩阵为三对角矩阵a20A = -C10HIb2 c2 W a3 b3 IH0 0 IH0 0 IH000000000444I4+anA.bn-Lcn0 an bn )则方程组A

2、X=f称为三对角方程组。设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记%0仪20203L =.+00000III000III00P3Hl004卜IF0HIL00川PnJ1飞 10III00”01LIII00001HI00U =.+4l!+4卜0 0 0 HI 0 M10 0 0 III IH 1可先依次求出L, U中的元素后，令UX=y,先求解下三角方程组Ly=f得出y,再 求解上三角方程组UX=y。事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三 角方程组的计算放在一起，使算法更为紧凑。其计算公式为：i =。 i =， y -对 i =

3、2,3,川,nS =ai,口 =b -a/，i,(*)xn = yn对i =n -1,n -2,|H，1xi - yi _ ix 1三、程序设计function x=chase(a,b,c,f)%求解线性方程组Ax=f,其中A是三对角阵%睨矩阵A的下对角线元素a(1)=0%b矩阵A的对角线元素%观矩阵A的上对角线元素c(n)=0%f是方程组的右端向量n=length(f);x=zeros(1,n);y=zeros(1,n);d=zeros(1,n);u= zeros(1,n);%预处理d(1)=b(1);for i=1:n-1u(i)=c(i)/d(i);d(i+1)=b(i+1)-a(i+1

4、)*u(i);end%追的过程y(1)=f(1)/d(1);for i=2:ny(i)=(f(i)-a(i)*y(i-1)/d(i);end%赶的过程x(n)=y(n);for i=n-1:-1:1x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);end a=0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1; b=4,4,4,4,4,4,4,4,4,4; c=-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0; f=7,5,-13,2,6,-12,14,-4,5,-5; x=chase(a,b,c,f)2.00001.0000-3.00000.00001.0000-2.00003.0000-0.00001.0000-1.0000四、结果分析和讨论追赶法求解的结果为x= (2,1 , -3,0,1 , -2,3,0,1 , -1 ) T。求解结果与精确 解一样，这表明追赶法对于求解三对角方程组具有非常高的精度，误差非常小。算法次数也较少， 不选主元也可以有效的算出精确结果， 是一种计算量少而数值 稳定的方法。五、完成题目的体会与收获通过本题的求解， 深刻的理解了追赶法求解三对角方程组的算法原理。 学会了追赶法的 matlab 编程，学