化二次型为标准型的方法解读

1、化二次型为标准型的方法二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax2+2bxy+cy2=f.1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角圈，作转轴（反时针方向转轴）x=xcos9-ysin9y=xsin9+ycos92）把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。现在就来介绍它的一些最基本的性质。设P是一数

2、域，一个系数在数域P上的x1,x2,.,xn的二次齐次多项式f(x,xx)=ax2+2axx+.+2axx+ax2+.+2axx+.+ax212n11112121n1n2222n2nnnn称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设x,xx；y,y,.,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式12n12nx=cy+cy+cy11111221nnx=cy+cy+.cy22112222nnx=cy+cy+.cy33113223nnx=cy+cy+.cynn12n22nnn称为由x,x,.,x到y,y,.,y的一个线性替换,。如果c.丰0，那么线性替换（4）就12n12nij称为

3、非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另a=a，ij.由于xx=xx，所以ijjiijjif（x,x,x）=ax2+2axx+.+2axx+ax2+.+2axx+.+ax212n11112121n1n2222n2nnnnnn=乙乙axxijiji=1j=1它的系数排成一个n*n矩阵TOC o 1-5 h z厂aaa1112InaaaA二21222nIaaa丿*n1n2.nm/它就称为二次型的矩阵。显然它是对称矩阵。IXn于是二次型可写成f(x,x,.,x)=XAX2n非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P

4、上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们对变量的个数做数学归纳法。对于n=1，而二次型就是f(x)=aX2已经是平方和的形式了。现假定对n-1元二次1111型，定理的结论成立。再假设f(x,x,.,x)axx(a=a)12nijijijjii=1j=1分三种情况来讨论：1)a(i=l，2，n)中是少有一个不为零，例如a丰0。这时ii11f(x,x,.,x)=ax211112+工axx+axx+axx1j1ji1i1ijijj=2i=2i=2j=2=ax211x+a-1ax:2-a-1：a

5、x1111jj111jj12j=2j=2=a11+2naxx+nnaxx1j1jijijj=2i=2j=2i=2j=2axxijij这里=a112+nnbxxijijx+工a-1ax1111jj丿j=2i=2j=2nnbxx=-a-1ijij11i=2j=2rnIj=2ax1jj丿i=2j=2axxijij是一个X2，-，Xn的二次型。令y=x+工a-iax1111j=2y=x221jjx=y-工a-iax11111jj=2x=y22y=xnnx=ynn这是一个非退化线性替换，它使f(x1,x2,.,x)=ay2+niiii=2j=2bxx。ijij有归纳法假定，对yybyy有非退化线性替换i

6、jiji=2j=2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 z=cy+cy+.cy2222332nn HYPERLINK l bookmark108 z=cy+cy+.cyl),不是一般性，设a丰0。令iiiji2x=z+z112x=z-z1212它是非退化线性替换，且使f(x,x，,X)=2axx+.i2ni2i2x=znn=2a(z+z)(z-z)+.=2az-2az+.i2i2i2i2ii22这时上式右端是Z,z,.,z的二次型，且Z2的系数不为0,属于第一种情况，定理成立。i2ni3)a=a=.a=0由于对称性，有a=a=.a=0iii2in2i222n

7、这时f(x,x，,x)=yyaxx是n-1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替i2nijiji=2j=2换变成平方和。这样就完成了定理得证明。说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。即对于任意一个对称矩阵A,都可以找到一个可逆矩阵C使CtAC成对角形。即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。f(

8、x,x,x)=x2+2x2一x2+2xx一2xx1231231213f11J解：f(x,x,x)的矩阵为A=120123I-10T丿f11-1f11-11202丨1*(1)011-10-1,-10-1,以下为合同变换过程：一f12+1*(-1)311*(1)f10-1f100f100011丿丿0113丨2*(1)_011丿丿?3+1*(1)3+2*(-1)01-2丿,101-2/100-3丿,f1-101-11f1-11010丿丿010丿丿010丿丿001丿,001丿,J001丿,f1-12、01-1001丿1001-12因此D=010,C=01-1、00一3001丿令X=CY,得f（x,x,

9、x）=y2+y2-3y2123123五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论,我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A,都存在一个n级是正交矩阵T,使TTAT=T-1AT成对角形。定理任意一个实二次型f(x,x,.,x)二班11axx(a=a)12nijijijjii=1j=i都可经过正交的线性替换变成平方和f(x,x，,X)=dZ2+dZ2+.dZ212n2233nn其中平方项系数d,d，,d就使矩阵A的特征多形式全部的根。12n因此只要求出特征根,二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。如：典型例题：作直角变换,把下述二次曲面方程化成标准方程,并

10、指出它是什么二次曲面？x2+2y2+3z2一4xy一4yz=11一20、九-120它的矩阵A=-22-2卜E-A|=2九-220一23丿02九一3解：此方程左端的二项式部分为：f（x,y,Z）下把它正交替换成标准型：=（九一2）（九一5）（九+1）,A的全部特征值是2，5,-1.对于特征值2,求出（2E-A）X=0的一个基础解系:=x2+2y2+3z2一4xy一4yz2、3，把a1单位化，得耳-1323；对于特征值5,求出（5E-A）X=0的一个基础解系:单位化，得耳2213一2一323丿；对于特征值-1，求出（-E-A）X=0的一个基础解系:a3=2，把3单位化得耳3=U丿3231令T=23

11、23(200则T是正交矩阵，且T-1AT=051、000丿33(X(、X*令y=Ty*)f(:,nn)丿。反之亦然。在固定的基1，2,，n下，二次型xtAx和对称双线性函数f(Q,B)=XTAy是互相唯一确定的(都是由A确定的)。这种方法的中心问题是：对在V的基1，2,n下游二次型XTAX确定的对称双线性函数f(a,B)=XTAy，满足条件f(n，耳)=0，对iHj(i，j=12,n)ij我们知道，设n，n是v的另一组基，而b=(b)=(f(nn)是fd,B)TOC o 1-5 h z1nijnxni,j关于这个基的矩阵，又设C=(c)是由基,，到基耳，耳的过渡矩阵，即ijnxn12n1nn=

12、才c,i=1,niijjj=1那么B=CTAC，(1)即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使CtAC成对角阵,(b0)11B=,(2)0.bn丿nn再设c是基s，,到基n，,n的过渡矩阵，由（1）式知，f（a,B）关于基耳，,n的2n1n1n矩阵是对角矩阵（2）式，即f（n，n）=0，对i丰j（i,j=1,2,.,n）ij这表明，对于每一个对称双线性函数f（a,B）,都存在一个适当的基n，,n，使它可以写1n成如下形式f（a,B）=ZTBu=bzu+bzu+.+bzu,11112222nnnn其中a二工zn,卩二工un，从而它所确定

13、的二次型ztBz可以写成标准形iiiii=1i=1zTBz=bZ2+bZ2+.+bZ2111222nnn且二次型xtAx化为ztBz所作的非退化线性替换为x=Cz，其中c是由基,.,到基n，,n的过渡矩阵，它使Ctac=b。12n1n于是，化二次型xtAx为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件得V的一个基q，,nn。在Rn中，从一个基1，2,n出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基叫，,nn。该方法的实质就是设n=c,1111n=c+c,V2121222nnn,n=c+c+.+cn1n12n2i丰j，i，j=1，2-，n）的系数

14、窃然后用待定系数法求使得G,n)=o(其中ij为此我们先解决下问题：1）设V是数域P上一个n维线性空间,f（a,B）=xTAy使v上对称双线性函数，其中B二工y,iii=1,，是V的一组基，a=工X,12niii=1x=(x,.,x)T,y=(y,.,y)T,1n1nA是n阶对称矩阵，那么从基1，2，,叩出发，是否能构造如下形式的基n1，,nn：n=csi11in=c8+c8,V2121222n=C8+C8+.+C8n1n12n2nnn,使得f(n，n)=0,对i工j(i,j=l,2,.,n)ij解：将nj=/+C2j82+Cjj8j代入f(ni,nj)得f(n,n)=f(nn=c8+c8+.

15、+c8)iji,j1j12j2jjj=cf(n8)+cf(n8)+.+cf(n8),1ji,12ji,2jji,j所以，若对任意的i及ji有f（n8）=0,则对ji,有f(nn)=f(nn)=0，i,jj,i即n,.,n是所求的基。于是，问题归结为求待定系数c,c，,c,i=1,2,.,n,使向量1n1i2iiin=c8+c8+.+c8i1i12i2iii(3)满足条件f(n8)=f(8n)=0，j=1,2,.,i-1i,jj,i(4)显然，若n满足f（n8）=0，则n的数量倍cn也满足ii,jiif(cn,8)=0，ij故为了确定n，i我们再要求n满足条件if(n,8)=f(8n)=1。(5

16、)iii,i这样，n可以利用条件（4）（5）唯一确定了，将（3）式代入（4）和（5）,得到关于c的iji线性方程组cf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01i1,12i1,2ii1,icf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01i2,12i2,2ii2,iV.(6)cf(88)+cf(88)+.+cf(88)=01ii-1,12ii-1,2iii-1,icf(88)+cf(88)+.+cf(88)=11ii,12ii,2iii,i这方程组的系数行列式为(f(Sii)jf(Vi1)因此，当A丰0时,方程组（G由唯一解，从而可求得向量耳。于是，当A=（a）=（f（8,8）iiijnx

17、niiaaa11121naaaaaA=1112A=21222n2aan2122aaa-n1n2.nm的顺序主子式A严11都不等于0时，可以由方程组（6）求出向量耳，i=1，2,.i2）由1）可知，在A丰0，i=1，2,in的情形下，由方程组（6）可求出上三角矩阵C=(c)=ijnxn110c1ncnn从而由（3）式求得U，i=1，2，.，n，它们满足ib=f(UU)=0,对i丰j,i,j=l,2,.,nTOC o 1-5 h ziji,j使得双线性函数f(a,B)关于基U，,U的矩阵为1n(b0)11B=CTAC=,j0b丿nn是对角矩阵，由此可见，二次型xtAx可经非退化线性替换x=Cz,化

18、成标准形zTBz=bz2+bz2+.+bz2111222nnn其中x=(X1，,Xn)T,z=(z1,亠几TOC o 1-5 h zF面计算b=f(UU)i=1,2,n,由(3)(4)(5)可得iii,ib=f(UU)=f(Uc8+c8+.+c8)iii,ii,1i12i2iii=c=f（U8）iii,i再由克拉默法则，由方程组（6）可解得cii=才（其中令A=l）i因此，综上所述，我们可得以下结论：设二次型血naxx（其中a=a）中，顺序主子式A,A，A都不等于零,1j1j1jj112ni=1j=i则该二次型必可化为下面的标准形：AAA0Z2+1Z2+.+n+Z2A1A2An12n其中A=1。0这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。典型例题：用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。f(x,x,x)=2x2+x2+x2+3xx+4xx123