误差理论误差线性参数的最小二乘法

1、第五章线性参数的最小二乘法例题例1己知某一铜棒的电阻一温度的函数关系为R=a+bt,通过试验，得到在七种不同温度t卜的电阻值如F：序号1234567t/-C19.125.030.136.040.045.150.0R/G76.377.879.780.882.383.985.10050500试求公式中的a（单位G）和b（单位Q/C）。解：测量数值方程为+19.1/?=76.30d+403=82.35a+25.0b=77.80a+45.1b=83.90a+30.1b=79.75a+50.0b=85.10a+36.0b=80.80建立正规方程1X1=1X1+1X1+1Xl=7IXtJ=lXtlXt2+

2、1Xt7=245.3tjXXt+JXt2+t7Xt7=9325.83IXRJ=1XRIXR,+1XR7=566.0tjXRi=t1XRj+t,XR2+t7XR7=20044.5则正规方程为7a+245.3b=566.0245.3。+9325.8b=20044.5解正规方程得a=70.76Qb=O.288Q/C因此，铜棒的电阻一温度数值关系为/?=70.76+0.288r例2试由卜列测杲方程组，求x.y、z的最可信赖值及其权。x=0权P=85y=0P2=108z=0P3=49xy=0.92P4=165zv=1.35P5=78zx=1.00P6=60求正规方程组各系数，如卜表所示。P:Plaiti

3、p,6a2100085850010010800001049001-100.921651651650-111.357800-I011.0060600L310165PiPlPxPap,P:Plaia3a26aJi000000000108000000000490151.01650008151.810533-60-600006060165.-6091.8351-78187257.13解:L123456L123456E从而得正规方程组为310z-165v-60z=91.8J-165x+351v-78z=-257.1J-60 x-78v+187z=165.3J310-165-6

4、0D=-165351-78-60-78187=1056235591.8-165-602=-257.1351-78=1939545.9165.3-7818731091.8-600=-165-257.1-78=-5082990-60165.3187310-16591.86=-165351-257.1=7838806.5-60-78165.3最可信赖值:a1939545.9万一105623550.184=-5082990_Q48iD10562355z=2=7蹄06.5“742D10562355令正规方程组中4=1Py=129.5zZ例3交流电路的电抗数值方程为X=ojL一丄在角频率aC=5比时，测得

5、X为=0.8Q马=2Hz时，测得X为X2=0.2Q%=1Hz时，测得X为X,=-0.3G试求（1）L,C及其方差；（2）CO=3Hz时（=0.1念）电抗值及其方差。解：（1）根据题意列出测量方程如卜：X,=5厶-=0.8Q15CX.=2厶-=0.2Q-2CX3=L-=-0.3Q3C根据测最方程列出误差方程组:volsgo农寸.0Eo1CMGOointtoiIII寸1goi0.0434O.lOfloiioroiII2Q专II17一idio11I*-寸3o1II1001CMom1o11LCMno1o11l3-31.030lomTrwoIm0.80.819_0.20.137-03-0.273-0.0

6、190.063-0.027-0.019V2=VrV=-0.0190.063-0.0270.063-0.028=0.0051n-t0.005132=0.0051a2=0.071血=0.0434=0.101“22=101cr；=dna2=0.0434x0.00510.0002=cl22a2=1.01x0.00510.0052=（2.2）4x0.0052=0.122（2）当0）=3（%=0l）时，电抗数值x=曲一丄=3x0.182丄x0.455=0.394ceC3二32X0.0002+-X0.0052-2,=j00002xJo.00529V0.0434xl.01+0.182+x0.12=0.0019

7、I9x2.2)例4今有两个电容器，分别测鼠其电容鼠，然后又将其串联和并联测鼠，得到如卜.结果(单位九尸)：C严0.2071G=0.2056Q+C,=0.4111-=0.1035G+C2试求电容量的最可信赖值及其精度。解：上述最后一个测量方程是非线性的，因为要化为线性的函数。为此将上述测崑方程式表示为下而的函数形式：fl(Ci,C2)=Cl/2(c1,c2)=c2厶(G，cJ=q+G曲CJ侥为了将厶化为线性函数关系，令C的近似值兀=0.2070,C?的近似值儿=0.2060,并令x,y为修正值。按台劳级数将函数在兀、y。处展开，取一次项，则有/.(C1,C2)=/.(x0,y0)+畫兀+(兽)令

8、=Z(Q，C)-Z(A0,y0)並=1鱼=0dCtdC2dCdC2df4=C；=(0.2060尸=九一(G+C?厂(0.2070+0.2060尸-C=C；=(0.2070=(dC(Q+Cj2(0.2070+0.2060)2-/A=0.2071-0.2070=0.0001/,=0.2056-0.2060=-0.00043=0.4111-(0.2070+0.2060)=-0.0019/4=0.1035-f0-2070 x-2060V0.0002：10.2070+0.2060丿代入得x=0.0001y=-0.0004x+y=-0.00190249x+0.251y=0.00025建立正规方程：aat1

9、=1x1+1x1+0.249x0.249=2.062/,=lx0.0001+1x(-0.0019)+0.249x0.00025=-0.001741x1+1x1+0249x0.251=1.0625=1x1+1x1+0.251x0.251=2.063/,./.=1x(-0.0004)+1x(-0.0019)+0.251x0.00025=-0.00224得正规方程组为2.062x+1.0625y=-0.001741.0625兀+2063y=-0.002242.062D=1.06251.06252.063=3.1251-0.002241.06252.063=-0.00122.062-0-00174=o

10、oo28-1.0625-0.002244=迎j.ooo4D3.125土迺一0.00093.125G=x=0.2070-0.0004=0.2066C2=yQ+y=0.2060-0.0009=0.2051D3.125t几厂阪r麺aD3252.062=1.52儿=0.20710.2066=0.0005v2=0.2056-0.2051=0.0005v3=0.411-(0.2066+0.2051)=-0.0007V4=0.1035-0.2066x0.20510.2066+0.2051=0.0006工X=l35xl()Y=/4X、+5x2=/5测得数据及其相应的标准差为4=1.6325=0.002/,=0

11、.5106=0.002/3=2.1456=0.003厶=3.771內=0.003/5=4.1876=0.003试求待求最“吃的最小二乘估计及其和应的精度。521试由测龟方程為2=1.25xxx2=2.142花=3.86召+x2=3.12求待测最a-,a-2及其相应的精度估计。5-22有三块三等屋块，设其数值为X,Y,乙现用技术干设法将他们和已知尺寸数值为L0的二等量块进行比较测量，比较方式有以卜三种：(1)每块三等鼠块各与二等彊块比较两次。（2）第一块三等帚块与二等最块比较两次，第二块三等駅块与第一块比较两次，第三块三等量块与第二块比较两次。（3）每块三等昴块各与二等量块比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次。上述三种比较方式所得到测杲数值方程式如卜：试问哪一种比较方式能够得到最好测结果（提示：可以比较不同比较方式下未知数的权）?CD(3)X-Lo=LiX-Lo=L：Y-Lo二LsYLo=L(X-Lo=LsZ_Lo二LgX-Lo二L】XLo=L2Y-X=L,Y-X=L,ZY二LsZ-Y二JX-LoLxY-Lo二L2ZLo=LsY-X二JZ-X=LsZY二Le5-23今有四只人型直角尺进行