033相似形及应用(D)

1、一、选择题（2014年广东佛山，4, 3分）若两个相似多边形的面积之比为1:4,则它们的周长之比为（）A. 1:4B. 1:2C. 2:1D. 1:16【答案】B.（2014 湖南湘西州，9, 4 分）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB =90 , CA= CB , AB= 2,过点 C 作 CD 丄 AB, 垂足为D，则CD的长为 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark193 o Current Document 11A 丄B .丄C. 1D. 2 HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 42【答案】C.（201

2、4内蒙古巴彦淖尔，6, 3分）如图，在 ABCD中，E是AD边上的中点，连结 BE , BE、CD的延长线 父于点F,则Saedf : S四边形ABCD的值为（）A.1 : 2B.1 : 3C.1:4【答案】C4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题（2014年湖南省张家界市，12, 3分）如图, ABC中,D、E分别为AB, AC的中点，则 ADE与厶ABC的面积【答案】1:4（ 2014吉林省长春市，13，3分）如图，

3、在边长为 3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线 与AD延长线的交点，若 DE=1,则DF的长为 .3【答案】（2014辽宁朝阳，16，3分）如图，正方形 ABCD的边长为2cm， PMN是直角一块三角板（/ N= 30）， PM 2cm，PM与BC均在直线I上，开始时M点与B点重合，将三角板向右平行移动，直至 M点与C点重合 为止.设BM = xcm，三角板与正方形重叠部分的面积外 ycm2.下列结论：2DPH MC 1第16题图当Ow xw时，y与x之间的函数关系式为 y=；2当2、3 w xw 2时，y与x之间的函数关系式为 y =2x-23 ;3当MN经过AB的中点时，y

4、二（cm2）;21 1一、存在x的值，使y= S正方形ABCD （ S正方形ABCD表示正方形 ABCD的面积）.2其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）.【答案】（2014年辽宁省葫芦岛，13, 3分）如图6, AE, BD交于点C, BA丄AE于点A, ED丄BD于点D，若AC =4, AB =3, CD =2,贝U CE = .E【答案】2.5（2014青海，5, 2分）如图1，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距 32米，则水塔的高度为【答案】106.7.8.9.10.11.12

5、.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题（2014广东省茂名市，24, 8分）如图，己知直线 AB经过O 0上的点 C,且OA=OB , CA=CB , OA交O O于点E.证明：直线AB与O O相切；（2）若AE=a, AB=b，求O O的半径；（结果用a, b表示）（3）过点C作弦CD丄OA于点H，试探究O O的直径与OH、OB之间的数量关系，并加以证明.第24题图【答案】（1）证明：连接 OC, / OA=OB, CA=CB ,二OC丄AB（三线合一），直

6、线 AB与O O相切.（也可先证 OCABA OCB，再证/ OCA= / OCB=9O 得直线 AB与O O相切）AE(2 )在RtA OCA中，设O O的半径为r，由勾股定理得2= ：r a ,解得rb2 -4a28aO O的半径r二b2-4a28a(3)答：0 O的直径的平方等于 OH、OB乘积的4 倍.证明： CD 丄 OA，直线 AB 与O O 相切，CHO = Z OCB=9O/ OA=OB,./ COH= / BOC,.A COHsABOC ,OCOHOB OC，即 OC2 =OB OH ,/ OC是直径的一半，直径的平方等于OH、OB乘积的4 倍.(2014河池，25,10分)

7、0 O的半径为5,AB是O O的直径，点C在O O上，点D在直线 AB上.如图(1)，已知/ BCD=Z BAC,求证:CD是O O的切线；如图(2) ,CD与O O交于另一点 E,BD： DE : EC=2 : 3 : 5,求圆心 O到直线CD的距离； 若图(2)中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现在C,D,E三点中，其中一点是另外两点连 线的中点的情形，问这样的情形出现几次 ？解答：(1)证明：T AB 是O O 的直径，/ ACB=90,即/ BAC + Z ABC=9 0;连结 OC ,V OC=OB, / OBC= / OCB , v/ BCD =Z BAC，/ BC

8、D+Z OCB=90,. OCL CD, CD 是O O 的切线；(2)连结 BE、AC , v AB 是O O 的直径，/ ACB=9 0,/ AEB=9 0 ,又 v/ DBE= / AEB+/ BAE=9 0+/ BAE , / ACE= / ACB+/ BCE=9 0+/ BCE, / BAE= / BCE, / DBE= / ACE , v/ EDB= / ADC , EBDA ACDED BD,设 BD=2X ,贝U由 BD： DE : EC=2 : 3 : 5可得：DE=3 X , CE=5 X , CD=8 X ,AD CD3x 2x AB=10 , AD=1 0+ 2x ,，

9、解得：x=1 , CE=5。10+2x 8x连结OC,过点O作OF丄CD CF=5 , OF= 5 I 3，圆心O到直线CD的距离为 3。2 2 2(3)四次.当D点在线段AB外部运动到某一位置时，会出现E是线段CD的中点；(H)当D点在线段AB上运动时，CD丄AB,此时CD交O O于一点E,则由垂径定理可判断出D是CE的中点;当D点与O点重合时，CD交O O于一点E,此时CE恰好为O O的直径，则有 DE=DC，故D是CE的中点.(2014广西省贵港市，25 , 10分)如图所示，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半 圆O上一点，PA与小半圆 M交于点C,过点C作CD丄OP

10、于点D .求证：CD是小半圆M的切线；若AB = 8,点P在大半圆O上运动(点P不与A, B两点重合)，设PD = x, CD2= y.求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当y= 3时，求P, M两点之间的距离.第25题图【答案】解：(1)连接 MC,/ OA= OPA=Z P/ MA = MCA =Z MCA/ P = Z MCA MC / OPMCD =Z CDP/ CD 丄 OPCDP = 90/ MCD = 90 CD是小半圆M的切线(2)如图，连接 OC,./ OCA = Z OCP = 90/ CD 丄OPCDP = 90 CDO PDC CDCD2= OD PDP

11、D CD/ AB = 8, PD = x OP = 4, OD = 4 x,/ CD2= y y= x ( 4 x)(0v xv 4)当 y= 3 时，x (4 x)= 3 解得：x1= 1, x2= 3,当x= 1时，如图1,则 CD =73 , OD = 3,./ COD = 30 OC = 2詬COA = 30/ DOA = Z CAO= 60 PAO 是等边三角形 PM = 2 3AMO ER当x= 3时，如图2,则 CD = (3 , OD = 1,./ COD = 60 OC = 2,./ COP = Z COA = 60 / CAO = 30 过点P作PE丄AB,连接PB则 PE

12、= ,3 , BE = 2,. ME = 4(2014湖北省潜江、天门、仙桃市，24, 10分)如图，ABC与ADEF是将ACF沿过A点的某条直线剪开得到的(AB、DE是同一条剪切线)平移DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点 E旋转DEF，使ED , EF分别与 AB, BC交于M , N两点图EM与EN有何数量关系？请直接写出结论;(1 )如图，ABC中，若 AB=BC，且/ABC=90 ,则线段如图，AABC中，若AB=BC，那么(1 )中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由； 如图，ABC中，若AB:BC =m:n,探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论

13、【答案】图D图图解：(1) EM=EN(2) EM = EN仍然成立.证明：过点E作EG丄BC,EH JAB,G、H为垂足，连接BE,如图B图/EHB= /EGB=90 / HBG+/HEG=180 在四边形BHEG中，/ZHBG+ ZHEG=180 ./HEG= /DEFAB=BC,E 为 AC 中点， BE 平分/ ABC, aEH = EG HEM GEN EM=EN线段 EM与EN满足关系：EM:EN = n : m证明：过点 E作EG丄BC, EH丄AB, G、H为垂足，连接 BE,如图/EHB= ZEGB=90 在四边形 BHEG 中，/ HBG + ZHEG=180 ./HBG+

14、 ZHEG=180 /HEG= /DEF /HEM=/GENHEM sGENEM:EN = EH:EG-E 为 AC 中点，SAbe = S.cbe11即：丄 AB EH BC EG22 EH:EG = BC:ABEM:EN=BC:AB= n:m(2014年湖北省恩施州，23, 10分)如图13, AB是O O的直径，CD是弦,AB丄CD,垂足为E.连接AC、AD , 延长AB交过点C的直线于点 P,且/ DCP= / DAC.求证：PC是O O的切线；(2 )若 AC=5 , CD=6，求 PC 的长.A【答案】解:如图，连接OC, AB丄CD, AB是O O的直径，弧 BC=弧 BD，/

15、CEO=90 ,/ CAB= / DAB ,/ DAC= 2 / CAB,又/ COB=2/CAB,/ DAC= / COB,/ DCP= / DAC,又在 RtA ABE 中，/ CEO=90,/ ECO+ / COB=90 / ECO + / DCP =90 / PCO=90 .OC丄PC,又OC为O O的半径.PC是O O的切线./ AB 丄CD ,11CE=DE= CD= X 6=3,22在 Rt AACE 中，AC=5 , CE=3 , AE= ,AC2- CE2=4,设O O的半径为R,在 RtOCE 中，OC=R , OE=AE-OA=4-R ,oe2+ce2=oc2,( 4-R

16、) 2+32=R2，解得 R= 25 ,8OC= 25, OE=4- 25 = 7,8t/ EOC= ZDCP, Rt PCERt COE,匹= CE,即PCOC OE258 PC= 75 .7(2014年湖南省张家界市，24, 10分)(满分10分)如图，在四边形 ABCD中，AB = AD , CB= CD , AC与BD 相交于O点，OC = OA，若E是CD上任意一点，连结 BE交AC于点F，连结DF.证明：CBF CDF ;若AC = 2.3 , BD = 2，求四边形 ABCD的周长；请你添加一个条件，使得/ EFD =ZBAD，并予以证明.CB =CD,【答案】解: (1)证明：

17、/ AB= AD, CB= CD , AC 是 BD 的垂直平分线, BF=DF 在CBF 与CDF 中，4=8.答案不唯一，第一种添加BE丄CD,或/ CEB= / FED.证明:t CBF CDF,/ CBE = Z EDF .又 BE丄 CD,/ CEB= /FED =90. CBEsAFDE./BCD= /EFD.又四边形ABCD是菱形，/ BCD= /BAD./ EFD = /BAD.第二种：添加BCDFBEDE证明：/ cbf cdf , / CBE = / EDF. BC BE又,DF DE CBEsAFDE./ BCD= /EFD.又四边形ABCD是菱形,/ BCD= /BAD

18、./ EFD = /BAD.(2014湖南湘西州，23, 10分)如图，在8X 8的正方形网格中， CAB和厶DEF的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点 M .填空：AC=, AB=;求/ ACB的值和tan / 1的值；判断 CAB和厶DEF是否相似？并说明理由.(/一BAD/-E第二题图【答案】解：(1) 2 .5 , 2 ,10 ;T BC=AC= . 2242 =2 .5 , AB= . 2262 = 2.10 , BC2+AC2= (2 . 5)2+ (2 . 5)2 =40, AB2= (2 一 10)2 =40 ,2 2 2- BC +AC =AB

19、, ABC是直角三角形，且/ ACB=90 ./ 2 1tan / 1=.2相似，理由如下:DE= ,12 22 = 5 , DF= 12 22 = .5 , EF.12 32 = 10 ,AC=2 5=2, BC = 2 5=2, AB = 2 10=2DE 5 DF 5 EF 10AC = BC = AB DE DF EF CABs def .BC=3，点O为对角线BD的中点，点 PC运动，当点P与点A不重合时，过点PQMN与厶ABD重叠部分的面积为 S (平(2014吉林省长春市，24 , 12分)如图，在矩形 ABCD中，AB=4,从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每秒一个单位长度的

20、速度向终点P作PQ丄AB于点Q,以PQ为边向右作正方形 PQMN ,设正方形 方单位)，点P运动的时间为t(秒).求点N落在BD上时t的值.直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围. 当点P在折线AO-DO上运动时，求 S与t之间的函数关系式 4)直接写出直线 DN平分 BCD的面积时t的值.第(24)题【答案】解：(1)当点N落在BD上时，如图3PN=PA=t, DP= PN=t .43 t+t =3 .4解得t=?当t= 时，点N落在BD上.7(2)当点O落在MN边上时，如图图此时，AP=AM = 1AB=2, t=22当点O落在PQ边上时，如图图此时，AD+DP=3+- = 11

21、, t2 2 2当点O在正方形PQMN内部时t的取值范围是2v tv 11当0vtw 12时，如图.7图2 2S=S 正方形PQMN =12当上v tw 3时，如图图S=S 正方形 PQMN SanFE=t2-1 7t_34 7t-32 43 4=-25t2 7t-6.2411当3v tw时，如图.2S= S 梯形 PQME=丄8-t3 8- t 3 8-t TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 2 IL205592= t -840 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document

22、9 丄2 1872= t - t+ - HYPERLINK l bookmark118 o Current Document 4055作BC的中点E点，连结DE,如图.图 DN平分 BCD的面积，点N在DE上.作NG丄AD于点G , EH丄AD于点H ,/ GN / HE,DGNDHE ,GNDG 13，其中，HE=AB=4, DH=CE=BC= HED H22设正方形的边长为 m,贝U DG=AD-MN=3-m,GN 3- m当点P在线段AD上时，如图此时，GN=AM=m,3- m ?代入（1）得，m424解得m=.1124 AP=,11 t= 2411当点P在线段DO上时,此时，GN=AM

23、=AQ+QM =4-m代入（1）得，一412解得m= .7AD+DP=3+AQ X如图333647 t=367当点P在线段OC上时，如图图+m=73m，i 3此时，GN=AM=2+imI 2丿317 m代入(1)得，虫一48解得m= .5 AD+DO+OP=3+ 5 +21763 t=173当直线DN平分 BCD的面积时,t=24 或 t=36 或117t=1739. (2014辽宁朝阳,交线段AC、BC于25, 10分)已知Rt ABC中，AC = BC= 2.直角顶点 P在AB上滑动，直角的两边分别 E、F两点.(1)如图1,(2)如图2,立AP 1 口亠亠、 PE 1当且PE丄AC时，求

24、证：一PB 3PF 3AP当1时(1)的结论是否仍然成立？为什么?PB(3)在( 2)的条件下，将直角/ EPF绕点P旋转，设/ BPF = a ( 0V a V 90).连结EF，当 CEF的周长等于2-46时，请直接 写出a的度数.3.【答案】解：(1 )T PE 丄 AC,：/ PEA = 90=/ C. PE / BC.A AEPs PFBAP PE 1PE 1又.PF = PB -PB BF 3BF 3(2)BAP如图，连接 CP T1 AP = PB , ACB 为等腰直角三角形， CP = AP = PB，/ A =Z PCF = 45PBPE/ APE +Z EPC=Z EPC

25、 +Z CPF = 90./ APE =Z CPF APE CPF PE= PF 1PF(3) 75 或 15(2014辽宁锦州，25, 12分)(1)已知正方形 ABCD中，对角线 AC与BD相交于点 O,如图 ，将？BOC 绕点O逆时针方向旋转得到？B OC OC与CD交于点M，OB与BC交于点N，请猜想线段 CM与BN的数量 关系，并证明你的猜想.(2)如图，将(1)中的？BOC绕点B逆时针旋转得到？BO C,连接AO DC 请猜想线段 AO与DC的数量关系，并证明你的猜想.图求出匹的值(用:的三角函数表示)CFC(3)如图 ，已知矩形 ABCD 和Rt?AEF有公共点 A，且/ AEF

26、=90,/ EAF = Z DAC =:,连接 DE、CF，请图图【答案】解：(1) BN=CM 理由如下：,四边形ABCD是正方形，1 BO=CO ,Z BOC=9O,/ OBC = Z OCD = X9O=450.,2由旋转可知，/ B OC 90,/ BON = Z COM, ,J2(2) AO =DC. ，”，”，”，”，”,5 分2由旋转可知，/ OBC=/OBC=45,/ BO C=/BOC=90.BO _ 2BC 2又四边形 ABCD是正方形， /ABO =1 X900=45,. AB2BDBO / ABO / OBCAB2BCBD ?ABO s?OBC AODC-，即 AO 2

27、DC ,2 -(3)在矩形 ABCD 中，/ ADC =90,/ AEF =90，/ AEF = / ADC/ EAF = Z DAC=: , ?AEF s ?ADCAE AF10分又/ EAF + Z FAD = Z DAC+Z FAD，/EAD =Z FAC, ?AED s?AFC, 匹CFAEcos：AF12分(2014内蒙古巴彦淖尔，21, 8分) 如图，O O是厶ABC的外接圆，BC为O O直径，作/ CAD= / B且点 D在BC的延长线上，CE丄AD于点E .求证：AD是O O的切线；若O O的半径为6, CE=1，求CD的长.【答案】(1)证明：连接OA/ BC为O O的直径/

28、 BAC=9 0 / B+ / ACB=9 0/ OA=OC/ OAC= / OCA/ CAD= / B/ CAD+ / OAC=9 0 即/ 0AD=9 0 0A 丄 AD点A在圆上AD是O O的切线.(2)解：T CE 丄 AD/ CED= / OAD=9 0CE/ OA CED OADCD CE,CE=1OD OA设 CD=x，贝U OD=x+6解得*=，经检验* =是原分式方程的解.5所以CD =.5（2014内蒙古巴彦淖尔，23 ,10分）如图1，将三角板放在正方形 ABCD上，使三角板的直角顶点 E 与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交 CD于点F,另一边交CB的延长线于点

29、G .（1）求证：EF= EG:如图2,移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.如图3,将中的“正方形 ABCD ”改为“矩形 ABCD ”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若AB = a, BC = b，求的值.EG，/ DEF+ / BEF=90【答案】 证明：/ GEB+ / BEF=9 0/ DEF= / GEB又 ED=BE , Rt FED 也 Rt GEB EF=EG(2)成立证明：如图，过点 E分别作BC CD的垂线，垂足分别为 HI，贝U EH=EI,Z HEI=9 0,同理可得 Rt FEI也Rt GEH EF=EG如图，过点 E分别作BC CD的垂线，垂足分别为 M N,贝MEN=9 0 , EM/ AB , EN/ AD .EM CE EN EM AB aAB _CA 一 AD EN 一 AD 一 b/ GEM + /M EF=90，/ FEN+ / MEF=9 0FEN= / GEM , Rt FEN s Rt GEM .EF EN bEG - EM a(2014青海，27, 8分)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题(1)如图15- 1，将角尺放在正方形 ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺