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1、 4.4 有理函数的积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例一、有理函数的积分有理函数的形式当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 1111)1(1122223+=+=+xxxxxxxx. 提示： 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 解 分母可因式分解的真分式的不定积分 AB1 2A3B3 )3)(2()32()(23)3)(2(3-+=-+-=-+xxBAxBAxBxAxx

2、x, A6 B5 例1 解 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 分母可因式分解的真分式的不定积分 例2 求 . 解 Cxxx+-+=21arctan23)32ln(212.分母是二次质因式的真分式的不定积分 例3 提示：二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数. 用于三角函数有理式积分的变量代换 三角函数有理式的积分 设2tanxu=,则有222122tan12tan22sec2tan22cos2sin2sinuuxxxxxxx+=+=,222222112sec2tan12sin2cosc

3、osuuxxxxx+-=-=-=. 解： 法一 例4 求 . 解： 例4 求 . 法二 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 令2tanxu=,则212sinuux+=,2211cosuux+-=. 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解: 简单无理函数的积分 例5 求 . 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例6 求 . 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 例7 求 . 解 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 简单无理函数的积分 设txx=+1,即112-=tx,于是Cxxxxxx+-+-+-=11ln12. 例8 例9 求积分解 令说明:无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.简单无理式的积分.有理式分解成部分

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