2013-3复变函数与积分变换补考总复习

1、总 复 习第一部分 复数与复变函数1.复数的概念2.复数的代数运算共轭复数3.复数的其他表示方法（1）几何表示（2）向量表示复数不能比较大小复数的模幅角（3）三角表示（4）指数表示4.复数的乘幂与方根（1）复数的乘积与商（2）幂与方根(3)对数函数 把满足方程 的函数 称 为z的对数函数，记作 令 则由 性质：(2)Lnz的各个分支在除去原点与负实轴的复平面内处处连续、 处处解析.且(3)幂函数设 是任意复数，对于 ，用下列等式定义z的幂函数性质（1） 是一个无穷多值函数；（2）其各个分支在除去原点和负实轴的平面上是解析的，且第一部分 典型例题例1 计算例2 求方程 的解. 例3 计算第二部分

2、 解析函数1.复变函数的导数与微分函数在一点可微与在一点可导是等价的. 可导与连续的关系：连续是可导的必要而非充分条件(1)定义 设 在区域D有定义. 设 , 若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析.也称 是 的解析点. 2.解析函数在区域内解析与区域内可导等价.定理2.1复变函数 在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要 条件是二元函数 在 处都 可微，并且满足Cauchy-Riemann方程推论2.1：定理2.2复变函数 在区域D内解析的充分必要条件是 在区域 D 内可微, 且在D内满足C-R方程.(2)可导与解析的判定2.调和函数和共轭调和函数调和函数：设 在D

3、内具有二阶连续偏导数，且定理3.15 （解析函数与调和函数的关系）任何在区域D内的解析函数，它的实部和虚部都是调和函数.共轭调和函数设u(x,y)为区域D内的调和函数，如果区域D内的另一函数v(x,y)使u+iv在D内构成解析函数，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数.若区域D内的调和函数u和v满足C-R方程，则v是u的共轭调和函数.任何在区域D内的解析函数，它的虚部为实部的共轭调和函数.注：该定理逆不一定成立.注：求调和函数的共轭调和函数方法：偏积分、不定积分典型例题例1 函数何处可导，何处解析？例2 研究的可导性.例3第三部分 复变函数的积分定理3.1 设C是分段光滑(或可求长)的

4、有向曲线 在C上连续，则 存在，并且 1.积分存在的条件及计算定理3.2 (Cauchy积分定理) 设f (z)是在简单闭曲线C上以以及由它所围成的区域D内处处解析，则2. 柯西-古萨基本定理此时，积分与路径无关. 3.基本定理的推广-复合闭路定理在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以定理2.4 设是多连通区域D内那么（1）分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 都为边界的闭区域含于D内. 若f在D内解析，（2）C,Ck均取正向定理3.10 设f (z)在区域D内处处解析, C为D内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D,z0为C内任意一点 则 4. Cauchy积分公式定理3

5、.11解析函数f (z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数可表示为5.高阶导数公式6.明星公式总结复变函数积分的计算方法：（1）如果被积函数f(z)在单连通区域D内解析，(柯西古萨基本定理）（N-L公式）（2）如果被积函数在区域D内解析有单个奇点，c为包含奇点的任意光滑简单闭曲线的正向，（柯西积分公式）（高阶导数公式）说明：如果被积函数不符合上述形式，要通过拆项等方法，使之符合上述形式（3）如果被积函数在曲线C所包围的区域内有多个奇点，根据复合闭路定理，在封闭曲线C上的积分可以转化为包含各个奇点的小圆周闭曲线上的积分和.第三部分 典 型 例 题例1 求沿着 的积分例2 求积分例3 计算例4 计算

6、例5第四部分 泰勒级数和洛朗级数本章主要内容考点：1.复数项级数敛散性的判定； 2.幂级数的收敛半径； 3.在解析环域内将函数展成洛朗级数.1.复数项级数定理4.3（级数收敛的充要条件） 均收敛.推论4.1（复数项级数收敛的必要条件）绝对收敛与条件收敛收敛重要结论：复数项等比级数2. 复变函数项级数3.幂级数(2)定理4.7 (Abel定理)若级数 在 则当 时, 级数 绝对收敛; 若级数 在 处发散，则当 时, 发散. 处收敛，(1)定义：（3）幂级数收敛半径的计算方法（比值法和根值法）(1) 当 时, 收敛半径 (3) 当 时, 收敛半径 (2) 当 时, 收敛半径 定理4.8 设级数 如

7、果满足下列条件之一：则（4）函数展成幂级数4.洛朗级数定理4.11(Laurent展开定理) 设 函数f (z)在圆环域 内解析, 则函数f (z) 在此环域内必能唯一地展开为Laurent级数 其中C是圆周 的正向. （1）（2）将函数展成洛朗级数的方法：间接展开法可用代数运算、代换、求导、积分等方法去展开.第四部分 典型例题例1 判断下列级数的敛散性：例2 求下列幂级数的收敛半径：例3 将函数 在下列圆环域内展成洛朗级数.第五部分 留数与留数定理1. 孤立奇点及其分类内处处解析，则成z0为f(z)的孤立奇点.（1）定义：如果函数f(z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域（2）分类：孤立

8、奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为2. 零点与极点的关系（1）零点定义：不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成其中，j(z)在z0解析,那么z0称为f(z)的m级极点.（2）关系：定理5.2 （1）定义：设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向 Jordan曲线， 积分 称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 留数即是f(z)在圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数. 3. 留数与留数定理（2)留数基本定理: 设函数f (z)在区

9、域D内除有限个孤立奇点外处处解析, C是D内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan曲线, 则 说明:(1) f(z)在D内处处解析，柯西-古萨基本定理；(2) 把沿封闭曲线的积分计算转化为留数的计算.3. 计算留数的方法(1) 如果为的可去奇点, 则成Laurent级数, 求(2) 如果为的本性奇点, 展开则需将)(zf(3) 如果为的极点, 则有如下计算规则如果 为 的1级极点, 那么法则0如果 为 的 级极点, 取正整数 法则1法则2设及在都解析. 如果那么为f (z)的1级极点, 并且4. 函数在无穷远点处的留数定义5.8 设z=是f (z)的孤立奇点, C为圆环域为f (z)在z=的留数，并记做 其中 绕原点的任一正向简单闭曲线（f在其内解析），则称积分表示圆周 的负向(即顺时针方向). 即 定理5.4设函数f (z)在扩充复平面内只有有