博士计量经济学试题

1、-计量经济学博士研究生入学试题（A ）解答一、简答题1、指出稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件。答：稳健标准误和稳健t 统计量的适用条件是样本容量较大的的场合。在大样本容量的情况下，一般在横截面数据分析中总是报告稳健标准误。在小样本情况下，稳健t 统计量不那么接近t 分布，从而可能导致推断失误。2、若回归模型的随机误差项可能存在q （ q1 ）阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验统计量是什么？答 ： 如 果 模 型 ： yt01 x1t2 x2tptt的 误 差 项 满 足 ：t1t 12t 2qt qvt ，其中vt 是白噪声。原假设H 0 :10 ,20 ,，q0那么，以下两种回答

2、都可以。1）、(1).yt 对x1t, x2t ,x pt (t1,2,T )做OLS 回归,求出 OLS 残差?t ；(2).?t对x1t,x2 t,x pt,?t 1 ,?t 2 ,，?t q做 OLS回 归 ,(tq1, q2,T ), 得到R 2 ；(3).计算 (2) 中的?t 1 , ?t2 ,，?t q 联合 F 检验统计量。若F 检验统计量大于临界值， 则判定回归模型的随机误差项存在q（ q1 ）阶自相关；否则，则判定判定回归模型的随机误差项不存在 q （ q1 ）阶自相关。2）、 完成了 1）中的（ 1 ）、（ 2）两步以后，运用布劳殊戈弗雷检验（ Bresch Goldfe

3、ry test） LMTq R2，由于它在原2假设 H 0 成立时渐近服从?分布。当 LM大于临界值，q2则判定回归模型的随机误差项存在q （ q1 ）阶自相关；否则，判定回归模型的随机误差项不存在q （ q1 ）阶自相关。3、谬误回归的主要症状是什么？检验谬误回归的方法主要有哪些？在回归中使用非平稳的时间序列必定会产生伪回归吗？答：格兰杰（ Granger）和纽博尔德（Newbold）认为在用时间序列数据进行回归估计时，如果R2 在数值上大于德宾沃特森统计量，则我们应当怀疑有谬误回归存在。检验谬误回归的方法主要是用DF 和 ADF 检验考察回归的残差是否服从 I(0) ，进而判定变量之间的关

4、系是否为协积的，从而检验出谬误回归的存在性。回归中使用非平稳的时间序列不一定会产生谬误回归，比如两个协积的变量，虽然它们可以非平稳，但是不会产生谬误回归。4 、一般的几何滞后分布模型具有形式：yt1xt it ，i2i 0Et0 ，c o v t ,st ,s ，01。如何对这类模型进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量？答：对一般的几何滞后分布模型yt011i 0ixt it ，有限的观测不可能估计无限的参数。为此，必须对模型形式进行变换：注意到：yt 101i1xt i 1i 0t 1 ， 从而：yt1yt 101xtt1t 1yt01xt1yt 1t1t 1由于 yt 1 与 t 1

5、 相关，所以该模型不能用OLS 方法进行估计，必须采用诸如工具变量等方法进行估计，才能获得具有较好性质的参数估计量。5、假定我们要估计一元线性回归模型：ytxtt ，Et0 ，c o vt ,s2t ,s但是担心xt 可能会有测量误差， 即实际得到的xt 可能是xtxtt ， t是白噪声。如果已经知道存在与xt 相关但与t 和 t 不相关的工具变量 zt ，如何检验xt 是否存在测量误差？答：已知存在与xt 相关但与t 和 t 不相关的工具变量zt ，用最小二乘法估计模型xta0a1 ztvt ，得到残差v?txta?0a?1 zt。把残差?t 作为解释变量放入回归方程ytxtv?tut ，用

6、最小二乘法估计这个人工回归，对显著性假设运用通常的t检验。H 0 ：0（H 1 ：0（xt 与 t 之间没有相关性）xt 与 t 之间有相关性）注 意 ， 由 ytxtv?tut可 推 得 ytxtv?tut， 即 ：tv?tut 。利用对ytxtt 所做回归得到的残差?t 替代t ，对系数作 OLS估计，当 t检验显著时就表明误差。否则就没有。xt 与 t 之间有相关性，即xt 存在测量6、考虑一个单变量平稳过程（ 1） 这里，tIID 0,yt02以及1 yt 110 xt1。1 xt 1t由于（ 1 ）式模型是平稳的， 何t 有：yt和xt都将达到静态平衡值，即对任yE yt，xE xt

7、于是对（ 1）式两边取期望，就有( 2)也就是(3)y01 yy001110 x1 x01xk1k1 x这里 k1 是 y 关于 x的长期乘数，重写 (1) 式就有：yt011 yt 10 xt01 xt 1t011yt 1k0k1 xt 10 xtt(4)我 们 称 (4) 式 为 (1) 式 的 误 差 修 正 机 制 （ Error-correction Mechanism）表达式（ ECM ）。在（ 4）式中我们可以发现长期均衡的正、负偏离对短期波动的作用是对称的。假如这种正、负偏离对短期波动的作用不是对称的，那么模型应该如何设计与估计？ 答：若对误差修正（ECM ）模型，假如发现长期

8、均衡的正、负偏离对短期波动的作用是非对称的话，模型可以设计如下：ytxt12t 1yt 1k0k1 xt 1txt1yt 1k0k1 xt 12t 1yt 1k0k1 xt 1t其中t1yt0ytfxtfxt为虚拟变量，表示Y 偏离的方向。当 yt 正偏离时，t1 ，误差修正项系数为12 ；当 yt 为负偏离时，t0 ，误差修正项系数为1 。参数估计的方法可用MLE ，也可用 OLS。7、检验计量经济模型是否存在异方差，可以用布罗歇帕甘检验（ Breusch Pagan）和怀特（ White）检验，请说明这二种检验的差异和适用性。答：当人们猜测异方差只取决于某些解释变量时，布罗歇帕甘 检验（

9、Breusch Pagan）比较适合使用；当人们猜测异方差不仅取决于某些解释变量，还取决于这些自变量的平方和它们的交叉乘积项时，怀特（ White）检验比较适合使用。虽然， 有时使用布罗歇帕甘检验无法检验出异方差的存在，但用怀特（ White）检验却能检测出来。不过，怀特（White）检验要用掉很多自由度。8、在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的变量系数的OLS 估计是无偏和一致的吗？请举简例说明。答：在模型设定时，如果遗漏重要变量，那么模型中保留下来的 变量系数的OLS 估计通常是有偏和不一致的。例如，假定工资模型为：wagei01 educi2 exp eri3abil i

10、i如果估计时遗漏了变量abil i，得到如下估计模型：wage educ exp eri01i2i即使假定educ,exp er无关， 我们也容易证明 也都是有偏和与21不一致的，且有：neducieducabil iE1 1i 13neducii 12educ由于30 ，并且变量 educ 与 abil 正相关， 因此， 是正偏误和不1一致的。 二、综合题1、为了比较 A 、B 和C 三个经济结构相类似的城市由于不同程度地实施了某项经济改革政策后的绩效差异，从这三个城市总计NANBNC 个企业中按一定规则随机抽取nAnBnC 个样本企业，得到这些企业的劳动生产率y 作为被解释变量,如果没有其

11、它可获得的数据作为解释变量，并且 A 城市全面实施这项经济改革政策， B 城市部分实施这项经济改革政策，C 城市没有实施这项经济改革政策。如何建立计量经济模型检验A 、 B 和C 这三个城市之间由于不同程度实施某项经济改革政策后存在的绩效差异？解：把 A 、 B 两个城市中第i 企业的劳动生产率yi 写成如下模型：yiDAiDBii，2i N 0,i1,2, n A , nA1, n AnB ,n An B1, n An BnC（ 1）这里，虚拟变量D Ai 可表示为：D AiD Bi1,第i个企业来自于城市A0,其它1,第i个企业来自于城市B0,其它（ 2）（ 3）于是，参数表示城市C企业的

12、期望劳动生产率，而参数表示城市 A 企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率 之间的差异， 即+表示城市A 企业的期望劳动生产率；参数表示城市 B 企业的期望劳动生产率与城市C企业的期望劳动生产率 之间的差异，即+表示 B 城市企业的期望劳动生产率，即：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi10, D Bi0（ 4）要检验城市A企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间的有无显著差异，改写模型为：yiD Ai(D BiD Ai )i，2其中，； i N 0,；此时，有：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi

13、 10, D Bi0（ 5）运用 t 检验看参数是否显著地不为0，否则就认为城市A企业的期望劳动生产率与城市B 企业的期望劳动生产率之间无显著差异2、用观测值y1 ,y 20 和x0 , x1 , x20 估计模型yt0 xt1 xt 1et得到的 OLS 估计值为?5.0 2.23?0.8 2.21?0.3 1.8601R20.86和?225括号内为 t 统计量。 由于? 的 t 值较小， 去掉滞后回归自变量xt 1 重1新估计模型，这时，R2 为多少？解：去掉滞后回归自变量型：xt 1 后所估计的模型可以看作是无约束模yt0 xt1 xt 1et在约束条件：R0之下所得到的估计。这里，R0

14、,0,1 ，,0 ,1。设无约束模型的OLS 残差向量为 e，带约束模型的OLS 残差向量为eR ，则有：? 21 e e 20125 ，从而可得到：e e20 ?2t?0225500令 CX X21?cij3 3 ，则 有11?c22， 从 而 可 得 到 ：c22t ?10.025611注意到带约束模型的OLS 残差平方和与无约束模型的残差平方和存在如下关系：eReRe eR ?R X XR1 R ?e e?21c225003.47503.47由R 21SSE1 SSTe e SST， 可推得：SSTe e1R 2同理，由2eReRR1RSST可推得：2eR eRR1RSST1eR eR

15、1R2 e e所以，2eR eR 1R2R1Re e1503.475000.240.863、对线性回归模型：yixi i，（ i1,2,n ）-（ 1）满足Exii0 。假定zi可以作为xi 合适的工具变量，且Var(| Z)2I，请导出工具变量估计量，并给出它的极限分布。解：由于Exii0 ，所以参数向量的OLS 估计将是不一致的。假定zi可以作为 xi 合适的工具变量，对模型进行变换：zi yiTzi xiziiTT-（ 2）从而有：zi yii 1zi xii 1ziii 1-（ 3 ）根据：E1Tzii 0 ，V1Tzii 2Tzi zi-（ 4 ）Ti 1T并且p lim( 1Ti

16、11zi xi ) p lim(TTiTzii )i 11M zxTi 100T1T所以运用 OLS 估计方法， 可得：?z xz y-IViiii i 1i 1（ 5）TIV注意到：?1TTi 11zi xi1TziiTi 1由（ 4）和中心极限定理，可得：IVT?的 极 限 分 布 为 正 态N 0,2M ZZ分 布 ， 其 中 ：M zzp lim1TTzi zii 1a2NIV也就是，： ?,M zzT4、考虑如下受限因变量问题：、二元离散选择模型中的Logit模型，在给定xi ， i1,2, N 条件之下 yi1 的条件概率为：pPry1| xexp xiiii1exp xi在重复观

17、测不可得的情况下，运用极大似然估计方法证明：NNp?iyii 1i 1其中， x1,x , x, x， p?iexp xi ?。iii1i 2ip1exp xi ?2、为什么利用观测所获得的正的数据理的？y* 来估计 Tobit模型是不合、对 Tobit模型： 分布，yixii ，i1,2, n 以及i 服从正态N 0,yiyi ,若yi0 ；yi0,若yi0；求：（ 1）、 Eyi yi0 ；（ 2）、对重复观测不可得的情况详细说明Heckman提出的模型估计方法。答案：1）、 证明：对Logit模型，其似然函数可写成如下形式：NLP yii 1yi1 xiP yi0 xi1 yi-（ 1）

18、（ 1）式的对数似然函数为：Nlyii 1log Fxi1yilog 1Fxi-（ 2 ）（ 2）式关于参数的一阶导数为：Nxlyi fxii1yifxixiNexp xiyixii 1F xi1FxiNi 11iexp x?exp xi（ 3）于是， 一阶条件为：Nyii 11Nix0 exp xi ?-由（ 3）式可知：yi xii 1p?i xii 1-（ 4）由于 xi得到：1, xi1 , xi 2 , xip中第一分量为常数1 ，所以根据（4）式可NNp?iyii 1i 1i2）、假定我们考虑的Tobit模型为：服从正态yixii ，i1,2, n 以及iN 0,2 分布，满足yy

19、i ,若yi0 ；yi0 ,若yi0。则有：E yi yi0 xiEiixixi/xi1xi/即： E yi yi0 xi1xi/xixi/xi/xixi/yi也就是仅仅考虑利用观测所获得的正的数据* 来估计Tobit模型，所获得的参数的估计是有偏的， 并且其数值大于xi，并且依赖于，这就是仅仅运用正观测值子样本来估计Tobit模型的不合理性。3）、我们知道，对于Tobit模型有这样的结论：xiEyi| yi0 xixiixiixii（ 1 ）i这里，xi，xii，。iii如果有关于i 的估计，就可得到的一致估计。James Heckman设计出了一种相对比较简单的两步估计法， 但这个估计法能

20、够得到的一致估计。（ 1）在重复观测不可得的条件下，具体的估计步骤如下：第一步， 我们通过Probit模型来区分 “y*0 ”的观测和 “y*0 ”ii的观测，可以得到：Pz1 xPy*0 xPxxx，iiiiiiii运用极大似然估计方法有：NLPzii 11 xiziPzixiziNzixi1i1N1 zixi（ 2 ）对数似然函数为：lzi l n xi1zil n1 xi（ 3）i 1lNzixi根据：1xxi0 ， 利用数值运算方法可i 1iixi ?pb以求得 ?，这样就很容易获得?。ipbx ?ipbi第二步，我们在获得了? 之后，考虑下述模型：yixi?ui， （ i1,2, N

21、 ）（ 4 ）i其中，我们假定ui 满足高斯马尔可夫条件。于是，运用OLS方法可以得到Tobit模型的参数估计?。但是，需要注意的是， 全可能不满足高斯马尔可夫条件，出现序列相关或异方差的现ui 完象，因此，需要运用广义最小二乘法(GLS) 或可行的广义最小二乘法(FGLS) 。一般情况下，由OLS 方法得到的t检验是有偏的。另外， Heckman的二步估计法不如Fair的极大似然估计法那样有效。因此，只要可能的话，最好采用极大似然估计法。计量经济学博士研究生入学试题（B）解答一、简答题1、说明随机游动过程和单位根过程的联系与差异？如何检验某个经济变量具有单位根？答：随机游动过程在形式上与单位

22、根过程完全一样，但它们之间 的本质性差异在t 上。当t 是白噪声时，我们就称该过程为随机游动过程（ random walk）；当 t 是平稳过程时，该过程就是单位根过程。随机游动过程是单位根过程的一种特殊情形，它是非平稳过程。如果某个经济变量的数据发生过程满足ytyt 1ut，假定随t机干扰项 u 独立同服从于均值为0，方差为2 的分布时， 检验它是否具有单位根可以用迪基和富勒（DF）检验； 如果放宽对随机干扰项的限制，允许随机干扰项ut 服从一个平稳过程，即utc jtj ，在这种的情况下，它是否具有单位根可以用增j 0广的迪基和富勒（ADF ）检验。2、协积的概念是什么？如何检验两个序列是

23、协积的？答：如果yt 和xt 都是非平稳I 1 过程变量，则我们自然会预期它们的差，或者诸如etyt12 xt一类的任何线性组合也是I 1 的。但是，有一种很重要的情形就是etyt2 xt是一个平稳的I 0 过程。这一情形我们称yt 和xt 是协积的。协积意味着yt 和xt 拥有相似的随机趋势， 于是它们的差et 就是平稳的， 它们相互之间绝不会偏离太远。协积变量yt 和xt 之间表现出一种定义为yt1xt 的长期均衡关系，而 et 是均衡误差，表示对长期均衡关系的一种短期偏离。通过检验误差etyt12 xt是否平稳，我们判断yt 和xt 之间是否协积。因为我们不能观察et ，所以就使用迪基富

24、勒（DF）检验，通过检验最小二乘估计的残差e?tyt?1?2 xt的平稳性来替代。3、在二元离散选择的模型中解释变量xik变化作用的符号与其系数k 的符号有什么关系？为什么？至少写出二点关于Tobit 模型与二元离散选择的模型的区别？答：在Probit模型、 Logit模型中的参数是无法直接解释的。我们可以通过如下微分来考察这些模型：xi xik1exp12xi22xik（ 1 ）G xiexi1exiexi2exiexi（ 2）2xik1exik1exi这里，xi表示标准正态密度函数。这些微分度量了xik 变化的边际作用。xik变化的边际作用都依赖于xik的数值。 在（ 1）和（ 2）两种情

25、况下，xik变化作用的符号与其系数k 的符号是相一致的。Tobit 模型与二元离散选择的模型的区别：（ 1）概率单位模型和 Tobit模型的区别是前者因变量使用的是哑变量，后者因变量使用的是删尾的连续变量；（ 2 ） Tobit模型中 yi0 要比 yi0 时yiyi有更重的权数， 因为有Pr yi0 | xiPr yi0 | xi，这是其它离散选择模型所不具备的。4、海德拉斯（ Hildreth ）和卢（ Lu） (1960) 检查分析了 30 个月度的时间序列观测数据（从 1951 年 3 月到 1953 年 7 月）， 定义了如下变量：cons =每人冰激凌的消费量（按品脱计） inco

26、me =每周平均的家庭收入（按美元计） price =每品脱冰激凌的价格（按美元计） temp =平均气温（ F）1）、用 cons对 income， price， tem和常数作线性回归模型，得到DW统计量的数值为1.0212 ，请说明模型存在什么病态？答：说明模型的随机误差项可能存在序列相关，因此，用cons对 income，price，tem和常数作线性回归模型所得到的参数估计可信度低。2 ）、上述模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)，得到DW1 .5822 ，并且该项的系数估计为负，请说明加入该项的作用以及系数为负的经济含义。答：模型中加入平均气温的一阶滞后项tem(-1)后，

27、有助于改善随机误差项存在序列相关所带来的干扰和影响；该项系数为负说明，如果上月的平均气温很高，当月趋于正常的话，当月每人冰激凌的消费量不会保持上个月的高水平，只会有所下降，并与当月的平均气温呈正向因果关系；反之也一样。3 ）、请写出2 ）中模型的另一种表达式，说明该表达式中变量系数的符号，解释符号的经济意义。答：若const01 pricet2incomet3tempt4 tempt 1t ，且其参数满足：10 ，20 ，30 ，40，且有34 ，因为，一般当月的平均气温对每人当月冰激凌的消费量影响最大。我们可以把上述模型进行变形，即：const01 pricet2 incomet(34 )t

28、empt4 (tempttempt 1 )t01 pricet2incomettempttemptt其中，各个变量的系数满足10 ，20 ，0 ，0。这说明每人月冰激凌的消费量受价格的抑制影响，而收入与当月的平均气温与每人冰激凌消费量的走向一致，当月平均气温的变化量与每人冰激凌消费量的变化也是一致的。4、说明R2 和调整的R 2 之间的差异， 为什么在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R 2 ，而不是一般的决定系数R 2 呢？答：由于 R211N2ei 1N( p1)iNSSE/Np11， 而1N1i 1 N2ei2yiySST/N1NR21i 1yii 11SSEy 2SST因此，当模

29、型中引入另外的回归变量时，无论这个变量是否合理，即：R 2 值永远不会减小。R 2 是用于修正自由度的拟合优度度量，R211N2eiN( p1)i 1NSSE/Np111N11R 21N1i 12yiySST/N1Np1于是，当模型中引入另外的回归变量时，R 2 值也许就会减小。因此， R 2 并不依赖于模型中解释变量的个数，这也就是在多变量线性回归模型的拟合评价中人们主要用R 2 ，而不是用一般的拟合优度 R2 。5、对于一种简化的异方差模型，即假定：Vari / xi2 h2 ，这里ii假定 hi 可以被 h? 估计的。那么关于参数的可行的广义最小二乘估计（ FGLS）量如何得到？它是否还

30、具有广义最小二乘估计的优良性质？答：假定Var/ x2 h 2 ， h 是已知的。 于是， 关于参数的广义最iiii小二乘估计（ GLS）量适用于下述转换了的模型：yi( xi )ihihihi很明显，转换了的模型的随机扰动项具有同方差。这样，就产生了 GLS 估计量：?GLSNx2hiii 1xi 1 Nx2hii yii 1i由于 hi 可以被 h? 估计，则得到参数可行的广义最小二乘估计（ FGLS ）量，即?Nh? 2 x x 1 Nh? 2 x yFGLSiiii 1iiii 1FGLS显然， ?不再具有无偏性的性质，但一致性继续保持。7、在美国有人对密歇根的AnnArbor的大学生

31、进行调查，认为 男生和女生对空间（用ROOMPER度量）和距学校的距离（用DIST 度量）具有不同的观点。试问如何利用租金（用RENT 度量）数据对下述模型：RENT12SEX3ROOM PER4DIST用 F 检验法检验假设Var男Var女？注： SEX 为虚拟变量（ 1；如果是女生 ;0 ；如果是男生） 。答：假定被调查的男大学生和女大学生人数分别为N1 和 NN1 ，利用被调查的男大学生和女大学生的数据分别对下述模型：RENTi12 ROOMPER i3 DIST iiN1NN1ee221i1i?男2女进行 OLS 估计，得到2i 1，i 1。22。2N13(NN1 )32于是，对原假设

32、H 0：男2和备择假设H 1：男女女检 验 统 计 量 为 F2?男2在 原 假 设女H 0：男2成 立 时 服 从女FN13, NN13分 布 。 若 FF1N1, NN13， 则 拒 绝 原 假 设 设H 0 ， 认 为Var男Var女成立；否则，就认为Var男Var女不成立。8、为了研究美国住房需求情况，我们利用对3120个家庭调查的截面资料资料，对以下回归模型：log Q12 log P3 log Y其中Q=3120个家庭中的任何一个家庭每年所需要的住房面积平方英尺数；P= 家庭所在地住房的价格； Y= 家庭收入。假设我们认为住房需求由两个方程组成，一个描述黑人的住房需求，另一个描述白

33、人的住房需求，这个模型可以写成：log Q12 log P3 log Y；白人家庭log Q12 log P3 log Y；黑人家庭我们希望对黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验。这个假设是联合假设：112233为了对上述假设进行检验，我们首先对上述模型进行估计，并将每个方程的误差平方和相加，得到ESSUR13640。现在， 假设原假设为真，则模型简化为log Q12 log P3 log Y所有家庭对这个模型进行估计，得到它的误差平方和ESSR13838。我们能否认为系数全相等是正确的？答：对于黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设进行检验，我们采用邹检验（Ch

34、owtest ）。在原假设成立时，FESSRESSUR3 F3,3114，计算检验统计量ESSUR3114FESSRESSUR3198 315.1 ，远大于 5%显著性水平时F 3,3114ESSUR311413640 3114的临界值，所以拒绝黑人需求方程的系数等于白人需求方程的系数的原假设，它们之间存在显著差异。二、综合题1、假定模型的矩阵形式yX，其中 E0 ，E X0 ；、假定E2 I，求在 Rr 条件下， 参数的最小二乘估计量。T、假定E2 I且 是正态向量N 0,2，构造检验原假设H 0 ：TITRr qrank (R) 的检验统计量，并说明该检验统计量服从 F 分布。、如何判断参

35、数线性约束条件是否成立，请做说明。R2 k、证明：对模型显著性检验的统计量F2RT，请说明k1原假设是什么？其中，R2 是模型yX在无约束条件下作OLS 估计所得到的拟合优度。解： 1）、要求在约束条件Rr 下，参数向量的最小二乘估计量，目标是求向量函数VyXyXRr达到最小。R时的参数向量?对上述函数求导可得：d V2 XyX ddRr2d11R（ 1）2 X y2 X X?2 R ?01R?X XX yX XR?OLSX XR?（ 2）因为，（ 3）?RrRROLSR X X1 R ?所以， ?R X X1?1RROLSR11R X XR?RrOLS（ 4）即、1ROLSX XRR X X

36、11?RROLSr（ 5）?根据上式中带约束参数向量的最小二乘估计公式，我们1有：?ROLSX XR11R X XR?RrOLS（ 6 ）从而，可以得到带约束参数向量模型的最小二乘估计残差公式：eReOLSXX X111R R X XR?R1rOLSReR eReOLSeOLS?ROLSrR X X11?RR X XX eOLSeOLS XX X111RR X XROLSrR?OLSrR X X11RR X X1X XX X111RR X XR?RrOLS整理以后可得到：eReReO LSeOLSR ?OLSrR X X11?RROLSr0（ 7）也就是说，带约束参数向量模型的最小二乘估计残差

37、平方和相对于无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和会变大， 即：（ 8）eReReUOLS eUOLS要检验原假设H 0 ： Rr 是否成立，需要构造检验统计量。根据（ 8）式中所体现的性质，我们构造F 检验统计量：FeR eReUOLS eUOLSq， 这里qrank (R) 。eUOLS eUOLSNp1（ 9）当原假设H 0 ： Rr 成立并且误差向量不仅满足高斯马尔柯夫条件， 还满足正态分布时， 可以得到： FeR eReUOLS eUOLSq服从自由度为q, Np1 的FeUOLS eUOLSNp1分布，即 Fq, Np1 。）、对于给定的检验水平，若 FF1q, Np1 时，

38、说明带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和eReR 与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和eUOLS eUOLS 之间差异显著，此时，我们对参数向量的约束条件Rr 不成立，也就是说在原始模型中并不存在参数之间的这种约束关系。因此，我们拒绝原假设H 0 。若 FF1q, N1 时，说明带约束参数向量模型的最小二乘估计残差平方和eReR 与无参数向量约束模型的最小二乘估计残差平方和 eUOLS eUOLS之间在统计上没有什么差异，此时，我们对参数向量的约束条件 Rr 是合理的，也就是说在原始模型的参数之间确实存在着这种关系。因此，我们接受原假设H 0 。）、注意到无参数向量约束条件时模型

39、的拟合优度（或称决RU定系数）2和参数向量带约束条件时模型的拟合优度（或称决定2系数） RR分别为：R1U2SSEU2SSTU, R21SSER SSTUR从而有：SSEU 1USSTU ，SSER 1R SSTURR2可以推得：SSERSSEUeReReUOLSeUOLSUR SSTURR22这样，残差形式的F 检验统计量：FeR eReUOLS eUOLSqeUOLS eUOLSNp1又可以写成拟合优度形式的F 检验统计量：RRUq22FRRU12Np1R2p2因此，当对模型显著性检验的统计量FU，则原假设1RUTp1指的是所有解释变量的系数都为零，即2H 0 ：12p0 。也就是当H 0

40、 成立时，有RR0 。这时，对模型显著性检验的统计量R2p2FU。1RUTp12、对线性回归模型：yX， 其中随机误差向量满足高斯 -马尔可夫条件。、 定义最小二乘估计量b .、 如果 X 的第一列每个元素都是1,证明最小二乘残差和为零，即ei0 。、 令(,)RK 1K2 , b(b , b),和X( X , X ),推导 b和b12121212的表达式。、 如 果 E2与单位矩阵不成比例，试推出b 和 ?(GLS)方差形式。解： 1）、按照最小二乘的思想，我们定义该模型最小二乘估计量bX X1 X y注意，这时我们认为X X是可逆的矩阵。12 ）、令 X, X 1，其中，1，则根据残差向量

41、的矩阵形式eyXbIXX X11Xy ，可以得到： X e0 ， 于是可推得：eX eeXX eei0i0， 即有：ei0。11、令 M 1I 1X 1 X 1 X1X 1e1X1， M 21I 2X 2X 2 X 2X 2根据yX11X 22-（ 1）由（ 1）式左乘 M 1，可得：M 1 yM 1 X11M 1 X 22M 1-（ 2）注意到：M 1 X 10，可得： b2X 2 MX 2X 2 M 1 y-（ 3）同理：M 2 X 20，可得：b1X 1MX111X 1 M 2 y-（ 4）、如果 E2与单位矩阵不成比例，则根据：Var b11VarX XX y1X XX11Var y

42、XX X可得：V a rb2X XXXX X1由于 E2为对称正定矩阵，所以存在非奇异矩阵P ，满足PPI，也就是PP1 。根据这一性质，我们对模型进行变换：PyPXP， 显然，Var PP2P2 I。因此，对变换11了的模型运用最小二乘估计，得到：? GLSX P PX1 X P PyXXX1 y从而，Var? GLSX1 XX1 (2)1 XX1 X12 X1 X。113、假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资之间存在着恒定的差 别，为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否 相同以及方便起见，在模型中只包含受教育水平和性别二个 定性的解释变量。试设计模型既能体现存在恒定的工资差别，

43、又能反映存在受教育回报上的差别，并对模型参数的估计及 其所蕴涵的意义进行讨论。解：假设年轻男性职员与年轻女性职员的工资(wage)之间存在着恒定的差别，同时为方便起见，在模型中只包含受教 育水平(edu)和性别(female)二个定性的解释变量。为进行模型分析，我们把定性的解释变量转换为可进行定 量分析的虚拟变量，即：femalei1,第i个被观测者是年轻女性 职员0，否则edui0， 第i 个被观测者没有受过初1，第i个被观测者受过初等教2，第i个被观测者受过中等教3，第i个被观测者受过高等教等教育育育育由于本问题涉及的解释变量多于1个虚拟变量，因此， 当被解释变量取为logwage时，这些

44、虚拟的解释变量系数就具有一种百分比的解释。为检验年轻男性职员与年轻女性职员受教育的回报是否相 同，考虑到加入解释变量交互项能够产生不同的斜率这一作用，我们设计如下模型：logwage i0 femalei1 femaleieduii-（ 1 ）在（ 1 ）式中代入femalei0 ，就会发现，年轻男性职员这一组的截距为0 ，而受过初等教育的斜率为1 。对于年轻女性职员这一组，代入femalei1；于是其截距为00 ，而受过初等教育的斜率为11 。因此，0 度量了年轻男性职员与年轻女性职员在截距上的差异，1 度量了年轻男性职员与年轻女性职员在受过初等教育回报上的差异。要估计模型（ 1），我们可以把它改写成：logwage i00 femalei1edui1 femaleieduii（ 2）对模型（ 2 ）中我们可以用OLS 方法估计出参数0 ,0 ,1 ,1 。对于0 ,1的取值可以分成如下四种情况：（ 1） 00 ， 10 ； （ 2） 00 ，