随机信号分析：1概率基础知识

1、电子信息与自动化学院 随机信号分析课程的学习方法基本方法课堂作业答疑进一步复习和预习讨论参考资料课程的考核平时成绩（30）班级的总体表现点名和作业抄题目每周四交作业，随机产生要交作业的学生序号答疑和课堂回答问题考试成绩（70）确定信号随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。随机信号随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。概率论（复习和提高）第一讲概率空间随机现象的数学空间随

2、机问题的建模随机现象随机试验概率空间样本空间事件域 F概率 P随机现象雷达自动跟踪到的飞机的轨迹证卷交易所中，某股票一周的波动记录新街口测量噪音的分贝记录体育彩票下次开奖的特等奖号码明天上午我的心情。随机现象随处可见。一个随机现象连续抛一枚硬币三次正，正，正正，正，反正，反，正正，反，反反，正，正反，正，反反，反，正反，反，反随机试验随机试验是具有以下三个特征的试验：1、试验在相同的条件下可以重复；2、每次试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验将会出现的所有可能；3、每次试验前不能确定哪个结果会出现。随机试验简称试验，通常用 E 表示样本点：随机试验可能出现的结果，一般用ksi表示。样本空间

3、：随机试验 E 中所有可能出现的结果，即全体样本点的集合，一般用 表示。事件举例随机试验：连续抛一枚硬币三次，观察出现的结果样本点：随机试验每个可能出现的结果： A0=正，正，正 A1=正，正，反 A2=正，反，正 A3=正，反，反 A4=反，正，正 A5=反，正，反 A6=反，反，正 A7=反，反，反B1A0， A1， A2， A3 第一次抛的结果为正的事件B2A0， A7 三次结果相同的事件B3A0， A1， A2， A3， A4， A5， A6， A7 必然事件=样本空间随机试验：抛一颗骰子，观察出现的点数样本空间：全体样本点的集合 1,2,3,4,5,6样 本 点：随机试验每个可能出现

4、的结果： 1、2、3、4、5、6投掷结果为3的事件 A=3投掷结果为奇数的事件 B=1,3,5投掷结果为大数的事件 C=4,5,6必然事件 D=1,2,3,4,5,6不可能事件 E=随机事件：随机试验中可能出现的结果，它是个集合。事件的运算（事件的关系）事件之间的关系等价于集合之间关系。AB包含：BAAB和：AB积：ABBAAB差：AB互不相容：ABAB逆：A事件域 事件域 F 是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。 集类是指以集为元素的集合。集：就是事件。所以，事件域就是事件的集合。事件域F随机事件： 在随机试验中每一种可能出现的结果一般称为随机事件，简称事件。一般用大写字母A，B，C 表

5、示基本事件：（1）任何两个基本事件是互斥的。（2）任何事件（除不可能事件外的）都可以表示为若干个基本事件的和。必然事件：样本空间也可以看成为一个事件，由于每次试验中必然出现中的一个样本点，所以称为必然事件。不可能事件：空集也可以看成为一个事件，由于每次试验中必然不在中 ，所以称为不可能事件。事件域 F ：是由样本空间中的某些子集构成的非空集类。（集类是指以集为元素的集合。）概率P古典概型几何概型统计概型公理化定义有限、等可能，A 无限、等可能，无限、非等可能，非负性、规范性、完全可加性 （参见教材P5） 在概率论的发展史上，人们曾针对不同问题，从不同角度给出了概率的三种定义和计算方法。 这三种

6、定义和计算方法都具有各自的适用范围，存在一定的局限性，但在三种定义下概率的性质却是完全相同的。 因此，人们从概率的性质出发，给概率赋予一个新的数学定义，即概率的公理化定义。 这个定义只指明概率应具有的基本性质，不具体规定概率的计算方法。若定义在事件域 F 上的一个集合函数 P 满足下列三个条件： 非负性： 规范性： 完全可加性：若 且两两互不相关时，有概率的公理化定义:则称 P 为概率。样本空间 、事件域 F 和概率 P 构成的总体（, F, P）称为随机试验 E 的概率空间。 概率的性质: 给定概率空间（, F, P），从概率的公理化定义的三个条件，可以推出概率的性质： 不可能事件的概率为

7、0， P()=0 必然事件的概率为 1，P()=1 逆事件的概率为， 有限可加性：若 ，且两两互不相容，则 : 单调性：若 ，则: 加法公式： 次可加性：条件概率定义乘法公式全概率公式贝叶斯公式概念1条件概率定义：P(A/B)表示在B事件已发生的条件下，A事件发生的概率。P(A/B)L(AB)/L(B)=P(AB)/P(B)可看成在缩小“样本空间” B上,求A发生的概率。AB=BAB同理可得： 若A于B 互不相容 P(AB)=0，则P(A/B)=0，P(B/A)=0。且有：条件概率乘法公式定义：例1.3 一批零件共100个，次品率为10。每次从其中任取一个，取出后不再放回，求第三次才取得合格品

8、的概率？解：设第一次取出零件是次品为事件A1，第二次取出零件是次品为事件A2，第三次取出零件是合格品为事件A3。条件概率全概率公式完备事件集：AB1B2BiBn全概率公式：例1.4 某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，若发现其中有次品，则认为这批产品不合格。假定每批中的次品最多不超过4个，且有如下分布，求各批产品通过检查的概率？ 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 条件概率全概率公式解：设一批产品中有 i个次品的事件为 。则有设事件A表示这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品。则 由全概率

9、公式求出条件概率Bayes公式 定义：Hi 概率Hi先验概率Hi后验概率例 对以往数据分析的结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90；而当机器发生某一故障时，其合格率为30；并且每天早上开机时，机器调整良好的概率为75。求：某天早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 由Bayes公式求出解：记“产品合格”为事件A，“机器调整良好”为事件 B，则概念2独立两事件独立：A发生的概率与B发生与否无关。即P(A/B)=P(A) 或 P(B/A)=P(B) 或 P(AB)=P(A)P(B)ABABA 43 保持不变P(A)=L(A)/L()=1/5 610可见B变化时，都有 P(A/B

10、)=L(AB)/L(B)=1/5= P(A)（A和B独立）但是，AB （A和B相容） （教材P10）情况1：B 45情况2：B 25两个事件互不相容表示两个事件不能同时发生。 独立与相容的关系：1、如果把“A与B互不相容”放在概率论范畴去讨论，则表示“A发生B就不能发生”。因A限制了B，则A与B相关。2、若把“A与B相互独立”放在集合论范畴去讨论，由于P(AB)=P(A)P(B) 0, P(A) 0, P(B) 0， 即AB ,由于A与B可以同时发生，则A与B必定相容。多个事件相互独立A, B, C相互独立A, B, C两两独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C) “相互独立”可推出“两两独立”，反之不行。多个事件相互独立例：取四只相同的球，在第一只球上写上记号1 2 3，在其他的三只球上分别写上记号1、2和3，把这四只球放在一个口袋中并且随机的取出一只来