量子力学与能带理论LI GUOzhu

1、量子力学与能带理论 李国柱导体、半导体、绝缘体能够让电流通过的材料，导体依其导电性还能够细分为超导体、导体、半导体、及绝缘体。在科学及工程上常用利用欧姆来定义某一材料的导电程度。导体、半导体、绝缘体绝缘体，又称电介质，是一种阻碍电荷流动的材料。导体、半导体、绝缘体半导体是指一种导电性可受控制，范围可从绝缘体至导体之间的材料。*不同的材料为什么会有不同的导电性能，是材料怎样的微观结构导致了导电性的差异？问题为了研究固体的导电性能，我们首先需要研究固体内部电子运动的理论，这就是我今天要讲的能带理论。能带理论提出的背景能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子实和

2、最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。19251926，Heisenberg， Schordinger等人建立量子力学的矩阵力学形式和波动力学形式。1946年他和汉森、帕卡德一起研究发展核感应原理，即用原子核感应的方法测量由于原子核磁矩旋所感应的电动势，提出核磁共振技术，和 E.M.Purcell获得 1952年诺贝尔物

3、理学奖。在Heisenberg的建议下， Bloch 应用量子力学研究固体中的电子问题。他从电子在周期性离子间运动的图像出发，得出固体中电子运动的波函数的一般形式（Bloch波函数），这一理论为现代固体理论奠定了基础 （1928）能带理论能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题单一 H 原子内 s, p, d 能级上的电子云分布.电子共有化对于能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势垒。因势垒较宽，因此电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各

4、自的原子核周围运动。对于具有较大能量E3的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动；还有那些能量E2接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。这样在晶体内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。价电子受母原子的束缚最弱，共有化成度最为显著。内层电子的共有化程度小，与孤立原子的情况相近。 多电子在原子和晶体中的势场单电子势能曲线 双电子势能曲线周期势场固体中的电子和孤立原子中的电子一样么？晶体中电子共有化的结果，使得晶体内电子的能量状态不同于孤立原子中的电子，晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，这些允许的范围称为能带，而不能处于两个能带之

5、间的区域，此区域称为禁带。对于理想晶体，其原子服从晶格排列，具有周期性，因而可以认为离子实的势场也具有周期性。晶体中的电子在一个周期性等效势场中运动，其波动方程为：晶格的周期性势场模型周期性等效势场 波函数 能量1.在晶体中每点的势能为各个原子实在改点所产生的势能之和2.每一点势能主要取决于与核较近的几个原子实（因为势能与距离成反 比）3.理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具有周期性4.电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在晶格势场中附 加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性能带理论布洛赫波由一个平面波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。其中与势场具有相同周期性。由

6、上面的薛定谔方程解得布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数。布洛赫函数的性质行进波因子 表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子称为共有化电子。它的运动具有类似行进平面波的形式。那么，周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。 能带理论当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解存在性质：具有晶格周期性（T为晶格平移矢量）。其中这一结论称为布洛赫定理（Blochs theorem），其中为晶格周期矢量。能带理论硅晶格中的布洛赫波绝热近

7、似：所有离子都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞（多粒子的多体问题一种粒子的多电子问题）平均场近似：忽略电子与电子间的碰撞，用平均场代替电子与电子间的相互作用。每个电子都是固定的离子势场和其它电子的平均场中运动的。（多电子问题单电子问题）周期场近似：固定的离子势场看作周期势场，电子的平均场是常势场。（最后简化为周期场中的单电子运动问题）能带理论的假设和近似能带形成的量子力学理论晶体中电子共有化的结果，使得晶体内电子的能量状态不同于孤立原子中的电子，晶体内电子的能量可以处于一些允许的范围之内，这些允许的范围称为能带，而不能处于两个能带之间的区域，此区域称为禁带。我们从用薛

8、定谔方程出发，来说明能带的形成。对一维线性晶体点阵，电子受到周期性势场的微扰作用，在电子能量较大即接近是自由电子的情况下，电子的薛定谔方程为式中势能U(x)具有周期性 U（x）=U（x+nd） n=1,2,3.薛定谔方程的求解按照标准的量子力学解题步骤，可得到波数能量关系下面程序画出的左边曲线是对等式(25.1.5)的右边函数关于变量k作图得到的，因为等式右边函数的取值范围为-1，1，这样对k亦即能量E的取值范围有一定限制。相应于等式右边函数的允许取值范围，我们画出E对ka的图。能带图形双击添加标题文字单击此处添加段落文字内容单击此处添加段落文字内容单击此处添加段落文字内容双击添加标题文字单击

9、此处添加段落文字内容单击此处添加段落文字内容单击此处添加段落文字内容双击添加标题文字E k曲线有许多不连续的地方，即某些k值处（ka=n）,曲线“打开了缺口”，缺口对应的能量是不允许的，由此构成了禁带。禁带的形成原因上面的分析说明，由于周期势场的微扰，E（k）函数将在K为/a的整数倍出断开，能量有突变。能带理论平面波波矢K（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常

10、用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。(a)(b)(c)一维能带结构的三种表示方法（a）能带的简约布里渊区表示；（b）能带的周期性表示；（c）能带的扩展布里渊区表示扩展布里渊区图像：不同的能带在k空间中不同的布里渊区中给出；简约布里渊区图像：所有能带都在简约区中给出；周期布里渊区图像：在每一个布里渊区中给出所有能带。能带形成的能级影响理论关于能带的形成，还可以从晶体中各个原子的能级的相互影响来说明。如下图所示，在单个原子中，电子具有分离的能级如1s,2s,2p等，如果晶体内含有N个相同

11、的原子，那么原先每个原子中具有相同能量的所有价电子，现在处于共有化状态。这些被共有化的外层电子，由于泡利不相容原理的限制，不能再处于相同的能级上，这就使得原来相同的能级分裂成N个和原能级相近的新能级。由于N很大，新能级中相邻两能级的能量差仅为10-22eV，几乎可以看成是连续的，N个新能级具有一定的能量范围，通常称为能带。（如下图所示）原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n、l 、ml 、ms 能带的成因示意图1s2p2s分裂成2个能级分裂成N个能级原子分子晶体一般地，形成固体时，原子轨道能级展开成一个能带N个原子能带的重要意义固体的导电性质，主要是能带结构决定，而不是由

12、固体电子的多少决定。能带是分析新材料、设计新器件的基础能带工程。能带的概念被推广到固体中光、声的传播（1987光子晶体、声子晶体）。能带理论是凝聚态物理中最重要的部分能带理论的发展1900,Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、热导；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计（量子），解释电子的热容量等。固体的能带理论的建立：1928，F. Bloch 应用量子理论研究固体的电子运动，提出Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基础。1931年，A. H. Wilson 依据能带理论，成功地解释了金属、绝缘体和半导体的差别（定性研究）。 1964, W. Kohn等建立密度泛函理论，借助与计算机，能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等。（精确计算）Kokn,物理学家、1998年诺贝尔化学奖能带理论固体材料的能带结构由多条能带组成，能带分为传导带（简称导带）、价电带（简称价带）和禁带等，导带和价带间的空隙称为能隙。能带理论能带结构可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。材料的导电性是由“传导带”中含有的电子数量决定。当电子从“价