金融时间序列分析单位根检验

1、第三章单位根检验3.1整的次数的确定一、整的次数d是决定一个时间序列性质的关键因素。我们首先研究d为0, 1这两种情况下的性质。1 d =0 ,均为I (0 ),记为为I (0 )；此时为0阶整，平稳过程。假设均值为零，则I (0 )过程有如下性质：1)为方差有限，并且与时间t无关；2)扰动项5对应的影响有限，暂时的；Xt在均值附近波动，重复通过均值0的期望时间均值有限；对于足够大的滞后k ,自相关函数Pk的大小持续下降。Pk的总和有限。2 d =1 , Xt为I (1 )，记为XtL I (1 )；此日为1阶整过程，其有如下性质：1)时间t趋向于无穷时，方差 V(Xt )趋向于无穷；2)扰动

2、项斗对Xt的影响持久；并且 Xt使所有历史扰动项的总和Xt重复通过0的期望时间无限；随着t向无限扩展，自相关函数 PkT1。注：非平稳性可以通过散点图和自相关图观测出来，但它们不能判断非平稳性的具 体形式。例子： 考察AR(p)过程B = 1-91B 1-g2B . 1-gpB平稳时其所有根都在单位圆外，即满足|gi| 1 o假设其中的一个根 gi与1相近，记作gi =1- 6为一个很小的正数。此时自相关函数 Pk =Ag1k + Ag； +. + Apg；三Ag：意味着Agik其支配作用，此时由于 gi近似为1,则指数衰减 Ag：十分缓慢，且几乎 呈现出线性特征。问题：ma过程会不会出现这种

3、情形？当 1=1时，能不能用ARMA进行建模，为什么？二、过度差分问题对于非平稳过程，我们要进行差分；但是过度差分却是有害的，平稳过程进行差分 仍然是平稳过程，此时就是过渡差分问题。过度差分的后果：考虑MA(1)过程Xt =(1 6B招现在进行差分(过渡差分)：内二!1-8 1-iB ；t=1 - 1 【B B2 ；t = 1 - %B - 12B2 ；t这是我们比较它们的方差：V Xt = 0 Xt = 1 T 022.2222V .xt )= % Xt )=(111 二=2 1 1 1 二所以 V xt -V xt = 1 1 C2 . 0结论：过渡差分会增大过程的方差。3.2单位根检验一

4、、单位根过程1定义：随机过程xt,t=1,2,.是一个单位根过程，如果xt+ut ; tt =1,2其中4=1, 4为一平稳过程，且 E(ut ) = 0;cov(ut,ut产 us o,s= 0,1,2,.2 单位根过程和平稳过程的区别：现在考虑简单的 AR(1)过程 为=小冠十名二1,2,.;.当为严格白噪声，独立同分2布，这里 E * =0,D * =二：二，cov *；t5 二，t;s现在我们来估计参数中。构造最小二乘估计量 Tv T?二 tP/ 二,tjt，十T 二心二x2网1时，因为 耳独立同分布，则xt和8t不相关。一一为什么？于是根据大数定律，当 T T如时，可以概率收敛于参数

5、*。所以1时，卑是一致估计。大数定律(切贝晓夫大数定律)：设随机变量序列。两两不相关，且它们的方差有公共的上界C ,即 TOC o 1-5 h z 1nPD(q， N 0, 1- 2如果e=1 ,即单位根情况下，OLS估计量的方差为零。此时发生质的变化，即极限分布 出现了变化，需要新的工具。二、泛函中心极限定理和维纳过程标准维纳过程标准维纳过程 M(t )tw 10,1 D是定义在闭区间上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件：(1) W(0) = 0; (2)闭区间上任何一组有限分割 0Mti t2 . ,rN 0,二2 二 N 0,二2rT t m对于 r10,11, W r L N

6、0,r所以 B r =、Txt r =；：.W r泛函中心极限定理包含三个含义：1)W 1 L N 0,1；2)3)4二W r L N 0,W ( r H 7连续映照定理_2仃r卜设%,t =1,.2,.为一随机变量，并以分布收敛于某一随机变量x,若g(.)为连续函数，那么随机变量序列g(xt ),t =1,2,.的分布收敛于随机变量g(x )，记为dg(Xt H g(x)。3.3单位根检验一、DF检验考虑AR(1)过程Xtt =1,2,.,Tq L NID (0,a2 )； x0 =0。_d则e=1时，OLS得到的统计量 斤(咚N(0,(1-*2 ),没有意义；需重新构造统计量。一一看构造什

7、么样的统计量？问题：为什么对T进行调整？Tt%4 ；t% -1 = :，这样构造有什么意义？中分子分母的极限分布情况。以为所以这里所以t=1 时，Xt=Xt十% = % |_N(0,o2t)s 42222Xt = Xtj；t= Xt. 2Xt1七. ；t1222Xt i ；t = 2 - Xt二一 t.T1.- xt，t 二二 t42=0 X；t =二 2T tjtXtU n 0,1.；TXt1 U2为什么?22t 一 X0GJ禽厂.人TjT p为什么?,、I2 二211Xta ；t 11现在考察分母的极限情况。TZ x2(为什么不是卡方分布)11卡方分布：n设X,X2,.,Xn为相互独立同分

8、布N (0,1)的随机变量，定义 Q=乙2,则Q的分i=1布服从自由度为n的卡方分布，记作 Q|_72(n)。因为E X2 =1 T 22 T2T T -1所以 E 、X：=二- t -1 =02I-t d J 112为了使均值收敛，须对其按1 ，一-4进行调整T2二2卜面考察Xt J2 V 2_21-： xtjT .一 Xt 二、. T t4t4 ,TT c2- T1 Rt2 CT2 dr dr因此对于模型Xt = X；t所以T2 1 -r2二 0 RT r dr建立假设检验：原假设H0: -1 =0H1 : -1 ： 0为什么是单边检验?卜面就是建立统计量T12t Xt2因为T 7 -1

9、=TT jttwt=1T2 2TXt _1tt 1TT 一 Xt tt m7TSt T y X、 1tm一1121212120 W r dr.0_W r dr这个T统计量和通常意义下的 t统计量有所不同，其检验通常称为 DF检验(Dickey Fuller) 检验。七统计量的临界值，可以通过Monte Carlo模拟获得。XtXXtDF检验也有三种模型：=又口 . ； t=：XtJ；t a +% % t对于第二种模型xt =口 +,，建立联合检验H0：s =0,e =1 ,备择假设H1:a#0,42 , supt E(at ,父8。S TcrS =lim E I 存在且为正数，其中 ST =

10、at5 T _tat是强混合的，混合数 vm满足2 vm”08。 m 1强混合性：他度量的是序列内部在时间上的相关程度与强度。如果at是平稳的，则强混合性就等价于遍历性。O0在这个模型中，仃S =E(a2 )+2Z E(a1aj ) j金只有当at为白噪声，仃S才等于为的方差。由于这种不等性，使得需要对DF统计量作“非 参数”修正。此时正确的检验为：Zd)=Ta .1-d?2 )厂 (仁-又)2_ t z2T 1其中=(T -1 fZ xt ,喏.和02分别为黄和。2的一致估计。 11同样PP检验也有三种模型Xt = Xtatx=：KatXt-t)X1a砧.4DF(ADF)检验的过程共三种模型

11、Xt =, ；ti 1kXt =： W ；ti 1k3)殁. t j Xt i ；t i 1具体的检验步骤：ADF检验步骤接受单位根检验的实现(EVIEWS )一、步骤建立数据。利用散点图，初步判断非平稳形式。在主菜单选择 Quick/series Statistics/Unit root test输入序列名，OK进入单位根检验对话框选择检验类型，有两种：ADF(DF);P- P检验选择单位根阶数：分为 0阶(level)原序列，1阶差分序列(1st差分)，2阶差分序歹U。选择检验方程的形式： 分为： intercept; trend and intercept; none滞后差分：选择滞后阶

12、数。8725.278667.959217.62 12596.94 9719.95 10125.71 10304.41 14350.75 10954.39 11193.37 11439.43 16520.74 12181.2812247.712449.75 18490.53 13424.77 13399.25 13596.07 20320.9914685.614685.614685.6ADF Test Statistic -6.1288281% Critical Value* -4.416722028.415742.965% Critical Value -3.621910% Critical

13、Value-3.2474*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:30Sample(adjusted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficient Std. Error t-St

14、atistic Prob.10GDP(-1)-2.0919810.341335-6.1288280.0000D(GDP(-1)0.5651650.2223462.5418260.0199ADF Test Statistic0.5352381% Critical Value*-2.67005% Critical Value-1.956610% Critical Value-1.6235*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test Equation

15、Dependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:33Sample(adjusted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP(-1)0.0286700.0535650.5352380.5981D(GDP(-1)-0.5796480.209189-2.7709310.0115R-squared0.265835Mean dependent

16、 var307.6091Adjusted R-squared0.230875S.D.dependent var3833.696S.E. of regression3362.143Akaike info criterion19.16149Sum squared resid2.37E+08Schwarz criterion19.26022Log likelihood-218.3571Durbin-Watson stat2.305912C18596.233074.0496.0494250.0000TREND(1)717.9986133.39605.3824600.0000R-squared0.759

17、543Mean dependent var307.6091Adjusted R-squared0.721577S.D. dependent var3833.696S.E. of regression2022.882Akaike info criterion18.21920Sum squared resid77748961Schwarz criterion18.41668Log likelihood-205.5209F-statistic20.00545Durbin-Watson stat2.992772Prob(F-statistic)0.000004-3.74971904466-2.9969

18、4676255-2.63809059473ADF Test -1.892628868461% Critical Value*Statistic 5% Critical Value 10% Critical Value*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:37Sample(adjus

19、ted): 3 25Included observations: 23 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP(-1)-0.4793318427270.253262459807-1.892628868460.0729718606948D(GDP(-1)-0.2820795345380.243205785813-1.159838914170.2597738012C6874.778209043360.174941492.045958418460.0541364336652R-squared

20、0.392899343068 Mean dependent var307.60913043511Adjusted0.332189277375S.D. dependent var3833.69551905R-squaredS.E. of3132.88397469Akaike info criterion19.0584032032regressionSum squared196299239.977Schwarz criterion19.2065111444residLog likelihood-216.171636837F-statistic6.47173312336Durbin-Watso2.1

21、4643689535Prob(F-statistic)0.00680153642381n statPP Test Statistic -6.805126815171% Critical ValueMacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.-4.394202715825% Critical Value-3.6118465695110% Critical Value-3.24180960655*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis o

22、f a unit root.Lag truncation for Bartlett kernel: 1( Newey-West suggests: 2 )Residual variance with no correction4373661.95132Residual variance with correction3656473.55436Phillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:39Sample(adjusted): 2 25Incl

23、uded observations: 24 after adjusting endpointsPP Test Statistic-3.138310756951% Critical Value*-3.73433953524VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP(-1)-1.365070353390.20674254382-6.60275494421.5433339734e-06C12177.47567751993.936318396.107254060834.63922668759e-06TREND(1)487.123272697101.

24、510247024.798759603059.65278107242e-05R-squared0.675490695716Mean dependent var292.40375Adjusted0.644585047689S.D. dependent var3750.16807569R-squaredS.E. of regression2235.72601217Akaike info criterion18.3789882577Sum squared resid104967886.832Schwarz criterion18.5262449865Log likelihood-217.547859

25、092F-statistic21.8565452866Durbin-Watson2.32162059874Prob(F-statistic)7.37709047994e-06stat-2.99069710407-2.63479449103Lag truncation for Bartlett kernel: 1Residual variance with no correctionResidual variance with correction(Newey-West suggests: 2 ) 9169714. 20603 7903377. 96361125% Critical Value1

26、0% Critical ValuePhillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:44Sample(adjusted): 2 25Included observations: 24 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP(-1)-0.61068510.18995172 -3.214949300.0039890074590510180426

27、2119C8333.39862583.106473.226115060.00388529187899547045373R-squared0.319641615973Mean dependent var292.40375Adjusted R-squared0.28871623488S.D. dependent var3750.16807569S.E. of regression3162.80328007Akaike info criterion19.0359604106Sum squared resid220073140.945Schwarz criterion19.1341315632Log

28、likelihood-226.431524928F-statistic10.3358990151Durbin-Watson stat2.22740512367Prob(F-statistic)0.00398900745909PP Test Statistic-0.009265130075311%Critical Value*5%Critical Value10% Critical Value-2.6648971753 -1.95588327448 -1.62314165632*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a

29、unit root.Lag truncation for Bartlett kernel: 1( Newey-West suggests: 2 )Residual variance with no correction13507746.9458Residual variance with correction7373687.64348Phillips-Perron Test EquationDependent Variable: D(GDP)Method: Least SquaresDate: 10/19/03 Time: 12:45Sample(adjusted): 2 25Included

30、 observations: 24 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.GDP(-1)-0.01732764922190.0563544822457-0.3074759722980.761248060505R-squared-0.00222413451651Mean dependent var292.403751314Adjusted R-squared-0.00222413451651S.D. dependent var3750.16807569S.E. of regression3754

31、.3361Akaike info criterion19.33998984943264Sum squared resid324185926Schwarz criterion19.38906.69999027Log likelihood-231.07981Durbin-Watson stat2.800688191734718单位根检验的进一步发展分段趋势、结构性突变(一) 对于单位根检3的模型(2) xt = m+ f xt_ 1 + a其意义：随机过程xJT的特征为一个可能单位根加上一个非零漂移的过程的实现值，f = 1时，为单位根，经过差分就变成平稳过程。现在进行推广，Perron(1989

32、)考虑原假设的三种模型，允许在时间TB (1 TB TBDUt = 1否则为零模型1)的含义是：单位根过程在漂移参数发生突然变化。模型2)的含义是：单位根过程在增长率上发生变化。模型3)的含义是：单位根过程允许在水平上和在增长率上发生变化。其它假设：xt = m+ bt + (m2 - m) DUt + 0 . 八*xt = m+ b1t + (b2 - b1)DTt + et *) xt = m + b1t + (m2 - m)DUt + (b2 - b1) DTt + et其中：如果t TbDTt* = t- Tb否则为零如果tTBDUt = 1否则为零模型1)的含义是：趋势平稳过程的函数

33、截距发生突然变化。模型2)的含义是：趋势平稳过程的趋势的斜率发生变化。模型3)的含义是：趋势平稳过程在截距和趋势的斜率都发生变化。15由于一般的单位根检验很难区分单位根过程和趋势平稳过程，因此该过程是单位根过程还是趋势平稳过程，此时如何进行检验？我们用“消除趋势”的序列 %,i = 1,2,3建立检验统计量，这里的i = 1,2,3是趋势平稳检验模型。于是我们可以令%,i = 1,2,3为模型的残差：i = 1 ：包含漂移项、时间趋势和DUt。. _ *1=2：包含漂移项、时间趋势和 DTt。. _ _ . . *1=3：包含漂移项、时间趋势、DUt和DTt。此时可以用DF检验。(二)一般情形

34、模型形式：k*xt = m+ qDU t + bt + g DTt + VDTBt + f xt- 1 + ? diD xt- i + eti= 1假设检验：H0:f =1,q=b=g=0Hf kDTt (k)= t- k否则为零如果tkDUt(k)= 1否则为零突变点k从k0到t- k0O从而得到一组 DF检验值。此时统计量的临界值也有很大差别。Banerjee (1992)的滚动 DF 检验：kxt = m+ qDU t (k)+ bt + g DTt (k)+ f xt- 1 + ? diDxt- i + eti = 1r i-r-t.一 * Z _ X_如果t kDTt (k)= t-

35、 k否则为零如果tkDUt(k)= 1否则为零用不断扩大的亚样本t = 1,2,., k; k= k0,.,T来估计。但检验的临界值也有很大的差16别。前沿的问题：1)存在多个结构性突变；2)残差存在非平稳的序列相关性情形。三.平滑转换模型如果趋势在两个领域间逐渐、平滑的变化，则利用对数平滑转换模型LSTR:模型的形式为Xt = m+ mSt(g,m)+ ext = m+ b1t + m?St(g,m)+ e) Xt = m + bit+ m？St(g，m)+ b2tm2St(g,m)+ e其中St(g,m)为对数平滑转换函数：-1St(g,m)= (1+ exp(- g(t- mT)m为转换

36、中点的时间参数；g为转换速度参数估计方法：用NLS估计模型的参数，取的残差；利用所取得残差进行单位根检验。四.随机单位根过程假设Xt是一种金融资产的价格，其在时间t的期望收益率E(xt)- Xt-1E(rJ= Xt-1移项得：E(Xt)= (1 + E(rt)Xt-1Xt - E(Xt)= a为白噪声，并令E(“)=dt,得到：Xt = f tXt-1+ eft = 1+ dt这个模型成为随机单位根模型 STUR。一般情况下：ft可取其它的平稳随机过程，如f t = exp(at)at为零均值平稳过程。dt 为 AR(1)过程。作业：估计和检验，需要查阅相关文献。17B.7持久性和趋势回归的测

37、量一. 持久性(persistent和趋势回归(trend reversion)的度量：即t时刻的随机冲击etXt+k内随机过程xt的变化Dxt+k的影响的度量。丫假设一个单位根过程：Dx = m+ y(B)et = m+ ? y jet- jj= 0冲击et对水平值的最终影响定义为：丫A(1)= 1+ yi+ y2+ .= ? vj j= 0它测量的就是冲击et对随机过程的持久性影响。对这种现象，如何进行测量？脉冲相应(impulse response): Campbell 和 Mankiw(1987)假设D xt是一个线性平稳过程，可用ARMA(p, q)过程来描述：f (B)D% = q

38、(B)q-1Dxt = f (B) q(B)et称为脉冲相应函数-1A(B)= f(B) q(B)从而持久性度量 人= q(1)/f(1)方差比率(variance ratio):非参数持久性度量( Cochrane(1988)1)定义为Vk= sj/s；其中s2 =k-1V(xt -Xt- k)=k- 1V (DkXt)； Dk = 1- Bk例 1 ：D xt = q + etD k = D (1+ B + .+ Bk-1)V(DkK)= V(xt- xt-1)+ (xt-1 - xt-2)+ .+(xt-k+1 - xt- k) kk=遛V (xt- j+1- xt- j)=V (et-

39、 j+1)= ks2j=1j=1Vk= 1意义：例 2：xt = b0+ b1t + et18此时 V(Dk%)= V(et)+V(q-Q= 2s2V(k)= 2 k意义:2)方差率的估计为%= %/%丫3)极限方差率V ? lim Vk1+ 2? r jj=iQi 2 .24) V = (s /s i ) A(1)二.持久性和趋势回归检验如果随机过程不包含随机游走成份，但却是非平稳的，此时如何去检验?这里介绍方差率检验：M (k) = ? - 1：检查方差比率是否为 1。建立统计量 zi(k)= M (k)|2(2k- l)(k- 1)E : N(0,1) 秒 3Tk +3.8时间序列分解一.不可观测成份模型( unobserved component model)如果随机过程