要点梳理直线与圆的位置关系位置系有三种判断直线与课件

1、要点梳理1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种： 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： （1）代数法： （2）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:dr 相交,d=r 相切,dr 相离.9.4 直线、圆的位置关系 基础知识 自主学习相离相交相切 判别式 =b2-4ac2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 （1）几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算. （2）代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.3.求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程 （

2、1）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为： . （2）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切 线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解. 说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的 情况.x0 x+y0y=r24.圆与圆的位置关系的判定 设C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r （r10）, C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r20),则有: |C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=r1+r2 C1与C2 ; |r1-r2|C1C2|r1+r2 C1与C2 ； |C1C2|=|r1-r2|（r1r2

3、）C1与C2 ； |C1C2|r1-r2| C1与C2 .相离外切相交内切内含基础自测1.（2008陕西）直线 x-y+m=0与圆x2+y2- 2x-2=0相切,则实数m等于 （ ） A. 或- B.- 或3 C.-3 或 D.-3 或3 解析 将圆x2+y2-2x-2=0化为标准方程得 +y2=3,直线与圆相切说明圆心到直线的距离等 于半径,则有 m=-3 或 .C(x-1)22.圆x2+y2-4x=0在点P（1, ）处的切线方程为（ ） A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析 圆方程为（x-2）2+y2=4，圆心（2，0）， 半径为2，

4、点P在圆上，设切线方程为y- =k(x-1), 即kx-y-k+ =0, 解得k= 切线方程为y- (x-1),即x- y+2=0.D3.（2009陕西理，4）过原点且倾斜角为60的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 （ ） A. B.2 C. D.2 解析 过原点且倾斜角为60的直线方程为 x-y=0, 圆x2+(y-2)2=4的圆心（0，2）到直线的距离为d= 因此弦长为D4.圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1：（x+1）2+（y+1）2=4， 圆心C1（-1

5、，-1），半径r1=2. C2：（x-2）2+（y-1）2=4，圆心C2（2，1）， 半径r2=2. |C1C2|= ，0|C1C2|r1+r2=4, 两圆相交，有两条公切线.B5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1，则实数b= . 解析 由已知可得，圆心到直线x-y-b=0的距离 为3， =3，b=3 .题型一 直线与圆的位置关系【例1】已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（mR）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、 相离； （3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线 被

6、各圆截得的弦长相等.题型分类 深度剖析 用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长.思维启迪（1）证明 配方得：(x-3m)2+y-（m-1）2=25，设圆心为（x，y）， 消去m得x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为圆的半径为r=5，当dr，即-5 -3b5 -3时，直线与圆相交；当d=r,即b=5 -3时，直线与圆相切；当dr

7、，即b-5 -3或b5 -3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离 d= 且r和d均为常量. 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长相等.探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线的距离与半径长的关系进行判断.求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所得方程两根为x1、x2,则弦长d= |x1-x2|;三是利用圆中半弦长、弦心距

8、及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.知能迁移1 m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5.（1）无公共点；（2）截得的弦长为2；（3）交点处两条半径互相垂直. 解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r= , 圆心到直线2x-y+m=0的距离 直线与圆无公共点，dr,即 m5或m-5. 故当m5或m-5时，直线与圆无公共点.（2）如图所示，由平面几何垂径定理知r2-d2=12，即5- =1.得m=2 ,当m=2 时，直线被圆截得的弦长为2.（3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三

9、角形，d= ，即解得m= 故当m= 时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.题型二 圆的切线及弦长问题【例2】已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆 (x-1)2+(y-2)2=4.（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且 弦AB的长为2 ，求a的值.思维启迪解 （1）圆心C（1，2），半径为r=2,当直线的斜率不存在时，方程为x=3.由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.由题意知

10、解得k= .方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.（2）由题意有 解得a=0或a= .（3）圆心到直线ax-y+4=0的距离为 解得a=- .探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解.注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要充分运用圆的几何性质.知能迁移2 已知点A（1，a），圆x2+y2=4. （1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及 切线方程； （2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为2 ，求a的值

11、. 解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故12+a2=4，a= . 当a= 时,A（1， ）,切线方程为x+ y-4=0； 当a=- 时,A（1,- ）,切线方程为x- y-4=0， a= 时，切线方程为x+ y-4=0, a=- 时，切线方程为x- y-4=0.(2)设直线方程为x+y=b,由于过点A，1+a=b，a=b-1.又圆心到直线的距离d= +3=4，b= ,a= -1.题型三 圆与圆的位置关系【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x- 12y+m=0. （1）m取何值时两圆外切？ （2）m取何值时两圆内切？ （3）求m=45时两圆的公共

12、弦所在直线的方程和 公共弦的长. 利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关系判断两圆的位置关系.思维启迪解 两圆的标准方程为（x-1）2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M（1，3），N（5，6），半径分别为 和 .（1）当两圆外切时， 解得m=25+10 .（2）当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离5，故只有 - =5，解得m=25-10 .（3）两圆的公共弦所在直线方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,公共弦长为应注意两圆位置由圆心距和两半径的和与差来确定，从而确定切线的条数.

13、求公共弦方程时，只需将两圆方程相减即可.探究提高知能迁移3 圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆 心O2（2，1）. （1）若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内 公切线方程； （2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2 ， 求圆O2的方程. 解 （1）两圆外切， |O1O2|=r1+r2，r2=|O1O2|-r1=2（ -1）， 故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( -1)2. 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 =0.（2）设圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=r ,圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相减，

14、即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x+4y+r -8=0. 作O1HAB，则|AH|= |AB|= ，O1H= ，由圆心（0，-1）到直线的距离得得r =4或r =20,故圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.题型四 直线与圆的综合应用【例4】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l与圆C：（x-2）2+(y-3)2=1相交于M、N 两点. （1）求实数k的取值范围； （2）求证： 为定值； （3）若O为坐标原点，且 =12,求k的值. （1）由于直线与圆C相交于M、N两点，故利用直线与圆相交的条件即可求得k的范围.（2） =| | |co

15、s 0 =| | |，故而想到切割线定理即可证得结论.（3） =x1x2+y1y2，联想根与系数的关系即可解决.思维启迪（1）解 方法一 直线l过点A（0，1）且斜率为k，直线l的方程为y=kx+1. 2分将其代入圆C：（x-2）2+(y-3)2=1,得（1+k2）x2-4(1+k)x+7=0. 由题意：=-4（1+k）2-4（1+k2）70，得 4分方法二 同方法一得直线方程为y=kx+1,即kx-y+1=0. 2分又圆心到直线距离d= 4分（2）证明 设过A点的圆的切线为AT，T为切点，则|AT|2=|AM|AN|，|AT|2=（0-2）2+（1-3）2-1=7，| | |=7. 6分根据

16、向量的运算： =| | |cos 0=7为定值. 8分（3）解 设M（x1，y1），N（x2，y2），则由得 =x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=k=1（代入检验符合题意）. 12分10分探究提高 本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1,y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|

17、PM|取得最小值的点P的坐标.知能迁移4解（1）将圆C配方得（x+1）2+（y-2）2=2.当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx,由直线与圆相切得 即k=2 ，从而切线方程为y=（2 ）x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y-a=0,由直线与圆相切得x+y+1=0或x+y-3=0.（2）由|PO|=|PM|得x +y =(x1+1)2+(y1-2)2-2 2x1-4y1+3=0.即点P在直线l:2x-4y+3=0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OPl，直线OP的方程为2x+y=0.解方程组得P点坐标为方法与技巧1.过圆外一点M可以作两条直线与

18、圆相切，其直线 方程的求法有两种：（1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到 切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率， 进而求得直线方程.（2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与 圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率， 进而求得直线方程.思想方法 感悟提高2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就 得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离 求弦心距，再结合勾股定理求弦长.4.求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为 |PO|-r,最大值为|PO|+r（其中r为圆O的半径）.失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用 圆心

19、与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股 定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.2.注意利用圆的性质解题，可以简化计算.例如， 求圆外一点到圆上任意一点的最小距离或最大 距离利用两点的距离减去或加圆半径就很简便.一、选择题1.（2009重庆理，1）直线y=x+1与圆x2+y2=1的 位置关系是 （ ） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 解析 圆心到直线的距离d= dr且d0, 直线与圆相交但不过圆心.定时检测B2.（2008辽宁理 ，3）圆x2+y2=1与直线y=kx+2 没有公共点的充要条件是 （ ） A.k(- , ) B.k(-,- )( ,+) C.k(- ,

20、) D.k(-,- )( ,+) 解析 圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），则O到 直线y-kx-2=0的距离为 由于直线和圆没有公共点，因此 1+k24, k .C3.设O为坐标原点，C为圆（x-2）2+y2=3的圆心， 且圆上有一点M（x,y）满足 =0， 则 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 =0，OMCM，OM是 圆的切线. 设OM的方程为y=kx,由 得k= ，即 = .D4.已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0 (k0)上一动 点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、 B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的 值为 （ ） A. B. C.

21、2 D.2 解析 圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心C（0，1），半径为1，|PC|2=|PA|2+1.又S四边形PACB=2 |PA|1=|PA|，当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小.又|PC|最小为C到直线kx+y+4=0的距离面积最小为2时，有22=解得k=2（k0）.答案 D5.过点（0，-1）作直线l与圆x2+y2-2x-4y-20=0交于 A、B两点，如果|AB|=8，则直线l的方程为（ ） A.3x+4y+4=0 B.3x-4y-4=0 C.3x+4y+4=0或y+1=0 D.3x-4y-4=0或y+1=0解析 圆：(x-1)2+(y-2)2=25,易知直线

22、斜率存在，设l:y+1=k(x-0)，即kx-y-1=0，圆心（1，2）到l的距离d=由 +42=52,得4k2+3k=0,k=0或k=- ，当k=0时，l:y=-1;当k=- 时，l:3x+4y+4=0.答案 C6.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且 | + |=| - |,其中O 为坐标原点，则实数a的值为 （ ） A.2 B.2 C.-2 D. 解析 如图，作平行四边形OADB， 则 + = ， - = ， | |=| |. 又| |=| |， 四边形OADB为正方形， 易知| |为直线在y轴上的截距的绝对值，a=2.B二、填空题7.若直线ax+by=1与圆x2+y2

23、=1相切，则实数ab的取 值范围是 . 解析 圆心（0,0）到直线的距离 a2+b2=1.|ab| 8.（2009四川理，14）若O：x2+y2=5与O1: (x-m)2+y2=20(mR)相交于A、B两点，且两圆 在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 . 解析 如图所示，在RtOO1A中， OA= ，O1A=2 ，OO1=5， AC= AB=4.49.（2009天津理，14）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ 2ay-6=0(a0)的公共弦的长为2 ,则a= . 解析 x2+y2+2ay=6,x2+y2=4，两式相减得y= . 联立 消去y得x2= (a0). 解得a=1.1三、解答题10.自点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴 反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-