中值定理的应用课件

1、微分中值定理的应用第1页，共60页。1.微分中值定理 1)罗尔定理2)拉格朗日中值定理3)柯西中值定理在 上连续, 在 内可导, 且在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使在 上连续, 在 内可导, 则至少存在一 使则至少存在一 使第2页，共60页。5) 三个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理罗尔定理 柯西中值定理 4) 判别 的方法 若，则 第3页，共60页。6) 微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论第4页，共60页。7). 有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在

2、,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理 .必须多次应用中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5) 若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.第5页，共60页。第6页，共60页。第7页，共60页。5. 证明有关中值问题的结论：题型一：证明存在使例1.设上可导，且 证明在内必有唯一的使证明：（存在与唯一性）设上可导，由零点定理，存在，使，由罗尔定理知，存在，使，即这与矛盾.第8页，共60页。练习第9页，共60页。例2. 设上连续，求证：证

3、明:设第10页，共60页。第11页，共60页。题型二：证明证明思路：第12页，共60页。例3. 设上可导，求证：证明:第13页，共60页。第14页，共60页。例4.设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导, 分析: 所给条件可写为试证必存在 想到找一点 c , 使证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在 0, 2 上连续, 且在 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m, 故由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 且第15页，共60页。例5.设函数 f (x) 具有二阶导数,且 试证必存在 证:在 0, 1 上满足Rolle定理的条件, 使第16页

4、，共60页。或 的一部分.构造辅助函数的一般方法：1. 将结论改写为方程；2. 将方程中的 换成 ；3. 方程的一端就是 或题型三：证明有关中值的等式成立第17页，共60页。例6. 设在内可导, 且证明至少存在一点使上连续, 在证:设辅助函数显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点问题转化为证分析0)(2)(=+xxxff第18页，共60页。练习1设 在 上连续, 在 内可导, 且证明存在一点 使证明: 令且 即由已知条件知 在 上连续, 在 内可导，故由罗尔定理知,使第19页，共60页。例7.设 在 上连续, 在 内可导, 且证明存在一点 使证明: 令且 即由已知条件知

5、在 上连续, 在 内可导，故由罗尔定理知,使第20页，共60页。 分析微分中值定理且内可导在上连续在设,),(,)(babaxf例8.第21页，共60页。证即且内可导在上连续在设,),(,)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf=定理由Rolle第22页，共60页。证明： 练习1.第23页，共60页。(2)第24页，共60页。练习2.设 在 上连续, 在 内可导, 且证明存在一点 使证明: 令且 即由已知条件知 在 上连续, 在 内可导，故由罗尔定理知,使第25页，共60页。练习3. 若可导, 试证在其两个零点间一定有的零点. 提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上

6、满足Rolle定理条件.第26页，共60页。练习4.第27页，共60页。由罗尔定理,练习4.第28页，共60页。构造辅助函数构造辅助函数构造辅助函数总结：通过恒等变形第29页，共60页。 例9. 设 f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可微, 试证存在 , (a, b), 使 证 对 f (x)与 x2在a, b上使用柯西中值定理,存在 (a, b), 使再对 f (x)在a, b上使用拉格朗日中值定理, (a, b), 使上两式相除即得 , (a, b). 第30页，共60页。练习.第31页，共60页。例10. 设在上连续, 在试证对任意给定的正数内可导,且存在证:转化为证因即由连

7、续函数定理可知, 存在使使因此第32页，共60页。对分别在上用拉氏中值定理 , 得即第33页，共60页。第34页，共60页。1. 设且在内可导, 证明至少存在一点使提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足Rolle定理条件.设练习第35页，共60页。试证至少存在一点使2.),1(ex.lncos1sinx=则f (x)在 1 , e 上使因此证 法一 令满足Rolle中值定理条件,分析即0lncos1sin=-x第36页，共60页。3.分析将结论交叉相乘得辅助函数F(x)()()()()()(),(xxxxxgfbggfafba=-$使得)()()()()()()()(bgfgfgfgafxx

8、xxxx-=-0)()()()()()()()(=+-bgfgfgfgafxxxxxx0)()()()()()()()(=+-=xxbgxfxgxfxgxfxgaf第37页，共60页。证设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.微分中值定理)()()(xgafxF=)()(bgxf+)()(xgxf-)()(xgxf-第38页，共60页。即得证毕.微分中值定理)()()(xgafxF=)()(bgxf+)()(xgxf-)()(xgxf-)()()()()()(xxxxxgfgfgaf-0)()(=+bgfx第39页，共60页。4. 设上连续，求证：分析:证明:设第40页，共60页。分析

9、 将所证等式变形为 或 可见，应对 与 在上应用柯西中值定理. 5. f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导 (0 a b), 证明存在 (a, b), 使 第41页，共60页。 证法一 对 f (x)与 g(x) = lnx 在a, b上用柯西中值定理(条件显然满足), 得整理即得所证结果，即第42页，共60页。 证法二 令容易验证(x)在 a, b上满足罗尔定理的条件, 故存在 (a, b), 使 ( ) = 0, 即整理即得第43页，共60页。证6.证明为单调增加函数.由lagrange中值定理，第44页，共60页。7.证作辅助函数第45页，共60页。第46页，共60页。8.设上二阶可导，求证证明:设第47页，共60页。9. 设上是导数连续的函数，求证证明:设即第48页，共60页。练习1.设有界且导函数连续，求证证明:设即第49页，共60页。10.证明：(1)反证法，第50页，共60页。10.分析将结论交叉相乘移项得辅助函数F(x)第51页，共60页。(2)设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件.)(xF=第52页，共