三节隐函数及参数方程确定的函数的求导法则课件

1、第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则隐函数的求导法则参数方程确定的函数的求导法则初等函数的导数第1页，共33页。一、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数 .例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数 .则称此隐函数求导方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)第2页，共33页。例1第3页，共33页。例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐函数的导数第4页，共33页。例3. 求由方程在 x = 0 处的导数解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数第5页，共33页。

2、例4. 求椭圆在点处的切线方程.解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即第6页，共33页。例5. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式两边对 x 求导第7页，共33页。例6 函数求第8页，共33页。2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如,两边取对数两边对 x 求导第9页，共33页。又如, 对 x 求导两边取对数第10页，共33页。 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 :说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:第11页，共33页。例7 指数函数第12页，共33页。例8 证明第13页，共33页。例6. 求下列导数:解: (1)(2)第14页，共33页。反函数的求导法则第1

3、5页，共33页。二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,第16页，共33页。若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得第17页，共33页。例10 求由参数方程 确定的函数的导数 解第18页，共33页。例11 求曲线 在点（2，1）处的切线方程和法线方程第19页，共33页。例12. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切

4、线倾角,则第20页，共33页。抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向第21页，共33页。例13. 设由方程确定函数求解: 方程组两边对 t 求导 , 得故第22页，共33页。内容小结1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式第23页，共33页。三、初等函数的导数第24页，共33页。2.函数的和、差、积、商的求导法则第25页，共33页。3.复合函数的求导法则第26页，共33页。4、参数方程所确定的函数的求导法则第27页，共33页。5、反函数的求导法则第28页，共33页。思考与练习1. 求螺线在对应于的点处的切线方程.解: 化为参数方程当时对应点斜率 切线方程为第29页，共33页。2. 设求提示: 分别用对数微分法求答案:第30页，共33页。3. 设由方程确定 , 解:方程两边对 x 求导,得再求导, 得当时,故由 得再代入 得 求第31页，共33页。求其反函数的导数