线性回归分析和方差分析报告

1、线性回归分析和方差分析报告信计12徐文豪2110902039本报告以教材第二章课后习题2.4和第三章课后习题3.6为主体，给出对应 的解答、sas代码和结果分析。2.4某公司管理人员为了了解某化妆品在一个城市的月销售量7 （单位：箱）与 该城市中适合使用该化妆品的人数X （单位：前人）以及他们人均月收入X （单 位：元）之间的关系，在某个月中对115个城市做了调查，得上述各量的观2测值 如下表所示：162274245012018032542233753802131205283867862347169265378281983008192330245011619521375553256025243

2、040202323724427144236266010315720882123702605假设Y与X 1，X2之间满足线性回归关系y = P+P x +P x + 8，i = 1,2, ,15 i 01 i12 i 2i其中8 （i = 1,2, 15）独立通分布于N（0,b 2）。（1）求回归系数。叫,的最小二乘估计和误差方差；2的估计，写出回归方程 并对回归系数作解释。1 2解：首先将数据导入sas，sas语句如下：data sale;input y x1 x2;cards;1622742450120180325422337538021312052838678623471692653782

3、81983008192330245011619521375553256025243040202323724427144236266010315720882123702605;run;然后调用reg过程，sas语句如下:proc reg data=sale;model y=x1 x2;run;运行结果如下：VariableDFEst imateIntercept13.45261xl10.4960010.00920Root MSE2.17722由此得到P , P , P的最小二乘估计分别为3.45261,0.496,0.0092, a 2 = 4.7403 , 012回归方程为y = 3.4526

4、1 + 0.496x + 0.0092xP显示当人均月收入固定时，使用化妆品的人数上升一人，月销售量增加0.496 1个单位；P显示当使用化妆品的人数固定时，人均月收入增加一元，月销售量2增加0.0092个单位。（2）求出方差分析表，解释对线性回归关系显著性检验的结果，求复相关系数的平方R2的值并解释其意义。解：由（1）的结果，方差分析表如下：Ana lysis of VarianceSum ofMeanSourceDFSquaresSquareF ValuePr FModel253845263225679.4? |t|Intercept13.452G12.430G51.420.1809xl1

5、0.49600O.0D60581.92.000110.009200.0009C8119.50 F) = P( F (1,12) 0.0344) = 0.85596po远大于一般显著性水平，因此认为X , X的交叉项对Y的影响是不显著的， 诫模型中没有必要引入交叉项。12该公司欲在一个适宜使用该化妆品的人数、=220，人均月收入2 = 2500 的新的城市中销售该化妆品，求其销量的预测值及其置信度为95%的置信区间。 解：点估计可直接根据回归方程y = 3.45261 + 0.496气+ 0.0092%给出，得到估计 值 y = 135.5726。12。而置信度为0.95的置信区间为项 t(12

6、)：MSE(1+ xt(XtX)-1 x )00.97500其中项=135.2726，t (12) = 2.719，(MSE = 2.17722，X 为设计矩阵，解得 置信讨间为(128.77030节1.7749)。求Y的拟合值，残差及学生化残差。根据学生化残差正态性的频率检验及 正态QQ图检验说明模型误差项的正态性假定是否合理，有序学生化残差与相应 标准正态分布的分位数的相关系数是多少？做出各种残差图，分析模型有关假定 的合理性。解：根据回归方程，可直接得到r的拟合值，结果如下:bs yl1161.8972122.G693224.4314131.242567.7016ie3.S8777S.7

7、348189.G733113.8331053.29311253.71712228.89313144.981U10D.53415210.939在reg过程中由sas语句model y=x1 x2/r得到残差和学生化残差，结果如下:做频率检验得到，学生化残差中有1015=0.667(w 0.68)在区间(-1,1)内，有ResidualStd ErrorResidualStudentResidua 10.10432.0080.0519-2.66732.021-1.320-1.42941.964-0.728-0.24062.035-0.115-0.69931.954-0.358-0.68491.97

8、5-0.3471.26811.9030.6662.32801.8951.228-3.83201.931-1.9251.70951.8640.917-1.71511.845-0.9303.80921.7501.891-0.97932.085-0.4702.46691.9851.2431.06191.8430.5761315一 =0.867(w 0.87)在区间(-1.5,1.5)内，有一 =1(w 0.95)在区间(-2,2)内，由1515此可见学生化残差落在上述各区间的频率与N(0,1)分布的相应概率相差均不大， 因此对所给数据没有理由拒绝模型误差服从正态分布的假定。为进行正态QQ图检验，调用

9、capability过程，得到结果如下：-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0正态分位数从上图可以看出，点(q.,尸.)大致在一条直线上，又调用corr过程得到相关系数为0.99363，非常接近“1，“由此我们认为模型中误差项正态分布的假定是非常合理的。以因变量y为横坐标的残差图如下图所示:以自变量X为横坐标的残差图如下图所示:以自变量X为横坐标的残差图如下图所示:时序残差图如下图所示:S： residutlmi使用的苻号：.中5.0十1 2.5 -d OJj +1 -2.5 -415以上四个残差图，绘点均在大致在一带状区域内且不呈现任何明显的趋势， 再一次说明了模型中误差

10、项正态分布的假定是非常合理的。3.6为研究两种形式的铁离子（Fe3+和Fe2+）在不同剂量下在动物体内的存留 量是否有显著不同，进行了如下试验：将108只小白鼠随机地分为6组，每组均 为18只，其中3组分别给以三种不同剂量（高剂量，中剂量和低剂量）的三价 铁Fe3+ ；另3组给以相应剂量的二价铁Fe2+。经过一段时间后，测量各小白鼠 体内两种铁离子的残留量关于最初服用剂量的百分比，其数据如下所示：0.71002.20002.25002.20004.04002.71001.66002.93003.93002.69004.16005.43002.01003.08005.08003.54004.42

11、006.38002.16003.49005.82003.75004.93006.38002.42004.11005.84003.83005.49008.32002.42004.95006.89004.08005.77009.04002.56005.16008.50004.27005.86009.56002.60005.54008.56004.53006.280010.01003.31005.68009.44005.32006.970010.08003.64006.250010.52006.18007.060010.62003.74007.250013.46006.22007.780013.80

12、003.74007.900013.57006.33009.230015.99004.39008.850014.76006.97009.340017.90004.500011.960016.41006.97009.910018.25005.070015.540016.96007.520013.460019.32005.260015.890017.56008.360018.400019.87008.150018.300022.820011.650023.890021.60008.240018.590029.130012.450026.390022.2500（1）由SAS系统proc anova过程

13、的“means”语句（或其他方法）求出各组合 水平上的观测值的样本均值和标准差。各水平组合的标准差（从而样本方差）差 异是否明显？你认为假定误差的等方差性是否合理。解：将离子因素令为变量element，将剂量因素令为变量dose，将残留量令为变 量rest，存入数据集后调用anova过程，SAS语句如下：proc anova data=origin;class element dose;model rest=element dose element*dose;means element dose;run;运行结果如下：Leve1 of element；i18.2N54E4- -rest - -

14、Mean7.884259269.40277778Std D改6.143603546.03399690LhVh 1 LU| 巳st-doseNWeanStd D敢bl364.81777782.66785212b23G8.918055GG.05G75435b33612.19472226.49327382从图中可以看出各水平组合的标准差差异明显因而假定误差的等方差性不合理。（2）对观测数据作自然对数变换，再进行（1）中的分析。此时，各组合水平上 的标准差是否一致。解：用log函数对rest作对数变换，sas语句如下；data origin_log; set origin;rest_log=log(r

15、est);drop rest;run;对变换后的数据，调用anova过程，Le?e1 M-同(1)可得：rest_logMeanStdDev1.780709350.778266432.D57854080.80672273e1ementala2N5454Leve1 of-reat_logdijs：eNMeanStd Devbl361.420526280.B8363757361.395634720.61614006L3362.341685040.80876504此时，各组合水平的标准差已经趋于抑制了。（3）对变换后的数据进行方差分析，建立方差分析表。在显著性水平a = 0.05下， 因素的交互效应

16、是否显著？各因素的影响是否显著？解：调用anova过程，得到方差解析表如下：Sou rmDFAnova SSM已an Squar已F ValuePr Felement12.073839412.073839415.93o.aieidose15.58&407377.79403S822.52.0001el ement*dose20.810269470.405184731.170.3148从结果知道，交互效应的检验p值为0.3143，对显著性水平a = 0.05，交互效应 不显著，此时可直接利用各因素的检验p值分析其对因变量的影响。又element 和dose的p值均小于0.05，因而这两因素的影响显

17、著。（4）根据（3）中的分析，分别求各因素在不同水平上的均值的置信度为95%置 信区间以及两两均值之差的置信度不小于95%的Bonferroni同时置信区间，并 解释其结果。解：调用anova过程，且在means中选择/t clm，得到各因素在不同水平上的置信度为95%置信区间，结果如下：&1ementNMeari95 Conf iderice Limits展542.057851.899072.21663sl!E41.780711.621931.93949doseNMeern9戚 Conf idenee Limitsb3362.341692.147222.53615b2361.995631.801172.13010bl361.420531.226061.61499调用anova过程，且在means中选择/bon cldiff,得到各因素两两均值之差的置 信度不小于95%的Bonferroni同时置信区间，结果如下：OifferenceSimultaneouselementBet ween95岩 Canf idenceCompari sonMeansLimits- al0.2771C.5526 0.5017al - a2-0.2771-0.5017 -0.0526Dif f erenceS imultaneousdoseBetween95S