中学数学课改的十个论题

1、中学数学课改的十个论题章建跃自2001年实施课标教材实验以来，我们进行了大量跟踪调研，发现了一些带有普遍性的问题。经过整理，归纳出如下论题。序言：数学教改的基本共识在课改过程中，对数学教学涉及的各环节及相关问题都进行了全方位的反思和讨论，提出了各种各样的观点，从中我们可以概括出一些基本共识：教学目标全面关注学生的认知、能力和理性精神，强调以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展，为学生的富有个性的发展奠定必须的数学基础，其实质仍然是“数学育人”；教学内容强调概念及其反映的思想方法教学的重要性，注重知识的联系与综合，反对“数学教学=解题教学=题型教学=技巧训练”的现象；教学要求个性

2、差异与统一要求的辩证统一，这是历来强调的，但以前偏重统一性，现在强调以个性差异为出发点和基础；教学设计不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，设计能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”；教学方法强调讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式教学”的核心地位；学习方式接受与探究的融合，强调学生学习的主动性、积极性，注重独立思考和合作学习的结合；教学过程以知识的（自然、水到渠成）发生发展过程为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数

3、学思维的展开、深度参与（教学的有效性）；教学评价强调发挥评价对改进教师的教、学生的学的作用，作为教师根据教学进程进行教学反馈、调节，以及学生通过自我监控调节学习进程的依据，重视形成性评价；教学媒体以信息技术与数学教学整合为焦点，追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解，做纸笔所不能做的事。这些共识就是被广大教师普遍接受的“新理念”。从中可见，“新理念”并不是对“旧理念”的抛弃，而是对“旧理念”的扬弃，是继承与发展的统一，而且有许多教育思想（例如“教学应该实行启发式，反对注入式”）是常新的、永不过时的。教育领域中，“全新理念”不能用来指导教改实践。总

4、之，“新理念”就是要在教育领域落实科学发展观，使学生得到全面、和谐与可持续发展。值得指出的是，上述共识许多都是常识。但常识往往被人们忘记。回顾我国在世纪之交开始的这场以课程改革为核心的教育改革，可以发现这些共识来之不易，人们的思想回归常识也经历了一个曲折的过程。从教育改革的理念层面看，本次改革确实解放了人们的思想；对我国数学教育传统的批判许多都是切中要害的；更重要的是引发了人们的新思考，促使人们更进一步地考虑数学教育中的深层次问题；关注学生的个性基础，强调发挥学生的主体性，促进学生积极主动地学数学等，也是与时代发展对数学教育的新要求合拍的，有利于培养高素质人才；等。但是，因为学生的成长过程没有

5、重复的机会，所以教育改革应该敢想而谨慎地干，切忌蛮干，看准的问题也只能逐步地改，只能是在已有发展基础上的深入，否则一定会陷入低层次的折腾。从教改的发展现状看，关键还是将先进理念具体化，变成具有可操作性的行动指南，落实在课堂教学中，体现在教师的日常教学行为上。一、“理解数学”是当好数学教师的前提数学水平高的人不一定能教好数学，但好的数学教师一定有好的数学功底，这是毋庸置疑的。在数学教师的知识结构中，第一要素是“数学素养”，其主要内涵是：了解数学知识的背景，准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，具有挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源的能力和技

6、术，善于区分核心知识和非核心知识等。从我们的调研结果看，尽管现在中学数学教师的学历达标率较高，还有许多数学教师具有硕士、博士学位，但总体而言，对中学数学课程中的内容及其反应的思想方法的理解水平仍有很大的提高空间。例1“多项式乘法公式”中蕴含的数学思想方法。多项式的乘法公式是我们司空见惯的内容，一般的，人们只是把它作为一个简化多项式运算的工具，教学中常常是直接给出公式（证明实在是轻而易举），然后把重点放在公式中字母的变式、熟练应用公式的训练上。乘法公式的熟练运用是重要的，而且要达到“自动化”水平。然而，如果教学仅限于此，则没有揭示“从多项式乘法到乘法公式”所蕴含的数学思想方法。为了把问题看得更加

7、清楚，我们不妨把视野放得更宽些，从代数学的基本观念和思想方法入手。所谓“代数”就是“用不定元（字母）代表数”，而“代数学”的根源就在于对“不定元（字母）”进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算及其规律的研究，即“引进一个量就要研究它的运算，引进一种运算就要研究它的运算律”。简言之，代数学的根源在于代数运算。在引入不定元（字母）代表数之前，数系的运算规律不能方便地表达；用不定元（字母）代表数以后，不仅数系的加、乘和指数运算的运算律（交换律、结合律、分配律、指数法则）能得到明白、简便的表达，而且通过对不定元（字母）的运算，自然而然地就得到了各种代数式（整式、分式、根式、指数式等）及其运算法则，进而就

8、可以用它们来解各种代数方程、求各种代数公式等。这里，“用不定元（字母）代表数”的思想具有根本的重要性，它彻底地解放了数学的“生产力”。因为字母是数的“代表”，是一种在运算上满足运算律的符号，所以在字母连同数一起的运算中，关于数系的一系列运算律仍然有效、可用。这样，我们就可以“畅通无阻”地对那些具有数系通性的对象（未知量、变量、待定系数等）施行运算律，系统而简捷地解决各种代数问题。因此，“整个代数学所发展的就是有系统、有效力地运用这一系列简朴、普遍成立的数系运算律，去解决各种各样的代数问题” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn1 o 。有了上述认识，就可以

9、清楚地看到，多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算。而乘法公式则是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即当c =a，d=b时，有(a+b)(ab) =aaab+babb=a2b2；当c =a， d=b时，有(a+b)(a+b) =aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2；等。循着上述思路，我们还可以再继续用运算律对这些符号进行

10、形式运算，归纳地得到：(a2+ab+b2)(ab) =a3b3；(a3+a2b+ab2+b3)(ab) =a4b4；。(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3；(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；。另外，所谓“公式”，是指用数学符号表示的几个量之间的关系式，具有普遍性，适用于同类关系的所有问题。所以，只要具有(a+b)(ab)这一形式，无论a，b代表什么，都可以表示为a2b2；同样，形如(a+b)2 的式子都可以表示为a2+2ab+b2；等。由上所述，在乘法公式的教学中，让学生获得公式的同时，还应强化运用运算律进行计算的意识，要渗透归纳的意识，要让学生体会从一般到

11、特殊等思想。实际上，“考察特例”是数学研究的“基本套路”，具有广泛的适用性。例如，两条直线的位置关系，我们要特别研究“平行”“垂直”；三角形中我们要特别研究直角三角形、等腰三角形；四边形中，我们要特别研究平行四边形；等。根据上述理解，本课的教学可以这样设计：1复习与引入问题1 前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。先行组织者：我们知道，(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中

12、，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。2公式的探究问题2我们知道，对于(x+b)(x+d)这样的乘法，可以利用公式直接写出它的结果。与(a+b)(c+d)比较，它实际上是a=c=x时的特殊情况。除此之外，在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些情况比较特殊？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。问题3通过上述活动，我们得到了两个公式。请你用自

13、己的语言表述出平方差公式、完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。3例题具体题目略。本环节的主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。4公式的多元联系表示问题4如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？设计意图：通过构造几何模型表示公式，可以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，可以加深理解、增强记忆。5小结（1）请你

14、总结一下本节课讨论问题的基本过程。设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析与相关知识的联系”。（2）为什么要讨论“特殊情形”？是如何得到的？设计意图：体会“如何提出问题”。（3）你能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？设计意图：引导学生自主研究。必要时可作一定的提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，对“次数”进行推广，可以研究(a+b)3，(a+b)4。虽然这不是“课标”要求的，但对学生思维发展是有好处的。说明：对本节内容的教学观摩发现，受“创设问题情境”的局限，许多老师把“没有数学知识的张老汉被地主骗去了土地观察图形（正方形面积剖

15、分的代数表达）猜想公式”作为教学起点。这一设计因为割断了“从一般到特殊”的研究线索，因此对乘法公式的教育价值造成致命伤害。另外，造作的情景把简单问题复杂化，增加了学习负担。我们认为，从代数角度对乘法公式有了认识以后，再用“几何模型”解释公式，才真正体现了“多元联系表示”思想。另外，有的教师之所以跟风，主要还是因为对内容的理解不到位。二、课堂教学的高立意与低起点随着人教版初、高中数学课标教材的推广，笔者有机会深入课堂，进行了大量的教学观察和研讨。总体印象是：课堂教学的品味不高是普遍性的，许多教师的“匠气”十足，一切围绕升学考试转，以题型教学、技巧训练代替数学教学，功利化色彩浓厚，缺少起码的思想、

16、精神追求，极大地损害了数学的育人功能。因此，提高课堂教学的品味是当务之急。笔者认为，只有充分地挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并在教学中将知识教学与价值观影响融为一体，才能真正体现“数学育人”。其中，至关重要的是要提高课堂教学的思想性。在课堂教学实践上，要做到“高立意，低起点”。例2 “四边形”起始课的教学。以往，老师们一般都是单刀直入，直接进入“平行四边形性质”的讨论。这样的教学，其基本立意是让学生尽快知道知识点，以便展开解题训练，有“见木不见林”的弊端，容易造成被动学习的局面，学生独立思考、自主探究的机会也大大减少。下面给出一种利用先行组织者，引导学生开展“类比探究”的教学设计思路，其基本用

17、意是要让学生体会几何研究中理性思维的基本过程。先行组织者：我们今天开始学习四边形的有关知识。在研究三角形时，我们类比了直线及其位置关系的研究思路。类似地，在具体研究四边形之前，我们先来概括一下三角形的研究问题、线索和基本方法，以便为我们找到学习本章内容的大方向。问题1你能总结一下“三角形”一章研究的问题、过程与方法吗？设计意图：让学生明确一个类比对象，使他们逐步养成用几何研究的“基本套路”思考问题的习惯。通过归纳，得到：三角形的定义（概念，组成要素，角平分线、高、中线等相关元素） 三角形的分类（按边的相等关系分类、按内角的大小分类） 三角形的基本性质（边的大小关系、内角和、外角和等） 三角形的

18、全等（确定三角形的条件，判定） 特殊三角形的研究，按角的特殊(直角三角形)、边的特殊（等腰三角形）分类，从性质、判定、大小度量等方面展开研究 相似三角形（主要研究性质、判定等）。教师总结：通过“定义”，我们获得了研究对象，认识了它的组成要素和相关元素。分类的目的是为了对三角形进行分门别类的研究，可以为研究提供方便。三角形的基本性质，是对图形本身的性质的研究，其中三角形内角和定理是平面几何中最重要的定理之一。“全等形”是定性平面几何研究的主要内容之一，由此可知确定三角形的基本条件。对特殊三角形的研究，体现了考察“特例”的重要性，这是数学研究的“基本套路”。“特殊性”可以从角的特殊和边的特殊两个角

19、度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形这两个研究对象。“性质”和“判定”是对特殊三角形的两大研究主题。值得注意的是，等腰三角形是轴对称图形，它的特征性质是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具；而直角三角形的性质，特别是勾股定理，则是研究定量几何的基本工具。问题2类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”研究的问题、过程和方法吗？设计意图：通过类比，先让学生对本章的研究内容有一个整体认识，在后续研究中能够“见木见林”，给学生提供基本思想方法，从而增强学习主动性。通过归纳得到：四边形的定义（概念，组成要素，对角线等相关元素） 四边形的基本性质（内角和、外角和等） 四边形的全等（暂时不研究）

20、特殊四边形的研究，也可以按角的特殊、边的特殊分类，研究的基本内容也是性质、判定、大小度量等 相似四边形（暂时不研究）。师生总结：边的特殊性，可以从“大小关系”和“位置关系”两个角度入手。如果两组对边分别相等，直观上就可以发现，这样的四边形具有中心对称性，对称中心就是对角线的交点，而且由全等三角形易得两对对角分别相等；再结合平行线的性质，容易得到它的两组对边分别互相平行。这就是我们要研究的平行四边形，研究的基本内容也是性质和判定。研究“性质”，就是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；研究“判定”，就是考察具备什么条件的四边形才是平行四

21、边形。在平行四边形中，还可以进一步研究特殊的平行四边形：角的特殊矩形；边的特殊菱形；边角都特殊正方形。都要研究性质和判定。值得注意的是，平行四边形的特征性质是平面几何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性问题中所扮演的角色就像等腰三角形在研究对称性中所扮演的角色一样，是基本且重要的工具。说明：上述设计的立意是使学生明确数学中研究一个问题的“基本套路”，是对思想方法的追索，而起点则是学生已经学过的“三角形”。在一个章节、一个单元的起始阶段，引导学生先从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，不仅对学生领悟数学思想方法有作用，而且对培养学生的创新精神和实践能力也有积极意义。三、大力提高概念教学的水平

22、概念是思维的细胞；“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn2 o 因此我们必须十分重视基本概念的教学，在核心概念的教学上更要做到“不惜时，不惜力”。然而，当前的课堂教学中，不重视概念教学是一个比较普遍的现象。“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，在学生对概念还没有基本理解的时候就要求学生进行概念的综合应用，许多老师甚至认为教概念不如多讲几道题目更实惠。更令人担心的是，有些老师不知如何教概念。这一问题必须引起我们的充分重视。从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维

23、活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。由于“数学能力就是以数学概括为基础的能力” HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn3 o ，因此重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性。一般而言，概念教学应该经历如下几个基本环节：（1）背景引入；（2）通过典型、丰富的具体例证（要尽量让学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动；（3）概括共同本质特征得到概念的本质属性；（4）下

24、定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）；（5）概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察；（6）用概念作判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判断的具体步骤；（7）概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。概念教学要注意以下一些基本问题： HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn4 o 第一，概念（特别是核心概念）教学中，要把“认识数学对象的基本套路”作为核心目标之一；第二，数学概念的高度抽象性，决定了对它的认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一

25、个螺旋上升、在已有基础上再概括的过程；第三，人类认识数学概念具有“渐进性”，个体对数学概念的认识要“重演”人类的认识过程，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学与学生认知水平相适应”的本意所在；第四，为了更有利于学生开展概括活动，例子的选择至关重要，而且要重视让学生自己举例子，“一个好例子胜过一千条说教”；第五，“细节决定成败”，必须安排概念的辨析、精致的过程，即要对概念内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生在对概念的正例、反例作判断的过程，更准确地把握概念的细节；第六，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成

26、用概念作判断的“操作步骤”的同时，建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。例3 “反比例函数”的教学设计。反比例函数概念貌似简单，但要理解它的本质并不容易。例如，在“京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v随它的全程运行时间t的变化而变化”中，“速度随时间的变化而变化”容易引起“变速运动”的心理图式。在理解定义的过程中，要借助于“反比例”概念（当两个相互有关的量x和y在变化过程中保持其乘积不变时，称它们成反比例，记作xy=k，k为常数），还要借助分式概念，而这两个概念的理解是有一定难度的。因此，在反比例函数概念的教学中，如何使学生在已有反比例概念基础上提升，用函数观点看待和解释成

27、反比例的两个量的关系，正确理解并能用概念作判断，还需要在一些关键点上做好文章。具体设计如下：问题1我们学习过反比例概念，你能举出一些两个量成反比例的例子吗？学生举例后追问：为什么你认为自己的例子中的两个量成反比例？设计意图：通过学生自己举例并用概念解释，调动思维，激发思考，并从“两个量在变化过程中”引向“变量”，“成反比例”是一种“变化规律”。问题2你所举的这些例子（匀速运动路程固定，速度与时间的关系；总价固定，商品单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系）有什么共同特征？设计意图：让学生概括共同本质特征，为理解反比例函数概念打下基础。最终要使学生得到两个本质要素，一是有两个变量，二

28、是变化规律都是“两个变量成反比例”。问题3如何用函数的观点解释上述问题？设计意图：通过用函数概念解释，让学生体会“两个量成反比例”上升到“反比例函数”的过程，其中主要是确定自变量和函数。例如，按照绿化率的要求，某居民小区要种植10000 m2的矩形草坪，以草坪的宽x为自变量，长y为函数，那么，y随x的变化而变化，给定一个宽x，长y就唯一确定了，并且对于不同的x及其对应的y，都有相同的关系 （xy=10000的变形）。问题4请同学们阅读课本，并举例说明你对反比例函数概念的理解。设计意图：让学生通过阅读课本明确反比例函数的定义；通过举例，并用定义解释，检验学生对概念的理解情况。问题5概念辨析：用定

29、义判断， ， 是否为反比例函数，为什么？设计意图：从“x与y成反比例”和“函数”两方面辨析概念。通过反例的使用，使学生更进一步明确反比例函数的两个要素。另外，这里也包含用概念作判断的“操作步骤”：第一步，看y是否随x的变化而变化，任意一个x是否唯一对应一个y的值；第二步，“自变量x与相应的函数值y是否成反比例”，也就是看x与y的乘积是否为常数。对于 ，由于 是一个随x的变化而变化的量，不是常数，所以x与y不成反比例，所以不是反比例函数。同样，对于 ，由于 ，不是一个常数，所以它不是反比例函数。例题：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6，求函数关系式。说明：通过本例要使学生理解到，只有形如

30、 （k0，k是常数）的函数才是反比例函数。“求反比例函数”就是确定k的值。小结：反比例函数是一类特殊的函数，特殊在自变量与对应的函数值成反比例。四、什么叫“抓基础”抓双基是我国数学教学的优势，但这个优势正在丧失。其中的原因多种多样，但对“怎样做才是真正的抓基础”的认识不到位是主要原因之一。当前，课堂教学演变为“题型教学”，题型教学又进一步蜕化为“刺激反应”训练的状况非常令人忧虑。有些教师往往用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且对概念的死记硬背和对解题的机械模仿

31、必然导致“功能僵化”，学生面对新情境时无法“透过现象看本质”，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。有的教师试图通过“题型教学”穷尽“题型”，幻想通过“题型”的机械重复、强化训练，让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分数。对具有普适意义的、迁移能力强的“根本大法”数学思想方法的教学，却因其不是“立竿见影”而得不到重视。为了真正体现“双基”教学的思想，应当提高对“抓基础”的认识水平：首先，要强调基本概念教学的重要性，重视基本概念蕴含的智力开发价值，主要是要充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，“无知者无能”学生的数学能力不强的主要根源在于没有掌握数学基本概念及其联系

32、方式；第二，要让学生养成“不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯；第三，要加强概念联系性的教学，从概念的联系中寻找解决问题的新思路解题的灵活性并不来自于“题型+技巧”，而是来自于概念联系通道的顺畅。“基础”是发展的“根”和“本”，根深才能长成参天大树，本固才能立于不败之地。例4 关于“配方法”的教学思考。在处理各种代数问题时，我们总是运用各种代数运算来分析量与量之间的代数关系。由于不定元（字母）代表数，因此代数问题中所处理的字母符号满足数系通性。而配方法的要点就是应用任意实数a都有a20这一简单、明白、常用、好用的“基本事实”来解决各种“二次问题”。一元二次方程、一元二次不等

33、式和二次函数在初中数学中占有重要地位，是初中数学当之无愧的核心概念，而配方法则是处理这“三个二次”的基本工具，善用配方法是处理好“二次问题”的根本。那么，如何加强配方法的基础地位呢？我认为，首先要让学生理解配方法的概念、理论依据和操作步骤，然后在处理“三个二次”的过程中，逐步形成应用配方法解决代数问题的“基本套路”。其教学要点如下：1“配方法”的教学，明确如下三点：概念：“配方”就是把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子，即ax2+bx+c= 。理论依据：完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，这是完全平方公式的一个重要应用。步骤：以“二次”为基点，依次完成（1）二次项系数变1

34、；（2）加上并减去一次项系数一半的平方。2一元二次方程求根公式的推导，经历如下从特殊到一般、由单一到综合的过程：（1）从最简单的开始：从x2=2，x2=0，x2=2等的求解中，归纳出x2=a的解的情况是当a0时，有两个实数根 ；当a0时，没有实数根。说明：因为这是后续所有讨论的基础，所以这里一定不能因为“简单”一带而过，要让学生经历好概括的过程。（2）变式：从x2+2x+3=0，x2+2x+1=0，x2+x+5=0等的解答中，归纳出x2+bx+c=0的解法。这里有两个重要思想方法，一是利用配方法，化归为最简单的情形(x+p)2=q，然后求解；二是通过开方将方程降次，变成两个一元一次方程。说明：

35、这一过程是从特殊过渡到一般的中间桥梁，应当让学生经历到用配方法将x2+bx+c=0化归为最简形式的完整过程。老师只要提出问题，不必讲解，由学生独立完成。（3）推广到一般情形。对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到利用配方法化归为(x+p)2=q就能解的思想方法，并让学生独立思考，自己推导出求根公式。在一元二次方程求根公式的教学中，要让学生体会到研究“二次问题”的一个“基本套路”：从最简单的情形开始，从特殊到一般，逐步将复杂问题化归为简单问题。在化归过程中要注意化归的条件（完备性，这是对思维严谨性的训练）。3二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质的讨论，沿用一元二次方程求根公式的

36、“套路”：从最简单的y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(xh)2+k ，最后到y=ax2+bx+c。一脉相承的思想方法：“化归”到前一种情况。研究工具：配方法。当然，函数所研究的问题比方程要复杂，所以这里也要注意概括研究的基本问题，如开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等，还要通过实例让学生感受为什么要研究这些性质。实际上，“配方”的目标是在某个元是“二次”的前提下，配成“完全平方式”，以便应用实数平方的“非负性”。这种方法不仅简单，没有什么技巧性，而且可以“程序化”，因此好用，其灵活性也完全因此而生。例如：（1）证明：无论m取何值，2x2+(m1)x+(m4)=0都有

37、两个不等实根。由于“有两个不等实根”等价于“判别式恒大于0”，而判别式=m210m+33，是关于m的二次三项式，配成=(m5)2+8，由“非负性”立即得解。（2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一个方程两个未知数，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”。因为是“二次”，自然想到“配方”为“完全平方式”，利用“非负性”化归为方程组。顺便提及，许多老师对“十字相乘法”情有独钟，但它实际上只是代数变换中处理一类特殊问题的一种技巧，不像配方法具有内在的“基本套路”，更没有配方法那种大巧若拙的品味。五、怎样才是真正“教完了”当我们强调课堂教学中要让学生经历概念的发生过程时，

38、经常会听到一些老师疑虑：“这样能教完吗？”于是就给学生吃“压缩饼干”，基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程的机会，没有经过自己独立思考而概括出概念和原理的机会，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就要他们做高难度的题目。调研发现，这些问题有越来越严重的趋势。在匆忙完成的基础知识教学中，教学的“准”“简”“精”都出问题：不“准”或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；不“简”在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；不“精”让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。例5 “整式”概念教学中使用的一组不适当的练习题。在一次调

39、研中，教学内容是“整式的概念”。教师在课后练习中布置了如下一组练习：1. 已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y1)的值；2.已知a2+a1=0,则a2000+a1999 a1998= ；3.已知，求的值；4.已知a：b=5：6，b：c=4：3，求的值。令我疑惑的是，老师为什么要布置这些题目？学生没有学比例式、分式、指数式等概念，能理解题意吗？因此就求教任课教师。她的回答是：解答这些题目的方法反映了常用的代数解题技巧，其中有“变量代换”、“整体思想”、“几个非负式的和为0，那么它们都为0”、“齐次式”等重要方法和变形技巧，这些东西是考试的重点，要让学生尽早接

40、触，强化训练。在应试教育的背景下，老师的做法似有道理。但退一步讲，即使为了考试，也要讲个训练效果。在代数式学习之初，要求学生用“变量代换”“整体思想”等解决问题，能收到好的效果吗？课后访谈发现，大多数学生不能理解题意，独立解题就更是无从谈起了。有的老师说，我给学生讲变形技巧时，他们都能懂，在此基础上通过训练，熟练了就好了。似乎有道理，而且确实“教完了”，但学生理解多少呢？这样“教完”，除了让学生记住技巧，短时间内能应付考试，还有别的什么呢？当然，这样的老师还是负责任的，但这是“好心办坏事”。在不适当的时候、用不适当的方法讲技巧，增加了学生负担，鼓励了机械模仿、记忆式学习，并且还可能把学生“教糊

41、涂了”。不重视基本概念的理解，把主要精力放在技巧训练上的做法，不仅导致学生的基础不扎实，缺乏可持续发展的后劲，而且还使学生陷于机械重复操练，养成死记硬背的不良学习习惯，导致厌恶学习。这是严重违背教育规律的，必须得到纠正。“教完了”应以学生是否理解为标准，特别是以学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括数学概念、定理、公式、法则等以及由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。六、探究式教学的天时地利人和 HYPERLINK /Html/Article/13808/ l _edn5 o 首先讲“天时”。当今世界，经济全球化和知识经济步伐不断加快。为了掌握2

42、1世纪社会经济发展的战略制高点，我国正竭力倡导从模仿创新转向自主创新，培育自身的科技原创力。相应地，要求教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。因此，强调探究式教学顺应了我国社会经济科技发展的要求，大力加强探究式教学“适逢其时”。当然，也有我国社会转型期出现的急功近利对教育的侵害，应试教育实际上是教育领域的“GDP主义”政府主管部门、家长、社会舆论仍以升学率论英雄，并不问分数是以什么方式得到的。人们的理由是：优质教育资源就那么多，我必须让学生先拿到入场券，是否有利于学生的持续发展那是后话，顾不了这么多。因此“天时”并没有转化为探究式教学的有力条件。正如温家宝总理指出的，我们仍然是“重视认

43、知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养”，因此“中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏。”其次看“地利”。这里只针对学习内容是否适宜于探究而言。一般地，解题教学都应安排学生的自主探究活动。下面主要讨论数学基础知识的探究式学习问题。应当说，大部分数学概念、性质、法则、公式、定理等，都适宜于用探究式学习方式。显然，数学思想方法在自主探究中有关键作用，但常常需要教师的启发引导。例6“等腰三角形的性质”的探究式教学设计。在本课的多次教学观摩中发现，老师们都把它设计成为一个“微型探究式学习课”。基本过程是：剪等腰三角形发现等腰三角形的性质证明应用

44、。从形式上看，确实经历了“探究发现逻辑推理”的完整过程，但这一过程中学生的实质性思考并不充分。问题主要出现在“剪法的理性思考”、“从实际操作中获得证明方法的启发”两个环节上，其原因是教师自己对“等腰三角形的对称性”的重要性感受不强烈，没有围绕“对称性”这一核心展开探究。下面的教学设计体现了 “围绕对称性，从实际操作中获得证明方法的启发”的思路。先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素（内角、边）和相关要素（外角、角平分线、中线、高等）的一般特征，如三角形内角和等于180埃谎芯抗热切挝侍猓坏取芯恐毕呶侍馐保谙嘟幌咧形颐茄芯苛颂厥獾拇怪惫叵担凇叭甙私恰敝形颐茄芯苛颂厥獾钠叫形侍狻嗨频兀芯刻厥

45、獾娜切我灿泻苤匾囊庖澹饩褪侵苯侨切危诮堑奶厥猓妊切危叩奶厥猓旅嫜芯康妊切巍?/SPAN问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？设计意图：让学生明确要研究的问题。学生回答出“性质与判定”后，追问：“性质”就是研究什么？“判定”就是研究什么？问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？设计意图：研究问题具体化，明确要研究的问题是：内角的关系，相关要素（高、中线、角平分线）的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。设计意图：通过操作，使学生更深刻地感受等腰三角形的

46、对称性；让学生说明“一定是”，目的是强化操作过程中利用了“重合”。问题4“剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？设计意图：分析操作步骤中每一步的数学意义，明确“折叠”是为了得到“对称轴”，“剪一刀”就得到了两条腰，由“重合”保证了“等腰”。这样就建立了“操作”与“证明”的中间桥梁。问题5 从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？由此可以得到哪些性质的猜想？学生给出猜想后，再提出：如何证明？提醒：要注意操作过程的数学含义的启发。设计意图：先猜想，后证明。可能有些学生不善于把操作的经验用于证明，所以提醒从操作中获得证明思路的启发。问题6 对特殊的等腰三角形等边三角形，还可进一步推出哪些特

47、殊结论？设计意图：等边三角形的性质是等腰三角形性质的推论，完全可以由学生自主获得。C小结：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线就是对称轴。“三线”重合于对称轴，这是等腰三角形所有性质的根源。后续学习会发现，等腰三角形的这些性质在平面几何中是非常有用的。作业：如图，等腰三角形的五条性质（1）CA=CB（定义）；（2）A=B；CBA（3）C的平分线CM垂直于底边AB；（4）中线CM垂直于底边AB；（5）底边上的高CM平分顶角中，以任何一条为前提都可以推出其余4条。请你尝试推导。说明：针对基本图形，通过“知一推四”的训练，目的是让学生透彻把握等腰三角形的特征性质。当然，并不是所有学习内容都适宜于探究

48、，有的甚至不需要探究。例如，数学中某些原始性的概念，如“有理数”、“无理数”、“补角”、“余角”等，没有多少“开放性”，不必探究。这样的内容，重要的是让学生了解来龙去脉，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教师讲授或让学生看书的方式即可。某些定理的发现过程也不必探究。例如勾股定理，只要让学生理解意义，学会证明（可以有多种方法），能应用它解决其他问题就可以了。再次看“人和”。探究式学习的“人和”，就是师生所共同营造的“探究氛围”。这种氛围，一方面有赖于学生“探究式学习的心向”，另一方面也有赖于教师的“探究型教学的意识”。如果学生缺乏“遇事问个为什么”“打破沙锅问到底”的习惯和勇气，那么探究式学习

49、就失去了内因；同样的，如果教师只注重给学生灌输现成数学结论，不给学生独立思考、自主探究的机会，那么探究式学习也就失去了其生存的时间和空间。当然，“人和”气象的出现，还需要一个位于学生思维最近发展区内的、蕴涵当前学习内容本质的问题情境，作为探究式学习的“引子”、“平台”，使探究式学习得以展开、深入，开花结果。也就是说，课堂中的探究一般应当是一种“定向探究”。最后，学习是知与行相统一的主动行为，接受式和探究式是学习的两种基本形态以学生发展为本的教学，应体现接受和探究的相辅相成，要协调与平衡认知与情感、指导与自主、能动与受动、抽象思维与形象思维、动手实践与大脑意识活动、独立思考与合作交流等各种因素，

50、进而使学习成为一个完整的认识过程有的老师说，我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？我的观点是：学生的数学成绩不好，是因为他还没有找到进入数学的大门，数学上还没有开窍。对于这部分学生，教师讲授是必要的，但更要注意数学学习方法的引导，而且“师傅领进门，修行在个人”，如果学生没有真正的独立思考、自主探索的机会，没有自己对数学知识的思维加工，总是停留在模仿、记忆的水平，那么他是不可能真正理解数学知识的。所以，越是基础差的学生越要给他独立学习的机会，关键是要为他安排好学习的台阶，使他能循序渐进地学习，达到“积跬步以至千里”的效果。例如，“等腰三角形性质”的探究式教学设计，基于学生的动手操作，强

51、调从操作中获取思想方法的启发，相信对于大多数学生都是适用的。如果学生的抽象思维能力比较强，则不必安排动手操作环节，直接让他们通过全等三角形（包括ACBBCA）来证明即可。只是这种方法中“对称性”的作用不够强烈，因此需要在获得所有性质后，再回过来找补。七、如何正确理解螺旋上升在本次课改中，因为强调学生学习的自主性和学习兴趣的培养等，所以在课程结构上注重“螺旋上升”的组织方式，对已经熟悉了“直线式”课程教材结构体系的广大教师确实形成挑战。到底应该如何看待螺旋上升问题呢？首先，螺旋上升地安排数学内容，同一内容在不同阶段提出递进式学习要求，都是正确的做法，因为这样做既考虑了教学与学生心理发展水平相适应

52、的问题（因为“学习从属于发展”），同时也体现了数学概念的发展性。特别是那些核心概念，因为它们在理解其他数学概念、联系不同领域的数学内容方面具有“固着点”作用和纽带作用，因此必须得到螺旋上升地再现。例如，函数概念，可以直观地用描述性语言表征（初中阶段），也可以用集合对应的语言表征（高中阶段），还可以用关系语言来表征（大学阶段）。数学概念在不同层次上的表征方式体现了人类对数学概念本质认识的深化过程，是螺旋上升地安排学习内容的主要依据之一。其次，重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”。我们知道，思想方法是由数学内容所反映的，属于“隐性知识”，有一定的“可以意会不可言传”的成分，需要经历“渗透概

53、括应用”的学习阶段。这就需要教师有意识地安排在概念教学中渗透、概括，在知识的联系中强化、应用。特别是，在数学概念的“多元联系表示”中可以很好地体现“螺旋上升地认识数学思想方法”的要义。第三，“螺旋上升”要体现“必要性”。如果学生的心理发展水平不够，还没有能力认识更多的细节、更本质的内涵，这时就要采用螺旋上升式；如果学生的能力已经达到了，就不应人为割裂认识的链条，更何况“学习能够促进发展”，教学既要与学生思维发展水平相适应，又要尽最大努力将思维的“最近发展区”转化为“现实发展水平”。例如，平面几何中，把“实验几何”与“论证几何”截然分开是不可取的。第四，在构建课程体系时，应当以知识的前后逻辑连贯

54、性、思想方法的一致性为前提。“课标”构建的课程体系受到教师广泛批评的原因，一方面是其本身存在整体结构逻辑性差、知识不连贯性、螺旋设置不合理等；另一方面也导致了初高中衔接不光滑，初中没有为高中数学学习做好基础准备，特别是运算和推理的基本技能不过关。一般地，整个中学数学课程体系上要螺旋上升，而在小系统上还是以“直线式”为好。第五，“螺旋上升”可能带来的问题是简单重复学习，这是需要特别注意的。例如，当前的统计、概率内容安排，从小学低年级开始不断低水平重复，既浪费时间，同时也不符合随机数学的特点和学生认知发展规律。事实上，学习随机数学需要有辩证逻辑思维的发展为基础，而人的辩证逻辑思维在14周岁左右才有

55、萌芽，整个青少年时期都发展不完善（有人甚至终身得不到完善发展），因此，在初中三年级正式安排概率、统计的内容是合适的。小学阶段可以在算术中安排一点“平均数”的内容。例7 “比例关系”及其反映的数学思想方法的螺旋上升式理解举例。小学：分数、小数、百分数，渗透分数是两个数的商；理解比、比例的意义和性质，正比例、反比例的意义，用比例的知识解决简单问题；比例尺；等。初中：熟练运用比例列代数式，用比例进行几组数的比较列方程、不等式等；正比例函数、反比例函数；线性函数；等。在代数中，对“比例”完成“数字母变量”的螺旋上升的认识。在长度、角度、面积等各种几何量的大小比较中应用比例思想，在度量单位的转换中体会比

56、例的作用；以比例线段为载体，对比例性质、比例式及其变形等进行初步的理论研究；用比例进行线段的比较；用比例的思想方法研究图形的性质，如平行截割定理，相似三角形，全等就是“相似比为1”；锐角三角函数；等。在几何中，对比例的性质进行较系统的探索，并且用比例的思想方法认识和解决几何问题。比例作为数形联系的工具，例如“坡度”概念（上升量与前进量的比），一次函数y=ax+b中a的意义（作为函数值与自变量的增量比，变化率恒定的变化特征等）等。用比例的方法作统计图表；频率、概率就是一个“比例数”；等。高中：用比例思想方法解决更广泛、更复杂的问题。例如，解析几何中，直线方程的问题基本上可以归结为斜率 ，圆锥曲线

57、中有大量与比例相关的问题；比例是研究等差数列性质的有效工具，如把d=anan1写成 ，由它对任何自然数n成立，立即可由比例性质得到 ，于是当nm=pq时，anam= apaq；与斜率概念相联系，把 看成是由Pn(n，an)和P1(1，a1)决定的直线的斜率，也可以得出等差数列的许多有用的性质。总之，当我们利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）来认识比例概念、联系相关知识时，学生对比例关系的理解就会更深刻。八、如何理解“不是教教材，而是用教材教”从大量的课堂观察中发现，脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有：第一，许多教师认为教材内

58、容“简单”，不足以应付升学考试；第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材；第四，有的老师认为，“只有讲课本以外的东西才能显示自己的水平”。对此，我的观点如下：首先，“不是教教材，而是用教材教”是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。其次，“教材太简单，不足以应付升学考试”的观点是偏颇的。诚然，教材的“基础性”与升学考试的“选拔性”确有一定的目标差异，但学

59、好教材一定是升学考试取得好成绩的前提，教师的主要精力应放在帮助学生熟练掌握教材内容上。第三，教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整、例题习题的增减等都要十分小心，否则容易导致教学目标的偏离。“教之道在于度，学之道在于悟”。在课改实验中，许多老师觉得这个“度”不好把握。我认为这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”。课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。理解好教材是当好数学教师的基本前提。例8 锐角三角函数概念的教材编写意图。1本节内容的定位“课标”把锐角三角函数放在“

60、图形与几何”的“图形的相似”中，规定的教学目标是：（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30?/SPAN，45?/SPAN，60?/SPAN角的三角函数值；（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；（3）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。因此，初中学习锐角三角函数，其主要目的是解直角三角形和相应的实际问题。首先是“几何性”，然后是“函数性”。2概念的概括过程根据上述定位，教材主要从“几何的角度”展开锐角三角函数概念的概括过程：（1）课题的引入从实际需要（如比萨斜塔的倾斜问题，实