2013湖北高考数学文科试题及解析

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则B1A2B3,4C.1,4,52已知0,0,n，则双曲线C:-1与C:41sin20cos202cos2/Qi的D.2,3,4,5A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”q是“乙降落在指定范围”，则

2、命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A.(p)V(q)B.pV(q)C(p)A(q)D.pVq4.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且y2.347x-6.423；y与x负相关且y=-3.476x+5.648；y与x正相关且y5.437x+8.493；y与x正相关且y=-4.326x-4.578.其中一定不.正.确.的结论的序号是A.B.C.D.5.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是6.将函数yf3cosx+sinx(xeR)的图

3、象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是An12BCD5n67已知点A(-1,1)、B(l,2)、C(-2,-1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为ABC3/2D3.15_2_8x为实数，X表示不超过X的最大整数，则函数f(x)=X-X在R上为A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数9某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为A.31200元B.36000元C.36800元D.38

4、400元已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是A.(-,0)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,+,)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答.题.卡.对.应.题.号.的位置上.答错位置书写不清，模棱两可均不得分.TOC o 1-5 h zi为虚数单位，设复数z，z在复平面内对应的点关于原点对称，若z=2-3i，则z=.121212某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则(I)平均命中环数为;(II)命中环数的标准差为.13.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输入m的值为2，则输出

5、的结果i=,第13题图14.已知圆O：x2y2=5,直线l:xcos,ysin,=1（0,2013?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理n由.已知函数f(x)axbx120(本小题满分13分)如图，某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为AAd同样可得在B，C处正下方的矿层厚2121度分别为BBd，CCd，且ddd.过AB，AC的中点M，N且与直线AA平行的平面截1221231232多面体ABC-ABC所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S.111222中证明：

6、中截面DEFG是梯形；在厶ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体ABC-ABC的体积V)时，可用近似公式VS-h来估算.已知111222估中V】(ddd)S，试判断V与V的大小关系，并加以证明.3123估AxC2第20题图21(本小题满分13分)(I)当a丰b时，讨论函数f(x)的单调性;(II)当x0时，称f(x)为a、b关于x的加权平均数.G)判断f，f(b),f(b)是否成等比数列，并证明f(b)f(b);aaaa(ii)a、b的几何平均数记为G.称2ab为a、b的调和平均数，记为H.若Hf(x)G，求xab的取值范围.22(本

7、小题满分14分)如图，已知椭圆C与C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别12为2m，2n(mn)，过原点且不与x轴重合的直线l与C，C的四个交点按纵坐标从12大到小依次为A，B，C，D.记尢，m，BDM和厶ABN的面积分别为S和S.n12当直线l与y轴重合时，若S，九S，求尢的值；12当尢变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线1,使得S，九S?并说明理由.122013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文史类)试题参考答案一、选择题：BBA2,3,43,4,53,4.1中，都有c2=sin29+cos29=1，即焦cos29sin29D在双曲线十1与c距相等A因为p是

8、“甲降落在指定范围”q是“乙降落在指定范围”则-P是“没有降落在指定范围”-q是“乙没有降落在指定范围”所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p)V(q)D在Q中，y与x不是负相关；Q一定不正确；同理Q也一定不正确.C可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x轴的一条线段，由此可以排除D；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，

9、即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B.故选C.兀nB因为y=V3cosx+sinx(xR)可化为y=2cos(x一丁)(xR),将它向左平移一个单位得66c/兀、兀y2cos(x+)一一662cosx其图像关于y轴对称.AAB=(2,1)，CD=(5,5)，贝恫量AB在向量CD方向上的射影为ABcos9BCD(2，1)-(5,5)2%5+1%5J.cD52+52522D函数f(x)x-x表示实数x的小数部分，有f(x+1)x+1-x+1x-xf(x)，所以函数f(x)x-x是以1为周期的周期函数.C根据已知，设需要A型车x辆，B型

10、车y辆，则根据题设，有x+y”21,y-x”7,一彳cc画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7,14)，B(5,12)，C(15,6)，目标函数(租x“0,y“0,36x+60y900,金)为k1600 x+2400y，如图所示.将点B的坐标代入其中，即得租金的最小值为：k1600 x5,2400 x12=36800(元).10.Bf(x)lnx,1-2ax，由f(x)=x(lnx-ax)由两个极值点，得f(x)=0有两个不等的实数解，即lnx2ax-1有两个实数解，从而直线y=2ax-1与曲线y=lnx有两个交点.过点(0,-1)作y=lnx11的切线，设切点为(x0,y0)，则切线的斜

11、率k，切线方程为yx-1.切点在切线上，则00 xx00 xy0一10，又切点在曲线ylnx上，则lnx0 x1，即切点为(1,0).切线方程为y=x-1.0 x000再由直线y2ax-1与曲线ylnx有两个交点.，知直线y=2ax-1位于两直线y=0和y=x-1之间，1如图所示，其斜率2a满足：0V2aV1,解得0VaV二、填空题：-2,3i复数z2-3i在复平面内的对应点Z(2，-3)，它关于原点的对称点Z2为(-2,3)，所对应的复数为z-2+3i.2(1)7(II)27加,8,7,9,5,4,9,10,7,4)=7；2s110-7)2+2(9-7)2+(8-7)2+3(7-7)2+(5

12、-7)2+2(4-7)2=40=2.10104初始值m=2，A=1，B=1,i=0,第一次执彳丁程序，得i=1，A=2,B=1，因为AB不成立，则第二次执彳丁程序，得i=2,A=2X2=4,B=1X2=2,还是AB不成立，第三次执彳丁程序，得i=3,A=4X2=8,B=2X3=6,仍是AvB不成立，第四次执彳丁程序，得i=4,A=8X2=16,B=X4=24,有AB成立，输出i=4.14这圆的圆心在原点，半径为5,圆心到直线l的距离为1，所以圆O上到直线lcos20,sin20的距离等于1的点有4个，如图A、B、C、D所示.15.3因为区间-2,4的长度为6,不等式IxIm的解区间为m,m,其

13、区间长度为2m.那么在区间-2,4上随机地取一个数x,要使x满足IxIm的概率为5,m将区间-2,4分为2,m和m,4,6且两区间的长度比为5:1,所以m=3.16.3如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为V=32+102+6x10)=3x196(立方寸），盆口面积S=196n（平方寸）,所以，平地降雨量为3X9（寸）二3（寸）.(I)3,1,6(II)793,133(II)由S=bcsinA=bc-=bc=53,得bc=20.又b=5,知c=4.2246s=saDFG+saDEF=1+2=3,N=1,L=6；79根据题设厶ABC是格点三角形，对应的S=1,N=0,L=4，有4b+c二1

14、,Q由(I)有a+6b+c二3,再由格点ADEF中，S=2,N=0,L=6,得6b+c二2,联立，解得b=2,c=一1,a=1.所以当N=71,L=18时，S=71+1x18-1=79.2三、解答题：(I)由cos2A一3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA一2=0,即(2cosA一1)(cosA+2)=0,解得cosA=1或cosA=-2(舍去).2n因为0A2013,则1-(，2)n2013,即(，2)n0,上式不成立；当n为奇数时，(，2)n=，2n2012,则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,keN,k5.20.(I)依题意AA丄

15、平面ABC,BB丄平面ABC,CC丄平面ABC,121212所以A,A2B/2C,C2.又AA=d,BB=d,CC=d,且ddd.121212121122123123因此四边形AABB、AACC均是梯形.12211221由AA平面MEFN,AAu平面AABB，且平面AABB|平面MEFN=ME,222222可得AA2ME，即AA2DE.同理可证AA2FG，所以DEFG.又M、N分别为AB、AC的中点，则D、E、F、G分别为AB、AB、AC、AC的中点，11222211即DE、FG分别为梯形AABB、AACC的中位线.12211221因此DE=丄(AA+BB)=丄(+d),FG=丄(AA+CC)

16、=丄(+d),2121221221212213而ddd,故DEFG，所以中截面DEFG是梯形.123(II)VV.证明如下：估由AA丄平面ABC,MNu平面ABC,可得AA丄MN.1212而EM#ArA2，所以EM丄MN，同理可得FN丄MN.由MN是ABC的中位线，可得MN=-BC=1a即为梯形DEFG的高，221zd+dd+d、aa因此S=S=(r2+13)-=(2d+d+d),中梯形DEFG22228123ah即V=S-h=(2d+d+d).TOC o 1-5 h z估中8123又S=-ah，所以V=(d+d+d)S=ah(d+d+d).231236123于是VV=ah(d+d+d)ah(

17、2d+d+d)=也(dd)+(dd).估61238123242131由dd0,d一d0,故VV.1232131估21.(I)f(x)的定乂域为(-8,-1)(-1,8),a(x+1)一(ax+b)a一bf(x)当ab时,当ab时,(X,1)2f(x)0,f(x)2G故由Hf(x)G,得(ii)由a.得-x-，即x的取值范围为aa得上xb，即X的取值范围为aa当ab时，f(-)f(x)a这时，x的取值范围为(0,+8);当ab时，0-1，从而-,.-，由f(x)在(0,+8)上单调递增与式,aa1当a-,S-12故当直线l与y轴重合时，若SS，则2+1.12ak1+k20),点M(，a,0),N

18、(a,0)到直线1的距离分别为d,d，则12I，ak-01ak,Iak-01ak因为d,d，所以dd.1V1+k2V1+k22k2.k21SIBDI又SIBDId,SIABId,所以r,即IBD1二IABI.121222SIABI由对称性可知IABIICDI,所以IBCIIBDI，IABI（，1）|ABI,IADIIBDI+1ABI（+1）|ABI,于是IADI+1IBC厂1将1的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得2根据对称性可知x，x,x，x，于是TOC o 1-5 h zCBDAIADIxi+k2Ix一xI2xmD从而由和式可得_（，1）*令t册)，则由mn，可得t丰1，于是由可解得k2:,r-a2（1，12）因为k丰0,所以k20.于是式关于k有解，当且仅当n2(222D0,等价于(t2-1)(12-丄