2013年北约自主招生数学试题与答案

1、第 贞共5贞2013年北约自主招生数学试题与答案1.以血和1-返为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?2B.3C.5D.6解析：显然，多项式/(a)=(x2-2)(1-a)3-2的系数均为有理数，且有两根分别为JI和1-返.于是知，以和1-返为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于54a+2c+e=02b+R=0若存在一个次数不超过4的有理系数多项式&=a4+by?+OF+必+s其两根分别为和1_“I.其中a.b.c.d.e不全为0,则：g(返)=(4m+2r+e)+(2+心/!=0=纟(1-返)=-(7+-w)-(2n+35+2c+(6a+3加c护=0=a+b-c-d-e=02a+3

2、3+2c+=0即方程组:(1)(6)(6)(7)4a+2c+=0(1)25+N=0(2)-la+bcde=0(3),有非0有理数解.2a+3+2c+d=0(4)6q+35+c=0(5)(3)得：11q+力+q-R=0(6)(2)得：Ua+33+e=0(7)(4)得:13a+43+3e=0(8)(5)得:a=0,代入(7)、(8)得:b=e=0,代入(1)、(2)知：N=$=0+第 #贞共5贞第 #贞共5贞于是知a=b=c=d=e=g与不全为0矛盾所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式纟(兀)，其两根分别为和1-返.综上所述知，以和1-迈为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2.在6x6的表

3、中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有T占一格对翊A.720R20C.518400D.14400第 #贞共5贞第 #贞共5贞解析:先从6行中选取3行停放红色车，有得种选择最上而一行的红色车位置有6种选择；最上而一行的第 贞共5贞红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上而两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3!二6种选择。所以共有6x6x5x4x6=14400种停放汽车的方法.3.若x2=27+5,/=2x+5,M.v3-2xy+/的值可能为？A.1OB.12C.14D.16解析:根据条件知/一2

4、工2#+y=x(27+5)-2(2/+5)(2工+5)+y(2x+5)=15x-15/-4-50.由工=2尹+5,丿，=2x+5两式相减得(x丿(兀+丿)=2y-lx故y=x或尤+y=-l若x=丿则工2=2兀+5，解得x=176.于是知x=y=l+品或x=y=l_&.当JT=丿，=1+&时，A-3-2丹2+y=一4号+15(X+7)-50=-4r-30工-50=7(F-2x-5)-38工-70=-38.r-70=-108-386.当x=y=l-y/6时T3-lx2y2+y3=-4号-15(工+刃-50=-4x3-30-50=-4(x2+2x-5)-38.V-70.x2+丿只=(2尹+5)(2x

5、+5)=2(j-x)=x+y=-2=-38a-70=-108+38/6.若xh尹，则根据条件知:x2+/=(2+5)-(2x+5)=20,x)n工+y=-2,于是工+/=(2+5)(2x+5)=2(x+y)+10=6,进而知；9,=+)_+_=-1-于是知x3-2x2y2+y3=4初一15(兀+尹)一50=-16.综上所述知，x3-2工y+y的值为_108386或-16.4数列打满足=1，前项和为鬲，必i=4冷+2求ohA.3019x2网B.3019X2*11C.3018x2D-无法确定解析:根据条件知：4%+2=必2=+必严2+4“”+2=空2=4-4Q”.又根据条件知：q=1,為=坷+角=

6、4坷+2=5所以数列a=1,=5,%=4%-4an.又2=4%-o%-2%=2(%2a).令久=也-2%则纭1=2每,A=a22=3,所以3=3-2n1-即2a=3-2W_1对行-2讣32巴两边同除以2叫有霧-斧右即鬻歩+右令沪笋则%=+1，q=号=+，于是知q=寺+%-1)=斗丄.所以岛=牛丄0=(3力一1)y4222444于是知：加=Gx2013-1)-22011=3019-22012.5.如图,中,NQ为方O边上中线、DM、DN碍乙ADB上角平分练比较BM+CN与必V的大小关系.BM+CNMNMN+CNME=MN-6模长为1的复数也E、0满足N+E+6V0求竺!的模长.A+B+CA.1/

7、2B.1C.2D无法确定AB+SC+CA/A+B+C|一才解析:根据公式日=J77知，47=1,B3=1,OP=1.于是知:A班BCCAABvBCvCAA+B+CA+B+C(ABCC+ABCC+BCAA-.BCAACABBCABB)(AABB+EBCC+CCAA)(云+屈+SC+BC+CA+CA)+(AA+厉+CC)甲+期+龙+3r+刃+刃+3_O4+CA+3所以竺竺竺的模长为1.力+方+U7最多能取多少个两两不等的正戛敦使得其中任童三个数之和都为素数解析:所有正整数按取模3可分为三类：30型、3+1型、30+2型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类否则，若三类数都有取到，设所取3型

8、数为3a,北+1型数为站+1,3+2型数为3。+2,则+（3+1）+（3c+2）=3（q+c+1）,不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次,我们容易知道，每类数最多只能取两个否则，若某一类3+7（/=0.12）型的数至少取到三个，设其中三个分别为3a+r33+r3e+/,则（3a+厂）+（35+厂）+（3。+/）=3+6+/）,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取2x2=4个数,才有可能满足题设条件.另一方而，设所取的四个数为1、7、5、11,即满足题设条件.综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8.设实数%3的和为M且|妊-2

9、引=|弓-2弓|=|弓-2引=斗冬辽-2加|=|知3-2汁求证：=血=昭=&2013=0解析:据条件知（勺一2）+（$2）+（-2q）+（冬13一2彳）=一（彳+$13）=，（1另一方而，令同一2勺|=a2-2a3=a3-2a4=-=a20l3-2a1=/n,则勺一2勺、勺一2色、勺一2坷.、013一2勺中每个数或为或为一人设其中有0个加，（2013約个一刃，则：（坷一2）+（-2勺）+（吗一2勺）+（色口一：勺*厶?+（2013-Z）x（-/）=（“一2013（2）由（1）、（2）知：（2才一2013）炖=0（3）而2-2013为奇数，不口J能为0,故加=0.于是=2$心=2冷,昭=2t74

10、,f72012=2,=2.从而知勺=22013即得=0同理可知：5=5=2013=0命题得证.9.对任童的6，求32cos6&一cos68-6cos加一15cos28的值.解析根据二倍角和三倍角公式知：32cos60一cos60一6cos40-15cos20=32cos60-(2cos236-1)-6(2cof2B-1)一15(2cos28-1)=32cos66-2(4cos36-3cos02-1-62(2cos30-l)2-1-15(2cos20-1)=32cos66(32cos6&一48cos46+18cos2&一1)-(48cos4&一48cos20+6)-(30cos26-15)=1010.已知有加个实数排列成初x幷阶数阵記作&，使得数阵中的毎一行从左到右都是递増的，即对任I丿mxn歳的7=1.23、刃，当丿2时,都有術“厉现将陽嗅的每一列原有的各数按照从上到下递増的顺序排列，形成一个新的“阶数阵，记作同嗅，即对任童的7=03厂、力,当4时，都有岛；/试判斷帝甲中每一行的个数的大小关JK,并说明理由.解析:数阵岛中每一行的斤个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵冷喚中每一行的刀个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意f=l、23-、-、”