2013年全国高中数学联赛(一试+二试)及答案解析

1、 2013年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明匕评阅试卷时.请依据本评分标准.填空题只设s分和o分两档，直他各题的评阅，请严幣按照本评分标准的评分档次给分，不要增加英他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确.在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10.小题5分为一个档次不要增加其他中间档次.一、填空题：木犬题共&小题，如小题官分，共64分.设集合且=0：1,3+集合B=x-xAr2-x2.则集會丑中所有元素的抑为，答案-5-解易知BC2.0f1,3”-1x2,3时t2x27r有2工貝:而当工=0,E时，2-x2=2

2、,打有2-jeA.I此，根据的定义可知$=N-3所以，集舍月中所有元素的和为-父在平而直角.坐折系疋y中，点貝在抛物线/=匕满足OAOB=-4F.迢拋物线的像点.则S畑-=,答案2.解点F坐标为(10)*设艮(忑，),3(X2,J2)*则X=牛，兀=+故-4=OAOB=轨+y2=*T：网十戸旳，R卩話(片旳+&)：=0，故TM=-8-氐遊=4|1)*(氷尸卜|旳|=討。冲収必I.在AABC中*己知smA=10sinC,cosJ=10cos5cosCn则tanJ的值为，答案解由于sinJcosJ=10(sinsitiCco&5cohC)=10cos(C)=10cosXh所5in4=llcosJt

3、故tan卫=LI,4.已知正三棱P-.4BC底面边长为1,高为应，则其内切球半径为. AIf为答案莎1a2-1a323a.-416f由此知从1,2,20中取5个互不相邻的数的选法与从l,2a-J6中取5个不同解如图，设球心0在面如C与面理BP内的射影分别为J7和疋，血中点为肮，内切球半径为小八栏武共勢尸，共线，加S即且解得=殳5.设口为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意工日Q1,有|/(力|兰1.则迢的最大值为答案?解易知心/一朋)冷=兀0)，W当2/(0)=/(1)=1,即仅=臼=土二时，ab=-.故廳的最大值为丄.2446.从1,2,.20中任取5个不同的数.栽中至少有两个是相邻数的

4、概率解设a1a2a3a40).如图所示，在虫北平面内点（见时的轨迹是W（t2）为圆心，后为半径的圆在arb0的部分，即点O与弧希的2J1反之，由符合皴件的8项数列级可唯一确定一个符合题设条件的9顼数列何*记符合条件的数列色J的个数为N.显然ijlr0.使得xnCT.用=1,2,，解曲心时，g斗等价干兀鼻如4+兀-14分对常数C=*,用数学归纳法证明*xC-2?=1.2n，汕用=1耳寸结论显然.成立，又jcsjq=C-22,对用二芥假设xtC-2hZ用则由式知Ai+（C-22+C-2?j_:i吨+旳心，所叹，由数学归纳法知*式成立.16分（本题满分20分）在平面直角坐标系兀0中，橢圆的方程为号十

5、普=1心0）,A、心分别为椭圆的左、右顶点，瓦、卫分别为椭圆的左、右焦点，尸为椭関上不同于占和岛的任意一点.若平面中两个点Q、尺满足的丄已纬丄瑕+冏丄邛，嘔_PF却试确定线段0宜的长度与A的大小关系，并给出证明.解令=歩,则期込0）.0）.爲Y0）,巧0）.设尸咏H）n。（召，”），尺（吃，乃），其中卡+書=1凡=0.由0川丄珥总血丄锂可知2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） 2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) 热04尸=(兀+a)(Jo专口)+阴儿=0t轴0局尸=(巧一毋(毛一巧+片兀=05分将、相减，得2口(延+羽)=0*即卫=一埼+将其代.入，得xj+a+JVb=0t1

6、0分根据冏丄PFRF2丄啓*冏理可得R环因此x-c-由于|yD|e(o;it故|工方其中答号成立的充分必要条件览侃|=苏即点观分F为Q士讥(本题满分20分)求所有的.疋实数对使得函数f(x)=ax-b足：对性意实数x,Jr有解已知条件可转化为；对任意实数兀y,有(64-Zt)+(?(x-F)；+方)&)“(!.先寻找S方所满足的區要条件.在式中令7=0,得b+(axb)(ax-+h)-b,即对任意藝数s有(1b、Eb(2b)Q.由于e?nO,故ox2可取到任意大的正值，因此必有1-B仝0,RP0&(ax1t)2T即对任意实数i有(aa2)X4abx2H-(2i&)0,F丽证明对满足的任意实数对

7、可以及任意实数兀八惡有成立.即A(x,y)=(a-at)一丹+(!+j2)-2axy+(场-b1)对任意兀尹取非负值.當实I-t在应立时tHa(l-b)Q,n-a20冉结合1a可得觥X,+!(1-+laxy+(2b-b)=(aai)y+labxy-|-(2bb)综上所述，所求的可实数对9）全体为0it0aL2a+bF対线段覇匕阿小满也证=F=F取连按尸HPFJffi校*弓圃炉甘别用更于点Cd盪证：EFCD-ACSD.2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） #2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) #2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） #2013年全国高中数学联赛试题(一试

8、+二式) #Pf2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） 2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) #证哺iilicAD.BC.CF.DE.|1XE=F=JB-从丽童5iigC_.诂到戸线门啲距离亠RF_、虫卡in3CE史吕刿直城CTF內帥禹玉_10舟同样ADsiaZADF=/制刑白边FD的曲离=2BDiikZBDF点EFJ右线尸D的护|負BF対-一方而內于ECE=BCP=ASDP=BDF.z_*C=ACF=IDF=alDF，战将I.纠岬克相电可待竺竺=冬fillACBDSCAD=ACBD.曲分查看原图.4P-BC=ACBD+ABCD一1=!l.4BCD=3ACBD.二、g题満分40好

9、）怡宦F榮数m枚列诃J定乂如IM硯=川+八赴迟丘M斫*严+门冊Mh2.），证明：fll列陽中肓止討姜项把汇住T-7丸PtF+0)+(+tfj)+-+(0+0=?f-S-Vi-（f?l十J7十昭十T）十（劭十M十码十F）十+|卫*_+拈十沽十十丫）=2(a+i)+込_r+“+”+10舟2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） #2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) #2013年全国高中数学联赛试题（一试+二式） 2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) #2-L所以去,1（卄町2务-产广叶1卄赳严卄汁曲尹=Z讥+vZ=(fl-IJ-2*J(w+r)+2*0；+r)=0i+i-bj

10、-2_tSu+v=24,乩中片肚卄筑整融會是iHLn=qi2.其中丿为満足Z-A-l（nuxl2）的枉就吋务尸严円.注靑到？皋奇戟左一I+q-11=卜一I=-1+(i-L)3=赵上一“=0mod2)用以.忑抱定GfFj数-2卜1肖无帘*卡，般利別怜讣巾育蹩羽鼻烦上去全平方数，帕廿三、（tH満分50分）一抚考试我有珂這试划.片牛学生參側，其中鸣处2为蛙定的整Ut.毎逋豊的得分腰琳是：若该厲怡育工牛学生设尙韬对.则毎牛答帖谨剧的学勺“扎总辞时的学生闵警莎m学生的启莎为其讯壇題的溥井查看原图总押一様耐学炮计从高対低井判为凫:一p:二和兼班亠礼的最人呵肚伉.科任意的#=1丄.1设葩*朋改荷再甘祥行片人

11、+则第上陽答对若有一兀人*由时付堪卿知進审一岳卜人在第*翩肉時利斗甘lint学生的得分之和购,iiwH_耳W力耳=5=工处一、JH工m-匸时-ili*4g却鸯为加一牛人也：习上道胆上至劭心杯.战呵耳一H10甘M.壻上听堪.丹+耳的JftAJft为血h-加四、（本題満分sojj比”.打,I的弋虹.y.山也w（2tr不植”螯住的整林普鴉它1.则収3t2Ma2*-31.显:然这轉甦沟不被筆2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) 2013年全国高中数学联赛试题(一试+二式) #査看原图除.君这历弋町倉仔炖陶组副总有一粗申肯2牛尸它帕的和为才*Mnw.105现在iSu的唏取朮牛数为-V7-X-2!.L2,F,.2叫因旳n冬圧2的爲故上iM啊t均苹厳口鹽除+20井替可辖班崎戴分硯两组*快捋毎一姐中注拿若干供数的和肉不能曲ft整隊不在第一粗，曲T(-l+I=o-：心敖荫牛T虽ifi在那二蛆ta(-l)+(-)+2=0.帔推除+故2左第一雄难而推由T在站二组.At归讷隈規匕占却在第一組.而2.厂於场在第二俎iMIS/*-Zt由于(一】)+-1出一即+十!*)*严=Q+故刃在厲趾臥而一泸在第二如故由敕学鬥第1庭可虬I.2.3-.f1在第一如-I-L