微积分08 微分方程

1、第一节 微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的一般概念例1 一曲线通过点 (1,2),且该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 一、引例解例2 设有一质量为m的物体，从空中某处，不计空气阻力而只受重力作用由静止状态自由降落.试求物体的运动规律(即物体在自由降落过程中，所经过的路程s与时间t的函数关系).解 二、微分方程的一般概念1.微分方程及微分方程的阶含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；(1)和(5)式均是微分方程. 微分方程中未知函数的导数的最

2、高阶数，称为微分方程的阶.微分方程(1)是一阶的，微分方程(5)是二阶的. 能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.2.微分方程的解、通解与特解不包含任意常数的解为微分方程特解. 如果微分方程的解中含任意常数,且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.3.微分方程的初值条件及其提法 用以确定微分方程解中任意常数的特定条件，称为微分方程的初值条件.初值条件的提法： 微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线，称为微分方程的积分曲线族.微分方程的某个特解的图形就是积分曲线族中满足给定初值条件的某一特定的积分曲线

3、.4.微分方程的解的几何意义例3解第二节一阶微分方程与可降阶的 高阶微分方程二、齐次型微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程四、可降阶的高阶微分方程如果能解出 ，那么如果一阶微分方程(2)的右端则方程(2)可以表示为一、可分离变量的微分方程的形式，则称此一阶微分方程为变量可分离的微分方程.例1解例2解例3解二、齐次型微分方程形如 求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程.设则故有的一阶微分方程 称为齐次微分方程.将（2）代入（1）得即分离变量，得两端积分便可求出通解， 再以代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.解令代入方程得或分离变量，得 或再把

4、回代，即得原方程的通解为两端积分，得例5 求下列微分方程的通解解原方程可变形为 令代入方程得分离变量得两端积分得 即故即得原方程的通解为再把回代形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项.为一阶线性非齐次方程三、阶线性微分方程例如，方程是一阶线性微分方程；而右端 ，因此它是一阶线性非齐次方程.它对应的齐次方程就是为一阶线性齐次方程.一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求的通解：分离变量后得而方程等，都不是线性方程.2.利用“常数变易法”求线性非齐次方程(1)的通解：设是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求

5、其对x的导数，得化简后，方程(2)的通解为其中C为任意常数.化简后，得将上式积分，得其中C为任意常数.把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为代入方程(1)中，得这是一阶线性非齐次微分方程.例1 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.故得原线性非齐次微分方程的通解为解法2 直接用通解公式(6).代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为例2解代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为例3解对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是一阶线性非齐次方程，对未知函数x

6、的一阶线性非齐次方程例4对于未知函数y，它不是线性方程，但是方程可改写为解的通解公式为方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述方程的通解为（一）y(n)=f(x)型的微分方程方程可改写为再积分一次，得依次积分n次，得方程(1)的含有n个任意常数的通解.四、可降阶的高阶微分方程例1解这是关于变量x和p的一阶微分方程，若能求出其通解，设为 ，即有微分方程代入方程(2)，得两端积分，得方程(2)的通解这是一阶线性非齐次方程，利用通解公式，可得例2解于是有再积分一次，得原方程的通解为这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得例3解这是一阶微分方程，积分一次，得所求特解为第三节 二阶常系数线性微分方程一

7、、二阶线性微分方程解的结构二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程./形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程一、二阶线性微分方程解的结构定理 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常数.(一)二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构证/为二阶常系数线性非齐次微分方程. 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任

8、何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证： 都是它的解.由定理11.1 知也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C，显然它不是所给方程的通解.问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解就必定是方程(3)的通解.定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于

9、该区间内的一切x ，有成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关.定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解.例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式它所对应的齐次方程为(二) 二阶常系数线性非齐次微分 方程解的性质与通解结构定理 设 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解， 是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，则是方程(1)的通解.齐次方程(2)的通解，所以有证例1解定理 设的特解，则 是微分方程的特解，其中

10、p，q是常数.分别是二阶常系数线性非齐次微分方程证二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法把 代入方程(3)，整理后得称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为于是都是方程(3)的解，且即 线性无关.因此方程(3)的通解为于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且取u=x，于是得方程(3)的另一个特解线性无关，方程(3)的通解为是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式再由定理11.1可知，函数也是方程(3)的解，且即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征

11、方程，并求出特征方程的两个根；2 .根据两个特征根的不同情况，按照公式(6)、(7)或(8)写出微分方程的通解.可使用下表:两个不相等的实根特征方程:微分方程:两个相等的实根一对共轭复根的两个根r1,r2的通解例3 求微分方程 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,例4解例5解三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法1. ，其中 是常数， 是x的一个m次多项式此时微分方程(1)成为可设方程(4)的特解为分三种情形讨论此式：(1)设 不是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 根，即 .设方程(4)的一个特解为 将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，得到含有未知系数 的(m+

12、1)个方程，由此定出(m+1)个未知系数 ，从而得到方程(4)的特解 . (2)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的 单根，即 .设方程(4)的一个特解为将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 得到方程(4)的特解 . (3)设 是方程(4)所对应的齐次方程(2)的特征方程的重根，即 .设方程(4)的一个特解为将 代入方程(4)，比较等式两端x的同次幂系数，定出(m+1)个未知系数 ,得到方程(4)的特解 . 小结：对于二阶常系数线性非齐次微分方程(4)设方程(4)的特解为Qm是与Pm同次的多项式，即k的取法为(1)当 不是对应齐次方程的特征根时

13、，取k=0,(3)当 是对应齐次方程的重特征根时，取k=2.(2)当 是对应齐次方程的单特征根时，取k=1,例2 求微分方程解，故得对应齐次方程的通解为解而 是特征方程的重根，取k=2.因此，设例3(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.(2)再求所给方程的一个特解y*.解例4此时，二阶常系数线性非齐次微分方程(1)成为方程(6)有如下形式的特解其中a，b为待定系数，k的取法如下： 例5解原方程的一个特解为(2)再求所给方程的一个特解y*.(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.例6解例7解二、二阶微分方程的应用 一、一阶微分方程的应用第四节 微分方程的应用例1解 一、一阶微分方程的应用举例例2解例3 把