八年级因式分解难题(附答案及解析)

1、时间：二0二一年七月二十九日05月21日数学(因式分解难题)2之蔡仲巾千创作时间：二0二一年七月二十九日一.填空题(共10小题)已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为.2.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(X-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x-2)(x-4)请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：.3.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是.4.分解因式：4x2-4x-3=.5.利用因式分解计算：2022+202X196+982=.6.ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2二ab+bc+ca,则ABC

2、的形状是.7.计算:12-22+32-42+52-62+-1002+1012=.&界说运算ab=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日2(-2)=3a*b=b*若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab若ab=0,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号).如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=.若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则b的值是.二.解答题(共20小题)已知n为整数,试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定

3、能被20整除.因式分解：4x2y-4xy+y.因式分解(1)a3-ab2(2)(x-y)2+4xy.14.先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若m2+2mn+2n26n+9=0,求m和n的值.解：tm2+2mn+2n26n+9=0/.m2+2mn+n2+n26n+9=0/.(m+rj)2+(n-3)2=0/.m+n=O,n-3=0/.m=-3,n=3问题：(1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求xy的值.已知ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问ABC是怎样形状的三角形？15.如果一个正整数能暗示为两个连续偶数的平方差那么称这个正整数

4、为“和谐数”.如4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.(1)36和这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为16.如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的年夜正方形的纸片.（1）如果现有小正方形1张,年夜正方形2张,长方形3张,请你将它们拼成一个年夜长方形（在图2虚线框中画出图形）,并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式.（2）已知小正方形与年夜正方形的面

5、积之和为169,长方形的周长为34,求长方形的面积.（3）现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接）,求可以拼成几多种边长分歧的正方形.17.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.用两种分歧的方法,计算图2中长方形的面积；由此,你可以得出的一个等式为：(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图；请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果,画出你的拼图18.已知a+b=1,ab二-1,设si二

6、a+b,s2=a2+b2,s3=a3+b3,sn二an+bn计算s2；(2)请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1,ab=1,所以s3=a3+b3=(a+b)(a2+b2)ab(a+b)=ixs2(1)=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成(2)中s3的计算结果再用你学到的方法计算s4(3)试写出sn2,sn1,sn三者之间的关系式；(4)根据(3)得出的结论,计算s6分解因式：4a(a-1)2-(1-a).阅读资料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求mn的值解：tm2-2mn+2n2-8n+16=0,二(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0/.(m-n)2+(n-4)2=

7、0,(m-n)2=0,(n-4)2=0,n=4,m=4.根据你的观察,探究下面的问题：(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求x-y的值.已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0,求厶ABC的最年夜边c的值.已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,则a-b+c=.仔细阅读下面例题,解答问题：例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.解：设另一个因式为(x+n),得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3nn+3=4m=3n解得：n二-7,m二-21另一个因式为（x-7

8、）,m的值为-21.问题：（1）若二次三项式x2-5x+6可分解为（x-2）（x+a）,则a=；（2）若二次三项式2x2+bx-5可分解为（2x-1）（x+5）,则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是（2x-3）,求另一个因式以及k的值.分解因式：（1）2x2-x；（2）16x2-1；（3）6xy2-9x2y-y3；（4）4+12（x-y）+9（x-y）2.已知a,b,c是三角形的三边,且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2）,试确定三角形的形状.24分解因式2x4-4x2y2+2y42a3-4a2b+2ab2.图是一个长为2m宽为2n的长方形

9、，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形.图中的阴影部份的面积为；观察图请你写出三个代数式(m+n2、(m-n)2、mn之间的等量关系是.若x+y=7,xy=10,则(x-y)2=.实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来暗示.如图,它暗示了.(5)试画出一个几何图形,使它的面积能暗示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n.2已知a、b、c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求2a+b+c的值.已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数时间：二O二一年七月二十九日a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=,求：这个长方体的体积(x2-4x)2-2(

10、x2-4x)-15.29阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是,共应用了次.若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)则需应用上述方法次,结果是.分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1n(n为正整数.30.对多项式x3-5x2+x+10,如果我们把x=2代入此多项式,发现多项式x3-5x2+x+10=0,这时可以判定多项式中有因式(x-2(注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0,则多项式含有因式(x-a,于时间：二O二一年

11、七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日是我们可以把多项式写成：x3-5x2+x+10二（x-2）（x2+mx+n）,（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法,用试根法分解多项式x3-2x2-13x-10的因式.05月21日数学（因式分解难题）2参考谜底与试题解析一.填空题（共10小题）1.（秋?望谟县期末）已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为160.【分析】首先提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.【解答】解：tx+y=10,xy=16,x2y+xy2=xy（x+y）=10 x16=160.故谜底为：160.【点评】此题主要

12、考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.2.（秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9);另一位同学因看错了常数项分解成2(X-2)(x-4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2(x-3)2【分析】根据多项式的乘法将2(x-1)(x-9)展开获得二次项、常数项;将2(x-2)(x-4)展开获得二次项、一次项从而获得原多项式,再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式【解答】解：T2(x-1)(x-9)=2x2-20X+18;2(x-2)(x-4)=2x2-12x+16;二原多项式为2x2-12X+18

13、.2x2-12x+18=2(x2-6x+9)=2(x-3)2【点评】根据毛病解法获得原多项式是解答本题的关键.二次三项式分解因式,看错了一次项系数,但二次项、常数项正确;看错了常数项,但二次项、一次项正确.(春？昌邑市期末)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是4.【分析】利用完全平方公式(a+b)2=(a-b)2+4ab、(a-b)2=(a+b)2-4ab计算即可.【解答】解：tx2+mx+4=(x士2)2,即x2+mx+4=x24x+4,m=4.故谜底为：士4.【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键.(秋?利川市期末)分解因式：4

14、x2-4x-3=(2x-3)(2x+1).【分析】ax2+bx+c(0)型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),进而得出谜底.【解答】解：4x2-4x-3=(2x-3)(2x+1).故谜底为：(2x-3)(2x+1).【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式,正确分解各项系数是解题关键5（春?东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202X196+982二90000.【分析】通过观察,

15、显然符合完全平方公式【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值6.（秋？浮梁县校级期末）ABC三边a,b,c满足a2+b2+c2二ab+bc+ca,则厶ABC的形状是等边三角形【分析】分析题目所给的式子,将等号两边均乘以2,再化简得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0,得出：a=b=c,即选出谜底【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,即a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,即(a-b)2+

16、(a-c)2+(b-c)2=0,解得：a=b=c,所以,ABC是等边三角形故谜底为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c,由三边相等判定厶ABC是等边三角形7(秋?鄂托克旗校级期末)计算：12-22+3242+52-62+-1002+1012=5151【分析】通过观察,原式酿成1+(32-22)+(5242)+(1012-1002),进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】解：12-22+32-42+52-62+-1002+1012=1+(32-22)+(52-42)+(1012-1002)=1+(3+2)+(5+4)+(7+6)+(101+10

17、0)=(1+101)X101+2=5151故谜底为：5151【点评】此题考查因式分解的实际运用,分组分解,利用平方差公式解决问题&(秋？乐至县期末)界说运算a*b=(1-a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论：2(-2)=3ab=b*若a+b=0,则(aa)+(bb)=2ab若ab=0,则a=1或b=0.其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号)【分析】根据题中的新界说计算获得结果,即可作出判断.【解答】解：2(-2)=(1-2)x(-2)=2,本选项毛病；ab=(1-a)b,ba=(1-b)a,故ab纷歧定即是ba,本选项毛病；若a+b=O,贝卩(a*a)+(b*b)=(1-a

18、)a+(1-b)b=a-a2+b-b2=-a2-b2=-2a2=2ab,本选项正确；若a*b=0,即(1-a)b=0,则a=1或b=0,本选项正确,其中正确的有故谜底为【点评】此题考查了整式的混合运算,以及有理数的混合运算,弄清题中的新界说是解本题的关键(春？张掖校级期末)如果1+a+a2+a3=0,代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0【分析】4项为一组,分成2组,再进一步分解因式求得谜底即可.【解答】解：T1+a+a2+a3=0,a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,=a(1+a+a2+a3)+a5(1+a+a2+a3),=0+0,=0.故谜底是：0【点评】此题考查

19、利用因式分解法求代数式的值,注意合理分组解决问题(春？昆山市期末)若多项式x2-6x-b可化为(x+a)2-1,则b的值是-8.【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可.【解答】解：vx2-6x-b=(x-3)2-9-b=(x+a)2-1,二a=-3,-9-b=-1,解得：a=-3,b=-8.故谜底为：-8.【点评】此题主要考查了配方法的应用,根据题意正确配方是解题关键.二.解答题(共20小题)已知n为整数,试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【分析】用平方差公式展开(n+7)2-(n-3)2,看因式中有没有20即可.时间：二O二一年七月二十九日【解答】解：(n+7)2-(n

20、-3)2=(n+7+n-3)(n+7-n+3)=20(n+2),(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.【点评】主要考查利用平方差公式分解因式公式：a2-b2=(a+b)(a-b).(秋?农安县校级期末)因式分解：4x2y-4xy+y.【分析】先提取公因式y,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.【解答】解：4x2y-4xy+y=y(4x2-4x+1)=y(2x-1)2.【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要完全,直到不能分解为止.(秋?成都校级期末)因式分解(1)a3-ab2时间：二O二一

21、年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日(2)(x-y)2+4xy.【分析】(1)原式提取a,再利用平方差公式分解即可；(2)原式利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b)；(2)原式=x2-2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=(x+y)2.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.(春?甘肃校级期末)先阅读下面的内容,再解决问题,例题：若m2+2mn+2n6n+9=0,求m和n的值.解：tm2+2mn+2n6n+9=0m2+2mn+n2+n6n+9=0(m+r)2+(

22、n-3)2=0m+n=O,n-3=0m=-3,n=3问题：时间：二O二一年七月二十九日时间：二0二一年七月二十九日若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求xy的值.已知ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,请问ABC是怎样形状的三角形？【分析】(1)首先把x2+2y2-2xy+4y+4=0,配方获得(x-y)2+(y+2)2=0,再根据非负数的性质获得x=y=-2,代入求得数值即可；(2)先把a2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,配方获得(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0,根据非负数的性质获得a=b=c=3,得出三角形的形状即可

23、.【解答】解：(1)vx2+2y2-2xy+4y+4=0二x2+y2-2xy+y2+4y+4=0,(x-y)2+(y+2)2=0 x=y=-2(2)va2+b2-6a-6b+18+|3-c|=0,a2-6a+9+b2-6b+9+|3-c|=0,(a-3)2+(b-3)2+|3-c|=0时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日a=b=c=3二三角形ABC是等边三角形.【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方,把已知条件变形为几个非负数的和的形式,然后利用非负数的性质获得几个等量关系,建立方程求得数值解决问题.(秋?太和县期末)如果一个正整数能暗示为两个连续偶数的平方差,那么称这个

24、正整数为“和谐数”.女口4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是和谐数.(1)36和这两个数是和谐数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500.【分析】(1)利用36=102-82；=5052-5032说明36是“和谐数”,不是“和谐数”；(2)设两个连续偶数为2n,2n+2(n为自然数),则“和谐数”二(2n+2)2-(2n)2,利用平方差公式展开获得(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1),然后利用整除性可

25、说明“和谐数”一定是4的倍数；介于1到200之间的所有“和谐数”中,最小的为：22-02=4,最年夜的为：502-482=196,将它们全部列出不难求出他们的和【解答】解：(1)36是“和谐数”,不是“和谐数”理由如下：36=102-82；=5052-5032；(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(n为自然数),(2k+2)2-(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)X2=4(2k+1),T4(2k+1)能被4整除，二“和谐数”一定是4的倍数；(3)介于1到200之间的所有“和谐数”之和,S=(22-02)+(42-22)+(62-42)+(502-482）=502=25

26、00故谜底是：2500【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形,从而到达使计算简化16（春?兴化市校级期末）如图1,有若干张边长为a的小正方形、长为b宽为a的长方形以及边长为b的年夜正方形的纸片（1）如果现有小正方形1张,年夜正方形2张,长方形3张,请你将它们拼成一个年夜长方形（在图2虚线框中画出图形）,并运用面积之间的关系,将多项式a2+3ab+2b2分解因式（2）已知小正方形与年夜正方形的面积之和为169,长方形的周长为34,求长方形的面积（3）现有三种纸片各8张,从其中取出若干张纸片,每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重

27、叠拼接）,求可以拼成几多种边长分歧的正方形【分析】（1）根据小正方形1张,年夜正方形2张,长方形3张,直接画出图形，利用图形分解因式即可；由长方形的周长为34,得出a+b=17,由题意可知：小正方形与年夜正方形的面积之和为a2+b2=169,将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值,从而可求得长方形的面积；设正方形的边长为(na+mb),其中(n、m为正整数)由完全平方公式可知：(na+mb)2=n2a2+2nmab+m2b2因为现有三种纸片各8张,n28,m28,2mnW8(n、m为正整数)从而可知n2,m2,从而可得出谜底.【解答】解：(1)如图：拼成边为(a+2b)和(a+b)的长方形

28、a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b);(2)v长方形的周长为34,a+b=17.T小正方形与年夜正方形的面积之和为169,a2+b2=169.将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172,整理得：a2+2ab+b2=289,2ab=289-169,ab=60.长方形的面积为60（3）设正方形的边长为（na+mb）,其中（n、m为正整数）正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b.2T现有三种纸片各8张，n2w8,m28,2mnw8(n、m为正整数）nW2,m0,c20,则b=-4,c=0（4分）所以a=4,（5分）所以2a+b+c=4（6分）【点评】本题既考查了

29、对因式分解方法的掌握,又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法27（春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c,且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=,求：这个长方体的体积【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可酿成（a+1）（b+1）（c+1）-1,就得（1+b）（c+1）（a+1）=,由于a、b、c均为正整数,所以(a+1)、(b+1)、(c+1)也为正整数，而只可分解为3X3X223,可得(a+1)、(b+1)、(c+1)的值分别为3、3、223,所以a、b、c值为2、2、222就可求出长方体体积abc了【解答】解：原式可化为：a+ab

30、+c+ac+ab+abc+b+1-1=,a(1+b)+c(1+b)+ac(1+b)+(1+b)-1=,(1+b)(a+c+ac)+(1+b)=,(1+b)(c+1+a+ac)=,(1+b)(c+1)(a+1)=,只能分解为3X3X223(a+1)、(b+1)、(c+1)也只能分别为3、3、223二a、b、c也只能分别为2、2、222二长方体的体积abc=888.【点评】本题考查了三次的分解因式,做题傍边用加减项的方法,使式子满足分解因式.(秋?普陀区校级期末)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15.【分析】把(x2-4x)看作一个整体，先把-15写成3X(-5),利用十字相乘法分解因式，再把

31、3写成(-1)X(-3),-5写成1X(-5),分别利用十字相乘法分解因式即可.【解答】解：(x2-4x)2-2(x2-4x)-15,=(x2-4x+3)(x2-4x-5),=(x-1)(x-3)(x+1)(x-5).【点评】本题考查了十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,检验考试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,本题需要进行屡次因式分解,分解因式一定要完全.(春?镇海区期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(1+x)=(1+x)3时间：二O二一年七月二十九日(1)上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)则需应用上述方法次,结果是(1+x)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)【分析】此题由特殊推广到一般,要善于观察思考,注意结果和指数之间的关系