分形与分形维数

1、TOC o 1-5 h z分类号0469UDC530学校代码10495学号0145023006武汉科技学院硕士学论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：指导教师：学科门类：专业：研究方向：完成日期：田志华田巨平教授工学机械设计及理论分形与多孔介质二零零七年四月WuhanUniversityofScienceandEngineeringM.S.DissertationThestudyoffractalgrowthindisordersystemByTIANZhi-huaDirectedbyProfessorTIANJu-pingApril2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导

2、师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签

3、名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿(DBM)、粘性指延(ViscousFingering)、渗流等模型。本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用MonteCarlo方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚(DLA)生长。根据“种子”设置的不同情况，采用DLA模型，通过计算机模拟获得了两种Sierpinski地毯在不同“种子”情况下DLA生

4、长的斑图结构，计算他们的分形维数，获得多重分形谱，并得到下列主要结论。“种子”为点的情况:我们发现不同空间中DLA生长的斑图结构有着差别：欧氏空间中DLA生长的斑图结构具有明显的空间对称性，而两种Sierpin-ski地毯中DLA生长的斑图结构都存在空间对称性破缺。不过由于II型地毯的空间结构要比I型地毯的空间结构更具有对称性，故两种Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构的对称性破缺程度不一样。II型地毯中DLA生长的斑图结构仍还具有类十字结构的特点，而I型地毯中DLA生长的斑图结构不存在类十字结构。I型地毯DLA生长的Aa(多重分形谱谱宽)要比II型Sierpinski地毯DLA生长

5、的Aa小很多，表明I型地毯DLA生长的质量分布要比II型地毯DLA生长的质量分布均匀；Af0(多重分形谱的最大、最小概率子集维数之差)意味着最大概率子集占据主导地位“种子”为线种的情况:虽然两种Sierpinski地毯的斑图结构有所不同但是他们的DLA生长的斑图结构具有相似性。II型地毯DLA生长的Aa要比I型地毯DLA生长的Aa小很多，表明II型地毯DLA生长的质量分布要比I型地毯DLA生长的质量分布均匀；Af0意味着最大概率子集占据主导地位。本文还采用孔洞位置随机化的方法构造的随机Sierpinski地毯，并给出随机Sierpinski地毯中DLA生长的斑图结构。另外对于逾渗集团,我给出了

6、在不同占据概率P下的逾渗集团DLA生长的斑图结构，以及他们的分形维数，并且得出随着占据概率P的不断增大，总体来说，逾渗集团DLA生长的维数D越来越大，有一种上升的趋势。最后获得了各向异性DLA集团的标度性质以及线种DLA集团的标度性质。关键词：分形；多重分形；Sierpinski地毯；MonteCarlo方法；逾渗研究类型：理论研究Subject:ThestudyoffractalgrowthindisordersystemSpecialty：MachinedesignandtheoriesName：Instructor：ABSTRACTFirstly,Wegeneralizethedevel

7、opmentoffractaltheory,thedefinitionoffractalsandfractionaldimension,andthephysicalmechanismofthefractaloccurrence.Then,theDiffusionLimitedAggregation(DLA),DielectricBreakdown(DBM),ViscousFingeringandPercolationmodelsareintroducedsimply.Andthen,WeconstructtwodifferentkindsofSierpinskicarpetsbymeansof

8、theMappingDilationMethodintheartical,andapplyMonteCarlomethodtostudyDiffusionLimitedAggregation(DLA)growthintwodifferentkindsofSierpinskicarpets.Basedonthedifferentsettingseed,patternstructuresaboutDLAgrowthintwodifferentkindsofSierpinskicarpetsareobtainedbycomputersimulation,counttheirfractaldimens

9、ion,obtaintheirmultifractalspectrumandmainconclusionsaresummarizedasfollow.Seedforpointofcircumstance:TheresearchdiscoversthatpatternstructuresaboutDLAgrowthindifferentkindsofspacehavedistinction:patternstructureaboutDLAgrowthinEuclideanspacehasobviousspacesymmetry,butpatternstructuresintwodifferent

10、kindsofSierpinskicarpetshavesymmetrybreak.HoweverwanttohassymmetrymorethanthespacestructureoftheItypecarpetbecauseofthespacestructureoftheIItypecarpet,intwokindsofSierpinskicarpetsDLAgrowthofpatternstructureofthesymmetrybreaktolackdegreedifferent.ThereissimilartocrossstructureinItypecarpet,butthecro

11、ssstructuredisappearinItypecarpet.Aa(thewidthofMultifractalSpectrum)inItypecarpetismuchsmallerthaninItypecarpet,theresultshowthatthepatterninItypecarpetbecomeslessirregularandlessnonuniform;Af0(thegapofmaximalprobabilitysubclassandminimalprobabilitysubclass)meansmaximalprobabilitysubclasstooccupyapr

12、edominanceposition.Seedforlineseedofcircumstance:AlthoughthepatternstructuresintwokindofSierpinskicarpetshavealittledifference,theyaresimilar.AainIItypecarpetismuchsmallerthaninItypecarpet,theresultshowthatthepatternstructureinIItypecarpetbecomeslessirregularandlessnonuniform;Af0meansgreatestprobabi

13、litysubclasstooccupyapredominanceposition.Bymeansofhole-positionrandomizingmethod,tobuildtherandomSierpinskicarpet,andobtainthepatternstructure,inthefourthchapter.Weintroducedtotheformationprocessofpercolationclusterbrieflyinthefifthchapter.WeaffordtopatternstructuresaboutDLAgrowthindifferentoccupie

14、dprobabilityPinpercolationcluster,counttheirfractaldimension,andobtainthefractaldimensionincreasewiththeoccupiedprobabilityPincrease.Finally,weobtainthescalingbehaviourofanisotropydiffusionDLAclusterandDLAclusterwithlinseed.Keywords：fractal;multifractal;Sierpinskicarpet;MonteCarlomethod;percolationT

15、hesis：Theoriesresearch目录 II目录绪论1引言1非欧氏几何学1分形的提出3本文的主要研究内容4分形与分形维数5分形原理概述5分形的定义5分形的两个重要特征6分形的分类6分形维数的定义7分形维数的测定9分形的实际应用14多重分形16多重分形的理论方法16本文采用的多重分形的计算理论18多重分形维数计算程序19本章小节193.产生分形的物理机制与生长模型20产生分形的物理机制20分形生长模型21分形生长的基本模型21分形生长的其他模型223.3本章小节244.Sierpinski地毯中有限扩散凝聚标度性质25DLA生长的MonteCarlo模拟25Sierpinski地毯的构

16、造27模拟方法29“种子”为一点的情况29“种子”为线种的情况29图形比较31两种“种子”情况下不同Sierpinski地毯DLA生长比较31分形维数31q,D图31qa,f(a)图33随机Sierpinski地毯35随机Sierpinski地毯的构造35模拟方法36本章小节37逾渗集团中的有限扩散凝聚的标度性质38逾渗集团的构造38模拟方法与维数38模拟方法38分形维数40本章小节40DLA集团的标度性质41各向异性扩散DLA集团的标度性质41各向异性扩散方程41TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark266 o Current Document 6.1.2各向异

17、性扩散DLA的分形维D42线种DLA集团的标度性质42模拟方法与分形维42 HYPERLINK l bookmark274 o Current Document q,D图、a,f(a)图与多重分形谱参数45q本章小节46总结与展望47附录A49附录B51参考文献52致谢55攻读硕士期间发表的论文561绪论 绪论引言“分形“学科是由法国数学家Mandelbrot提出并发展起来的一门新的数学分支，它被用来描述自然界的不规则以及杂乱无章的现象和行为。分形现象广泛存在于自然科学和社会科学的众多领域，分形几何的应用对自然科学和社会科学的发展产生了深远的影响1，正因为如此，人们说“分形是大自然的几何学”2

18、，“分形处处可见”3-4。为了描述分形的生长机理，许多模型5-9已经被提出,但是最基本的模型还是Witten和Sander提出的有限扩散凝聚（DLA）模型5。Jensen，Mathiesen和Procaccia研究了DLA的调和测度10，Ferreira，Martins和Vilela研究了一个改进型的DLA模型11，Goold，Somfai和Ball研究了三维空间中各向异性DLA凝聚12，Sander和Somfai研究了楔子几何学的DLA13，Alves和Ferreira分析了DLA模型和弹射模型的标度性质14。非欧氏几何学欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支，他是以规整几何图形为其

19、研究对象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种三角形以及正多边形等；空间中的正方体、长方体、正四面体等等另外一类就是曲线或曲面所组成的几何图形。这些点、直线、平面图形、空间图形的维数（欧氏维数）分别为0、1、2和3。这种维数只取整数，是拓扑学意义下的维数15，它反映的是为了确定一个点在空间的位置所需的独立坐标的数目或独立方向的数目16。对规整几何图形的几何测量是指对其长度（边长、周长等）、面积与体积的测量。而且对这些几何图形的测量是以其长度为基础的。在欧氏几何中对规整几何图形的测量，可以用下面的表达式来进行表示：长度=l面积A=al2体积V

20、=bl3式中a和b为常数，称为几何因子，与具体的几何图形的形状有关。当几何图形的周界曲线或曲面可以用解析函数给出时，几何量的计算可以用微积分给出。由此可见，微积分是以欧式几何为基础的，它所给出的几何量(长度、面积和体积)的量纲分别是长度单位的1，2和3次方，它们恰好与这些几何图形存在的空间的欧氏维数相一致，而且均为整数。以上所讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的。图1.1所示为科赫(Koch)曲线的形成过程，即取一单位长直线段(n=0),将其三等分，舍去中间的一段，而代之以底边在被舍去线段上的等边三角形的另两边，这样形成n=1级，即Koch曲线的生成元；接下

21、来对n=1级的曲线中的每一段实施如前的步骤，得到n=2级曲线，以此往复，便得到科赫曲线。科赫曲线属于自相似(similarity)的，但是其处处都不能微分，这类图形被称为非规整几何图形。此外，属于这一非规整几何图形的还有康托尔(Cantor)集，谢宾斯基(Sierpinski)集等，在非规整几何中，其基本均呈现出不光滑或不规则形状的集合(或无序系统)，只有极少数可以被当作个别的特例，可以利用一般理论进行研究，而在多数情况下，以欧氏几何和黎曼几何为代表的传统几何学对它们是无能为力的，因此研究人员将这些集称之为病态几何图形17，在很长一段时间里都认为它们是不值得研究的而不予以理睬。然而大自然或日常

22、生活中有很多这样的系统，它们的图形是如此的不规则和支离破碎，具有较高程度的复杂性，且拥有完全不同层次的复杂度。也就是说，这些不规则集比经典的几何图形能更好的反映许多自然现象，运用传统的方法就意味着回避了大自然中很多更为本质的东西，也就不能从更深的层次解释自然界的千变万化、瑰丽多彩，因此研究人员必须加紧对这些非欧氏几何图形的研究。研究非规整几何图形的几何学是非欧几里德几何学的一种。为了正确对非欧氏几何图形进行表述，必须从根本上考虑维数的问题，为此研究人员提出了不少关于维数的定义，相似维数就是其中最易理解且与分形维数有密切关系的一个。就以科赫曲线为例，当n=1是为产生科赫曲线的第一阶段。在这条曲线

23、中，每一线段的长度为1/3，线段的数目N=4，曲线的总长度L(l/3)=4/3。按这种方法一个阶段一个阶段地继续进行下去。在每一阶段中取代的线段按比例缩小的形状来代替被取代的线段。用D表示科赫曲线的相似维数，则有：$D=加4/In3=1.2628$即，对相似维数而言，其数值不一定是整数。提出相似维数是把经验维数扩大为非整数值的划时代的进展，但是由于其仅对具有严格的自相似性的有规非欧氏几何图形适用，因此其适用范围非常有限，不能适用于包括随机图形在内的任意图形。1.3分形的提出在自然界中，许多物体的形状和现象十分复杂：崎岖的山岳地带，纵横交错的江河流域，蜿蜒曲折的海岸线，夜空繁星的分布，奇怪形状的

24、积云，小至如尘粉的飘逸，分子与原子的无规运动的轨迹等等。关于这些形状和现象，欧氏几何毫无办法对它们作出合乎逻辑的解释。正如Mandelbrot所说的“云不是球，山岳不是锥体，海岸线不是圆，树皮不是光滑的，闪电也不是沿直线传播的”。自然界的大部分都不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而它们是处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，其存在着无数的非线性过程，在这个非线性的世界中，随机和复杂性是其主要的特征。但是同时，在这些极为复杂的现象背后，还存在着某些规律性。“分形”(fractal)一词是由哈佛大学曼德勃罗特(BenoitB.Mandelbrot)教授于1975年1,2首先提出的，是

25、为高度不规则的集合给出的命名，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体，这一名称是在参考拉丁文fractus(弄碎的)后创造的，其含意和fracture(断裂)和fraction(分数)均有联系，它的意思为“碎片的”和“不规则的”。分形几何是一门几何学，它研究的对象是欧氏空间的一类子集，这类子集结构较为复杂。分形是非线性科学中的一个前沿课题，它直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经过简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律，这是分形理论与线性近似处理方法本质上的区别，大量事实表明，自然界广泛存在着分形。到目前为止，分形已经被广泛应用于物理学18,19、化学20、生物学21、地质学22、气

26、象学23以及材料科学24等领域，分形几何己经成为非线性科学的重要组成部分。本文的主要研究内容本文的主要研究内容包括如下几个方面：在第二章，本文介绍了分形理论的概念、分形的特征、分形的分类、分维及其测量方法、分形的应用，多重分形的理论及其概念。在第三章，本文介绍了分形的物理机制及其分形的生长模型。在第四章，本文重点研究了在几种Sierpinski地毯中的DLA生长的斑图结构、分形维数及其多重分形谱。在第五章，本文重点研究了在不同概率下的逾渗集团中的DLA生长的斑图结构、分形维数。在第六章，本文重点研究了各向异性DLA的Laplace方程，线种DLA的标度性质。2分形与分形维数 分形与分形维数分形

27、原理概述分形的定义分形是指一类介于有序和无序，微观和宏观之间的中间状态。定义1：如果一个集合在欧氏空间中的Hausdorff维数Dh恒大于其拓扑维h数Dt，即DhDt则成该集合为分形集，简称为分形。这个定义是有Mandelbrot在1982年提出的，四年以后，他又提出了一个实用的定义：定义2：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。对于定义1而言，一方面在数学上是比较抽象的，不是很直观，另一方面这一定义又将一些明显的分形集排除在外了，因此，这一定义存在有很多明显的不足。对于定义2而言，突出了分形的“自相似性”，既通俗又直观，很受实验科学家的欢迎，但它并没有从数学的角度为分形下一个严密的定义，

28、而且没有说出分形应有的其它性质，如分形体无限可分为自相似部分等。因此，从这个角度而言，这个关于分形的定义也是不完善的。原则地讲，分形是一些简单空间上的一些“复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊的性质，首先它是所在空间的紧子集，并且具有下面列出的典型的几何性质17：分形具有精细的结构，即有任意小比例的细节。分形是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。分形通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。分形的“分形维数”一般大于它的拓扑维数。在大多数令人感兴趣的情形下，分形可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生。通常分形都具有“自然”外貌。对于各种不同的分形，有的可能同

29、时具有上述的全部性质，有的可能只具有上述条件中的大部分性质，而对某个性质出现例外，但这并不影响研究过程中把这个集合称为分形。类似地，Edgar在1990年给出了一个分形的粗略定义25，即：“分形集就是比经典几何考虑的集合更不规则的集合。这个集合无论被放大多少倍，越来越小的细节仍能看到”。要注意的一点是，自然界和各门类应用科学中涉及的分形，绝大部分都是近似的，当尺度缩小到分子的尺寸时，分形也就消失了，严格的分形只存在于理论研究之中。由此可见，分形的严格定义仍然是一个没有解决的问题，这一定义需要有足够的宽度以包括所有特殊情形，但又不能太宽以防止与其他领域的定义相混同。认识从实践开始，新的概念往往从

30、现象、经验中归纳出来，然而归纳法在逻辑推理上要得到准确的结论，通常需要附加一些条件，不似演绎法从简单的公理推出准确的结论。直到现在，也还有人在继续讨论分形的严格定义，甚至出现了一个新的学科分支：分形几何和分形理论命名学。分形的两个重要特征自相似性和标度不变性是分形的两个重要特性。一个系统的自相似性又称为扩展(dilation)对称性1,26,是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。如科赫曲线等。所谓标度不变性，又称之为伸缩对称性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特性。如天空中

31、的积雨云，将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化。分形的分类当系统的自相似性表现在几何结构和形态上时，称为几何分形。具体到分形几何学，其主要内容可以分为线性分形和非线性分形两部分，线性分形理论的基本观点是维数的变化是连续的，研究的对象具有自相似性和非规则性。线性分形又称为自相似分形，它研究在所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几J有规分形无规分形自仿射分形自反演分形自平方分形何图形的线性变换群下图形的性质，在一定范围内，由一个分形维数就可以加以描述。线性分形又可分为有规分形和无规分形两类。非线性分形研究的是在非均匀线性变换群或非线性变换群下几何图形的性质，它又可以分

32、为自仿射分形(非均匀线性变换群)、自反演分形(非线性变换群)和自平方分形(非线性变换群)。在线性分形中，与线性分形最接近的是自仿射分形(Self-affineFractal),仿射是非均匀的线性变换，而相似是均匀的线性变换，是仿射的特例。在分形几何学中,在用变换定义分形时,为与其他非均匀线性变换群和非线性变换群相区别,把均匀线性变换群作用下的分形自相似分形称为线性分形,其余的均称为非线性分形,可用下面的图例表示1：线性分形(均匀线性变换)分形几何非线性分形(非均匀线性变换群和非线性变换群)规则分形又称决定论的(deterministic)分形，它是按一定规则构造出的具有严格自相似性的分形，在现

33、代文献中谈论最多的规则分形有：Cantor集、Koch曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)集等。无规分形,它是在生长现象中和许多物理问题中产生的分形,其特点是不具有严格的自相似性,只是在统计意义上是自相似的。如渗流集团无规行走(RW)、自回避无规行走(SAW)、晶格动物(LatticeAnimals)。检验一个对象是否为无规分形,主要的办法是检验它的标度不变性。分形维数的定义表征自相似系统或结构的定量性质是分形维数,分形维数可用来度量一个对象的不规则性和碎裂程度。分形集的维数有多种多样的定义,都是根据需要引进的,理论上分形具备无穷多维数,常见的有以下几种。它们各自有不同的定义以及不同的应用

34、,究竟应该使用哪种维数定义要看系统的特性和问题的方便而定。(1)相似维数Ds设分形整体S是由N个非重迭的部分S,s2，sN组成，如果每一个部分si经过放大l/ri倍后可与S全等(Ov-vl,i=1,2，N)，并且ri=r，则相似维数为：D二InN/lnl0r)(2.1)s如果ri不全等，则定义：兰rDs=1(2.2)ii=1(2)豪斯道夫维数Dh人们常把Hausdorff维数是分数的物体称为分形，把此时的Dh值称为该分h形的分形维数，简称分维，也有人把该维数称之为分数维数。为了能定量地描述包括非整数值在内的维数，波恩大学数学家豪斯道夫均在1919年从测量的角度引进了Hausdorff维数的定义

35、。Hausdorff维数定量地描述一个点集规则或不规则的几何尺度，同时其整数部分反映出图形的空间规模。对动力系统而言，Hausdorff维数大体上表示独立变量的数目。Hausdorff维数的数学形式为：=lim5olnN(6)/ln(1/6)(2.3)式中的N(6)表示6覆盖UJ的个数。Dh又可称为覆盖维数和量规维数。信息维数Di设Pi表示分形集的元素属于覆盖Ui中的概率，则信息维数为：iiPlnP/(2.4)=lim60ii/i=1/ln6在等概率Pi=1/N(6)的情况下，信息维数等于Hausdorff维数，即Di=Dh。(4)关联维数Dgg若分形中某两点之间的距离为6，其关联函数为C(6

36、)，则关联维数为：=lim60lnC(6)/In106)(2.5)式中C(6)=-L迓H(6x-x)=1Lp2N2ijii,j=1i=1关联维数便于从实验中直接测定，应用很广，它是由P.Grass-berger和L.Procaccia在1983年提出的。(5)容量维数Dcc容量维数是由Kolmogorov推导的，以包覆作为基础。用半径为的d维球包覆其集合时，假定N()是球的个数的最小值，则容量维数Dc可定义为：limInN(s)/An1(s)(2.6)Dc虽常与Dh相一致,(6)谱维数D但有时也取不同的值。一般的关系是DcDh。ch在研究具有自相似分布的随机过程，如研究作随机行走的粒子的统计性

37、质，以及可用渗流模型来描述的多孔介质、高聚物凝胶等问题时，引入了谱维数D，又叫做分形子维数。斯达普尔顿等人测定了蛋白质的分形子维数D。分形子维数D定义为：P0CDf-1(2.7)这里3为蛋白质链振动频率，P(3)是振动的态密度。填充维数Dp1982年Tricot提出了填充维数，填充维数与Hausdorff维数有着类似之处Hausdorff维数是利用最少的小球覆盖去定义。而由半径小的互不相交的小球尽可能稠密的填充所定义的维数就称之为填充维数。分配维数DdDd=豐m“5字血8(2$)曲线的分配维数至少等于计盒维数(假定它们都存在)，在简单的自相似集的例子中，它们是相等的。英国海岸线的维数为1.2的

38、结论一般是利用分配维数算出的。Lyapunov维数Dl通常用Lyapunov维数来描述混沌吸引子的特征。它定义为：D=j-(k+九)/九(2.9)l1nj这里入1，入2，入n是Lyapunov指数，j是入1，入2，入n中从大到小排列时最小负值的下标号。分形维数的测定分形维数是分形结构的重要参量，理论工作者致力于分析各种分形结构和过程，以计算出表征它特征量的分维数；实验工作者则用实验方法测定分形结构和过程的分维数，借以和它的性能相关联，或进一步探讨分形结构形成的物理原因。由数学严格迭代产生的分形，可直接由定义出发确定其分形维数，然而对无规分形，则需要通过其他方法求出有关的量，对某些物质系统则还需

39、要通过实验手段来确定其分形特征和确定分形维数。虽然有多个详尽计算维数的特例，但至今还没有计算分形维数的系统化普适方法，实际的测定分维数的方法，大致可以分成如下五类1：改变观察尺度求维数；根据测度关系求维数；根据相关函数求维数；根据分布函数求维数；根据频谱求维数。改变观察尺度求维数这一方法是使用圆、球、线段和正方形、立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形，如使用长度为一定值r的线段集合近似海岸线那样的复杂曲线。先把曲线的一端作为起点，然后以此点为中心画一个半径为厂的圆，把此圆与曲线最初相交的点和起点用直线连结起来，再把此交点重新看作起点，如此重复同样的操作。用这一方法近似海岸线时，把测得的

40、线段总数记作N(r)。改变基准长度r,则N(r)也要改变。如果海岸线是笔直的，贝叽1N(r)x=r-i(210)r关系式成立。但这一表达式对形状复杂的曲线是不适用的。以图11所示的科赫曲线为例，我们知道，N(1/3)二4,N(1/3)2二42,，N(1/3)k二4k这一关系是满足的，也就是说，因(1/3)-log=4，可以得出：N(r)xr-lo34g(211)式中的指数log与Koch曲线的相似维数和Hausdorff维数都相同。同时，式(2.10)3中的r指数1也与直线的维数一致，因此，一般情况下，如果某曲线具有：N(r)xr-D(2.12)关系，即可称D为这一曲线的维数。对海岸线和随机行

41、走轨迹的分形维数的测定，多采用这一方法。将这一方法进行扩展，即可适用于二维和三维的情况，同时也适用于计算机的计算。其方法为:把平面或空间分割成边长为r的细胞，然后来数所要考虑的形状中所含的细胞数N(r)。以求算平面上点的分布的分形维数为例，首先用间隔为r的格子把平面分割成边长为厂的正方形，数出此平面上至少包含一个点的正方形的个数，并将此数记为N(r)，如果当r取不同的大小时，则式(2.12)成立，则D就是平面上点的分布的维数。这一方法不仅适用于曲线和点的分布，也适用于像河流这样有大量分岔的图形，是个非常有用的方法。根据测度关系求维数这一方法是通过利用分形具有非整数维数的测度来求解维数的。如果把

42、一个立方体每边长扩大到原来的2倍，则二维测度的表面积增加为22倍，三维测度的体积扩大到23倍。因此，如果把一个量的单位长度扩大到2倍，并假定它能成为具有2D的量，那么此量也可称之为D维数的。以Koch曲线为例，其具有非整数维数测度的量是曲线的长度，若把Koch曲线扩大3倍，曲线的长度将是原来的4二3iog倍，也就是说，Koch曲线具有log维的特性。3一般地，设长度为L,面积为S,体积为V时，若把L扩大以k倍，那么S1/2和V1/3也将扩大到k倍。若把具有D维测度的量假定为X,则下式成立：LxS1/2xV1/3xX1/d(2.13)下面以测定岛屿海岸线的分形维数为例，说明使用式(2.13)求取

43、维数的方法。假设岛屿的面积为S，海岸线长度为X。用很小的细格子把所考虑的平面分割成为小正方形的集合体，然后把那些即使包含一小点岛的正方形涂黑，把黑正方形的个数记为SN，把与白正方形相接的黑正方形的个数记为XN。如果单位正方形的大小足够小的话，则可认为SxS，XxX是成立的。对不同大小NN的岛屿可用同一方法求出其SN和XN，如果存在一个D值，它能够满足S1/2xX1/D，那么，D就是该岛屿海岸线的分形维数。按照这一方法测定时，NN选用的单位正方形越小，测量的误差就越小。这一方法存在的优点为不需要改变码尺长度，测量起来比较方便，且在理论分析中虽然假设了小岛均是自相似的，但在测量中对形状的差别并不太

44、敏感。这一方法存在的不足是，在理论上要求码尺必须很小，但这个“小”的标准却很难定义。根据相关函数求维数相关函数是最基本的统计量之一，从这一函数出发，也可以求出分形维数。如果把在空间随机分布的某量的坐标x处的密度记为P(x)，则相关函数C(r)可以用下式进行定义：C(r)=(2.14)上式中符号V表示平均。根据情况，平均可以是全体平均，也可以是空间平均。如果在各个方向分布均等，则只能用两点间的距离r=1rI的函数来表示相关函数。作为相关函数C(r)的函数型，虽然通常多把指数型e-r/r0和高斯型e-r2/2r2作为模式来考虑，但是由于它们都具有特征距离r而不能称之为分形。在rr区00间，相关的衰

45、减比在0vrr区间的衰减更为急剧，也就是说，当两点间距离0比r小时，这两点相互间强有力地影响着，但当两点距离比r大时，这两点之00间几乎相互毫无影响。与此相对应，当分布为分形时，相关函数表现为幂型。如果为幂型则不再存在有特征长度，相关也就总是以同样的比例衰减，此时存在关系式：C(r)gr-a(2.15)此时，距离如果增加2倍，相关性则为1/2a倍，这一关系不论距离的大小，任何时候都应该存在。这一幂指数a与分形维数D的关系为：a=d一D(2.16)式中d为欧氏空间维数。现在以节中所述的质量分布时分维数的求取为例对这一方法进行介绍。考虑质量在空间上为D维的分形分布，而且从某一点开始半径为r以内的总

46、质量M(r)与rD成比例。在半径r和r+Ar之间的球壳内的质量与rD-1Ar成比例，另外由于此球壳的体积与rd-1Ar成比例，所以其密度为p(x)grD-1/rd-1=rD-d，因此得出下式：C(r)=grD-d(2.17)相关函数经傅立叶变换后的波谱F(k)，在0d-D1时，成为下列的幂型：(2.18)F(k)二sdrcoskr)*C(r)gkd-D-10若利用此式，当波谱F(k)为式(2.18)的幂型时，从其幂指数就可以求得分形维数了。将月坑的直径记为将直径的分布几率照片上的月坑直径为1000公里，就会觉得这个月坑相当的的直径只有50厘米，也只会使人感到原来它是如此之小，不自然之感。月坑的

47、大小分布并没有特征长度，考虑这种分数的类型即可求得分形维数。r，另外把直径大于r的月坑存在的几率记为p(r)。如果根据分布函数求维数月亮表面上的各种不同大小的月坑，如果只看照片，其真实大小是完全看不出来的，如果说大，但是如果说它而并不会使人抱有布时，从其分布函密度记为p(s)，则有：(2.19)p(r)二Jsp(s)ds0能够变换照片和图想变换比例尺而分能够满足这一关系的比例尺这一现象，说明可与变换rT九r相对应。因此，若布类型不变，则对任意九0，关系式p(r)gp(九r)必须成立。式的r函数型，只限于幂型：p(r)xr-d(2.20)如果在某一观察尺度r时看不见小于r的月坑，那么能看得见月坑

48、的数目与p(r)成比例。再改变观察尺度，在看不见小于2r的月坑时，能看见的月坑数与p(2r)成比例，此数是观察尺度为r时的2-d倍。一般若把各种观察尺度(即不同大小的r)时看到的个数假定为N(r)，因为N(r)与p(r)成比例，这里出现的D则与改变观察尺度的分形维数的定义式(2.12)相一致。对于式(2.20)必须要注意的是，p(r)在rT0时是发散的。解决这个问题有两个办法。一个是设定r的下限，使p(0)二1，这样对其进行规整化。另一个是不特别设定下限，但是不单独采用p(r)，而是考虑两个以上p(r)的比。社会科学中所通常使用的Zipf法则，与分形有密切的关系。所谓Zipf法则，举例说明，就

49、是按人口的多少顺序给某个国家的各个城市编号，那么人口与编号的乘积将大约为一定值。这一法则不仅对城市人口，而且对不同国家的输入额以及语言学中单词频率等各个领域都适用。这种分布可以理解为是式(2.20)那种分布的一种特殊情况。若假定其是式(2.20)那种类型的分布，则集团的大小r及其顺序k之间可有下述关系：rxk-1/D(2.21)在社会科学中常根据上式把量的大小的对数作纵轴，顺序的对数作横轴，在图上画出各数据点，此图的斜率即表示1/D。根据频谱求维数根据观测对空间或时间的随机变量的统计性质进行调查时，往往可以较简单地得到与波数变化相对应的频谱。若把变动变换为电信号，以后只通过滤波器就能得到与功率

50、谱S(f)成比例的量。某变动是否为分形，如果是，它的分形维数是多少，类似这样的问题根据频谱的研究就能阐明。从频谱的观点来看，所谓改变观察尺度就是改变截止频率f。如果说某变c动是分形，那么即使变换截止频率也不会改变频谱的形状。也就是说，即使进行观测尺度的变换，f7波谱形状也不会改变。具有这种性质的频谱S(f)只限于下述幂型：S(f)xf-0(2.22)若仍将分形维数记为D,则此幂的指数0与分形维数的关系为：0=5-2D(2.23)当考虑地形和固体表面等的曲线时，可作如下的扩展。将用某平面去切割曲面时所得到的断面图的频谱设定为S(f)。以地形为例，可以用直线把两点之间连接起来，若把沿此线高低变动的

51、频谱假定为S(f)，地表的分形维数D(2D0。从(2.25)可以看出，当0a1,000 xt0,有p(x)t0；当a=1,p(x)在整个区间是规则的和解析的。由此我们0称p(x)具有在x=0点的a型奇异性。如果把单位间隔分成长度为l的小区间,0则这些小区间的数目为/-1。p(x)在第i区间的积分为：P(/)=J”p(x)dx(i-1)lp(x)在包含奇异性的第一个区间上的积分为：P(/)=P(/)=J1p(x)dx=/a0Ts0而在剩余的(l-1-1)个区间上，由于分布函数的规律性，每个区间的积分值为：P(l)lih1我们现在构造搜索函数或划分函数：x(q,l)二P(l)qii=1来搜索奇异性

52、。容易看出，在小的l值下，这个函数具有l的幂律关系，即x(q,l)沁lT(q)(2.26)事实上，包含奇异性的区间所作出的贡献为x(q，l)匕lqa0(2.27)而在其它数值下所作的正常贡献为lqx(q,l)=lq-1(2.28)Nl现在的问主要问题是，对于小l的，式(2.27)和式(2.28)哪一部分对x(q,l)起主导作用。显然，在(2.27)和(2.28)式的两个标度指数中最小的一个将对x(q,l)做主要贡献。即t(q)=minqa,(q1)(2.29)0我们把上面的描述广义化。如果S是分形子集S(这里a是标度指数或奇a异值)的值，即：S=Saa则我们可以说多重分形实际是由集合S支撑的。

53、所以一个多重分形集S是由所有偶对：(2.30)a,f(a)所定义。这里f()为连续函数，它反映了a在某个子集上取值的次数，即能支撑指数a的子集的分形维数。描述多重分形的另一种方法是采用广义维数D进q行计算分析。本文采用的分形多重谱的计算理论基于盒子计数法的概率测度的计算29由盒计数法进行概率测度的计算如下：(2.31)p(i)=yN-1工Nii式中：P(1)表示分形体生长界面在小区域(i)的生长概率，N表示在小区域(i)ii的粒子数，YN表示生长粒子的总数。ii概率测度P(1)的两个标度指数及物理意义i分形理论指出，在无标度的自相似区域内，概率测度P(1)存在着如下形式i的标度关系：(2.32

54、)P(1)x1aii式中a是反映质量生长非均匀分布程度的一个奇异指数，与所在的子集有关。i可以看到a的取值与所观察的尺度为1方格在分形图像上的实际位置有关，且ia是有限的，即在分形图形上，对任一尺度1，总存在a和a使得imaxminaea,a。minmax若把分形图像上具有相同奇异指数的a标识的盒子数记为N(1)，则在无标iaiN(1)=1-f(ai)ai此处f(a)为用奇异性标度指数a标识的分形子集的维数。由于a可以取ii(2.33)ia,aminmax由一系列的奇异性具有一个确定的分性质的维数谱，简配分函数与配分函数的标度指数度的自相似区域也存在着如下标度关系：中的无穷多个值，故f(a)通

55、常为一光滑的单峰函数。多重分形正是i标度指数为a的集合相互交织组合而成的，其中每一个子集i维f(a)，不同的a对应的f(a)便构成了一个刻划多重分形iii称多重分形谱。(2.34)定义多重分形系统的配分函数X(q,l)为：X(q,l)=工P(l)q=lT(q)式中T(q)为质量指数。由T(q)定义广义分形维D,qT(q)InX(q,l)(q-1)Inl(lT0)q=0时D对应简单D。如果体系属于多重分形时，由q0推导出a，q，t(q)和f(a)之间满足的关系为：T(q)=aq-f(a)由(2.35)、(2.36)式得：f(a)=qa-D(q-1)q(2.35)(2.34)、(2.35)式可(2

56、.36)(2.37)其中a=d(q)dq多重分形维数计算程序广义维数D和多重分形谱a,f(a)的Matlab计算程序分别见附录A和附录qB。本章小结叙述了分形理论的概念、分形的特征、分形的分类、分维及其测量方法、分形的应用。介绍了多重分形的理论、概念，及其a,f(a)与q,D之间的转换关系。q给出广义维数D、多重分形谱的Matlab计算程序。q3产生分形的物理机制与生长模型 产生分形的物理机制与生长模型产生分形的物理机制现在的自然界是从无到有产生和逐步发展起来的、从混沌到有序的组织。混沌论和分形论产生以来，人们研究的主要对象从平衡态过程转向认识非平衡态过程，从封闭系统转向认识开放系统，从守恒系

57、统转向认识耗散系统，非线性系统、耗散系统与随机系统成为人们最感兴趣的前沿研究领域之一。如突变论、协同学、耗散结构论以及负嫡论等就是从不同的学科角度进行研究所获得的成果28-32。1969年Prigogine把非平衡相变中产生的有序和结构概括为“耗散结构”，它一般具有以下四个特点：耗散结构发生在“开放系统”中，它必定与外界发生能量或物质的交换只有当控制参数(流速，温差等)达到某一“闭值”时，它才突然出现；它具有时空结构，对称性低于达到阀值前的状态；耗散结构虽是前一状态不稳定的产物，但是一旦产生，就具有相当的稳定性，不会被任何小扰动所破坏。这四个特点中只有第一个特点才是耗散结构所特有的，而该开放系

58、统必然是个耗散系统。一般认为非线性、随机性、以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件。非线性是指运动方程含有非线性项，状态演化(相空间轨迹)发生分支，是混沌的根本原因:随机性可以分为两大类，即噪声热运动和混沌，它们反映了系统的内在随机性。可以证明，随机系统并不是完全无序的；耗散性可以用一个表达式来表述，即dE/dts、0(3.1)0式中AX(t)二X(t)-X，X=1/TITX(t)dt0没有周期性。从耗散系统中稳定解与无规运动的差别和奇异吸引子的特征可以看出，奇异吸引子的产生必须以系统发生失稳为前提，如在相变和临界现象中的对称性破缺等，也就是说，耗散系统的非稳定性条件或者远离平衡条件有可能成为

59、产生奇异吸引子(即产生分形结构)的充分条件。3.2分形生长模型3.2.1分形生长的基本模型随着对分形生长研究的逐步深入，人们提出了各种动力学生长模型，它们基本上可以分成三类：扩散置限凝聚模型(DiffusionLimitedAggregation)简称为DLA模型，也被称作为CCA(Cluster-ClusterAggregation)模型；弹射凝聚模型(BallisticAggregation)，简称为BA模型；反应控制凝聚模型(ReactionLimitedAggregation)，简称为RLA模型。这三类模型中的每一种又分成两部分，单体(Monomer)凝聚和集团(Cluster)凝聚。

60、在DLA模型中，单体凝聚称之为WittenSander模型5，集团凝聚称之为扩散置限集团凝聚模型(DiffusionLimitedClusterAggregation)，简称为DLCA模型。在BA模型中，单体凝聚称之为Vold模型，集团凝聚称之为Sutherland模型。在RLA模型中，单体凝聚称之为Eden模型，而集团凝聚称之为反应控制集团凝聚模型(ReactionLimitedClusterAggregation)，简称为RLCA模型。图3.1显示了上述三类模型的凝聚体在二维平面上的示意图。这个图是P.Meakin用计算机模拟得到的，其中列出的分形维数D是在三维空间中得到的分形维数值。为了