小波分析的基本理论

1、小波分析的基本理论及其应用刘九芬 2005.3前言小波分析就是对小波基的存在性、构造与性质的研究。 称为小波（描述性语言）：“小”指支撑集 比较“小”； “波”指波动性（正负相间）小波分析及其应用是一门新学科。它是Fourier分析与信号处理理论发展到一定阶段的产物。小波分析的诞生虽与本世纪前半叶的某些数学发展，例如Haar分析与(1938)Littlewood Paley分析有关，但直接地，却只能追溯到七十年代，那个时代， A. Caldern(1975)表示定理的发现与对Hardy空间的原子分解与无条件基的大量研究为小波分析的诞生作了理论上的准备。1982年，J. Strmberg首先构造

2、出指数衰减并且属于Ck（k任意有限）的小波函数（由它构造出的小波基被称为历史上第一个小波基），但它并没有引起当时人们的注意。八十年代初许多搞信号分析的工程师们也为小波分析的诞生做出了积极的贡献。例如： J. Morlet(1984)在处理地震信号时就使用了小波变换。在影像地震学中，Morlet知道：在探测高频时假如送到地下的可调脉冲波持续时间太长，便不能用来分辨密聚的地层结构。因此，Morlet认为不能始终发射相同波长的波，在探测高频时应发送更短的波，这种由单个函数的伸缩得到的波叫小波，最早使用了小波这一名称。1986年Y. Meyer偶然地构造出了第一个具有无限光滑性并且频谱有限的现在称之为

3、Meyer基的真正的小波基，以及随后不久S. Mallat与Y. Meyer建立了构造小波基的通用方法 - 多尺度分析以后，小波分析才形成为一门科学。小波分析的出现不仅为分析数学的研究提供了有力工具，而且为信号分析与处理理论的发展树立了一块新的里程碑。它涉及面之宽广，影响之深远，发展之迅速都是空前的。小波分析不仅已经应用到图象纹理分析、图象编码、计算机视觉、语音识别、语音合成、语音编码等与信号处理有关的大部分工程领域，而且在调和分析、微分方程数值解、随机过程、量子场论等理论学科也得到了广泛应用，其影响正迅速地向其他学科漫延。Fourier 分析Fourier分析包括Fourier变换和Four

4、ier级数，是以纯粹数学与应用数学分析为基础建立的学科。该分析方法在科学与技术的所有领域中不仅是十分重要的学科，而且Fourier变换和Fourier级数还具有重要的物理解释。另外， Fourier级数的计算方面也是特别有吸引力的，主要是因为级数的正交性和只用两个函数：sinx与cosx的简单表示性。经典的Fourier分析指出，周期平方可积函数可以表示成Fourier级数。 (1)其中 被称为的Fourier系数，可如下求得： (2)类似地，认为将函数的周期扩展到无穷大，对 其Fourier变换为： (3)其Fourier逆变换为： （4）式中 称为频率。实际应用中的信号都是时间的函数，因此

5、，Fourier分析也称为时（间域）- 频（率域）分析。虽然Fourier分析有众多的优点，但也有不可忽视的局限性。1）Fourier分析的两个组成部分Fourier级数和Fourier变换基本上不相关。2）Fourier分析不能作局部化分析，由公式（4）可以看出， 在任何有限频段上信息，不能确定f (x)任何小范围内的值，反之由公式（3）可以看出f (x)的任何有限时域的值，也不能确定 的 任何小范围内的值。究其原因:由于 的支集为整个实轴。 因此， Fourier分析面临着时域与频域局部化的基本矛盾。然而在很多非平稳信号分析和实时信号处理的应用中，我们所关心的是信号局部范围内的特征。例如：

6、对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；边缘检测关心信号突变的位置。Gabor 变换Fourier变换的缺点使得FT在分析信号的瞬时特性方面显得软弱无力。Gabor 注意到了FT的这一不足，在1946年提出了信号的时频局部化分析方法 - Gabor 变换，后来发展成为短时Fourier变换（STFT）或加窗Fourier变换。STFT引入一个窗口函数，它是在一有限区间（称为窗口）外恒等于零或迅速衰减为零的光滑函数，这个有限区间的位置随一个参数t0而变，用 去乘所要研究的函数（相当于在t0附近开了一个“窗口”），然后对它作Fourier变换，即： 其中 。称为 f(x)关于窗口函数

7、 的STFT。（大致反映f(x)在时间窗的局部信息）(时频联姻)在统计意义下，定义其时 - 频窗中心为：又定义其时 - 频窗半径为： 则其时 - 频窗大小为： 图 时-频盒（Heisenberg长方形）只要适当地选择窗口函数，就可以通过信号的加窗Fourier变换获得在2 时间区域内的信息；另一方面，一旦窗口函数取定，其窗口大小也随之确定，其时 - 频窗的大小和形状都就一定了，时间、频率分辨率也随之确定。Heisenburg 测不准定理告诉我们，无论是什么样的窗函数，时窗的宽度与频窗的宽度之积不小于 。因此当选定一窗函数，其频宽对应于某一频段。当窗滑动时，同样大小的时频窗同时用于高频和低频信号

8、。这远远不能满足非平稳信号分析或突变信号处理的要求。 连续（积分）小波变换在一般信号中，总是包含各种不同的频率成分。由于频率与每单位时间的周期数成正比，更好的分析手段是在频率高时，选一个窄时间窗提高时间分辨率，以分辨信号的高频细节；而选一个宽的时间窗更充分地分析信号的低频特性。显然，STFT不适合分析同时具有很高频和很低频成分的信号。为满足一般信号的时频分析要求，有必要寻找一种可调时频窗的分析方法。小波变换正具有这种特性。连续（积分）小波变换 是小波:对函数伸缩及平移后可得：函数在尺度a、位置b的小波变换定义为如下内积 积分小波变换提供的时间窗和频率窗分别为：该时频窗的特点：由于时间窗宽度为2

9、 ，因此，若以/a作为频率变量，当检测高频现象时（小的a），时间窗会自动变窄，提供分辨率高的时间信息；对于低频信息（大的a）,时间窗会自动变宽。在IWT中与频率有关的因子a在小波分析中称为尺度因子。小波变换具有时频局部化特性，究其原因是基函数 的支撑与a有关。当a小时（高频），支撑集小；反之，支撑集大。而STFT的所有基函数 具有与原始窗函数相同的支撑宽度。就是因为基函数的这些特点决定了STFT和IWT各自的分析能力。其中基函数支撑集的大小决定了其时间分辨率的大小。 图 小波 和 的时-频盒。当尺度减小时，时间支撑减小然而频率支集增加。小波级数与小波变换法国地理学家Morlet和数学家Gros

10、smann证明了L2空间中的任意函数都可以由它按一组称为小波函数的分解来表征。下式 f 的级数表示称为小波级数。定义 (DWT)因此， f 的第（ j , k )个小波系数由 f 的积分小波变换在具有二进膨胀在小波分析发展初期，如何构造空间 L2（Rn）的 一组小波基是一件相当困难的事情(构造函数)。直到八十年代后期，人们 才发现了小波构造的一种统一的定式,并且从理论上已经证明，几乎所有“有用”（具有适当光滑性）的小波基都可从这种定式构造出来- 这就是多尺度分析(MRA ,又称多分辨率分析)。与此同时，多尺度分析的数学与物理意义，已远不只是一种小波构造的“辅助”工具，它本身有与小波同样重要的内

11、涵。MRA的思想来自于计算机视觉理论。从机器视觉的角度而言，单纯从灰度信息理解一幅图象中的物体是很困难的，更重要的是图象中灰度的局部变化。为了能够较好地理解一个物体，刻划这种局部变化的尺度应该与物体的大小适配。然而在一般的图象中，需要理解的各种结构拥有不同的大小，因此不可能预先定义一个最佳的分辨率来描述它们。多尺度分析(MRA)为解决这一难题，在计算机视觉中采用了不同的分辨率下处理图象中不同信息的方法，将图象在各种分辨率下的细节提取出来，得到一个拥有不同分辨率rj的图象细节序列。其中rj分辨率时图象细节定义为：在多分辨率rj下对图象的逼近和在分辨率rj-1下的对图象的逼近之差。这种多分辨率的表

12、示提供了一种图象信息简单的分层描述，在不同的分辨率下，图象的细节刻画了不同尺度的物理结构，在粗分辨率时，这些细节表示了大的结构信息，提供了图象的“上下文”描述，因此，很自然地应该先分析这些信息然后逐渐地增加分析精度。这种由粗到细的分析过程已经广泛地应用在立体视觉匹配和模板匹配中，并且表明与人眼的低级视觉处理是很相似的。Mallat对信号的逼近和细节的抽取进行了深入的研究，发现在不同分辨率下对信号的逼近可以通过对L2（Rn）中一稠密空间序列的投影来实现，而且得到的信号细节刚好是按一小波基的展开。由此出发，他与Meyer一起建立了小波构造的一个统一的框架 - MRA。多尺度分析是在L2（Rn）函数

13、空间内，将函数 f 描述成一系列越来越精细近似函数的极限。这些近似是在不同尺度下得到的，故有多尺度分析的名称。我们先直观谈及小波与多尺度分析：我们的目的是构造小波函数，使得 成为L2（Rn）的一组规范正交基。这个函数系有两个下标，k将函数作平移，j 将函数作拉伸或挤压。属于同一个伸缩因子 j 的函数 具有相同的频率带宽：这样我们可以将L2（Rn）空间作频率分层，记： 那么 构成Wj的规范正交基， 彼此正交，且上式中，从左到右， Wj所表示的函数集的频率愈来愈高。如果记则Vj 是低频率函数集，满足如下性质：Vj Vj+1 , jZ;closL2(R)(Vj )=L2(R), Vj=0; 并且 。

14、这样 可以等价地由来刻划。前者将空间L2(Rn)分成彼此相邻的“同心环层”，后者如同一列不断包含的“同心球”，不断张大，最后充满整个空间L2(Rn)。现在的问题是，既然V0是频率在某个界以下的函数集，它能不能由某个低频函数 (x)的平移张成。如果有，我们就可以由条件：倒求小波 。而求 ，由 会得到所谓的二尺度方程：这样，问题就变得具体了。这个构造小波的框架就是著名的MRA。VjL2(R)Mallat算法S. Mallat 在MRA理论的基础上，提出了用子带结构实现离散小波变换的算法，统一了子带滤波器与小波变换的计算。这一算法在小波分析中的地位相当于Fourier分析中的FFT，奠定了DWT在信

15、号处理中的应用基础。 Let (x)=2 hk(2x-k), (x)=2 gk(2x-k),Vj+1=Vj Wj, Pj and Qj are the orthogonalprojectors from L2(R) to Vj and Wj respectively.For f Vj , DenotePj f(x)=c j,k j,k(x),Qj f(x)=d j,k j,k(x),Then we have S. Mallats algorithm as follows:Mallat分解算法 c j+1,kc j,kc j-1,k d j+1,k d j,k d j-1,kMallat重构算法 c j-1,kc j,kc j+1,k d j-1,k d j,k d j+1,k 二维离散小波变换如何将一维的滤波器推广到二维情形:将一维小波变换推广到二维通常有两种方式。比较简单的方式称为可分离的二维小波分解，即在水平和竖直方向各自独立地进行一次一维小波变换。图2给出了示意图（这里L表示低通滤波器，H表示高通滤波器）。这种方式被认为符合人体视觉系统特性，且计算量较小，因此在小波图象压缩中较为常用。公式： 二维信号 ，设图: 图象小波分解为简单起见，下面仅讨论图象经金字塔式分解后的性质。信号的小波变换将频谱按倍频程分割，小波变换的结果是原始信号在一系列倍频程划