湘教版数学八上2.2.3定理与证明 教案

1、第2章三角形2 定义与命题第3课时 定理与证明教学目标1.知道证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式. 2.掌握反证法证明的基本步骤和格式.教学重难点重点：证明的书写格式和用反证法的证明难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.教学过程导入新课要说明一个命题是正确的，无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性.要确定命题是真命题，需要通过推理的方法加以证明.探究新知一、命题的证明问题：如何证明与图形有关的命题？证明一个命题的正确性要分为几个步骤？学生思考交流，学生代表回答，其他同学补充，教师引导得出结论.要证明一个命题的正确性要分为三步：第一步，分析命题的条件和结论；第二步，根据命

2、题画出图形，结合图形，根据条件写出已知，根据结论写出求证；第三步，书写证明过程.命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.教师：该命题是真命题还是假命题？学生抢答：真命题.图1教师：你能将该命题所叙述的内容用图形语言表达出来吗？学生画出图1.教师：这个命题的条件和结论分别是什么呢？学生回答：条件：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.教师：你能结合图形用几何语言表述命题的条件和结论吗？学生回答：在同一平面内，若bc，ab，则ac.教师：请同学们思考如何利用已经学过的定义、定理来证明这个结论呢？已知：在同

3、一平面内，bc，ab.求证：ac.证明：如图1， ab（已知）， 190（垂直的定义）.又 bc（已知）， 12（两直线平行，同位角相等）. 2190（等量代换）. ac（垂直的定义）.图2例1 已知：如图2，在ABC中，BC，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分DAC.求证：AEBC. 证明： DACB+C（三角形外角定理），BC（已知）， DAC2B（等式的性质）.又 AE平分DAC（已知）， DAC2DAE（角平分线的定义）， DAEB（等量代换）. AEBC（同位角相等，两直线平行）.二、反证法问题：当直接证明一个命题为真有困难时，该如何解决？例2已知：A，B，C是ABC的内角.求证

4、：A，B，C中至少有一个角大于或等于60.师生活动：老师引导分析，学生交流尝试回答解题思路.这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明：假设A，B，C中没有一个角大于或等于60，即A60，B60，C60，则A+B+C180.这与“三角形的内角和等于180”矛盾，所以假设不正确.因此，A，B，C中至少有一个角大于或等于60.师：通过上面例题的证明，归纳像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为

5、反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.应用反证法的情形：（1） 直接证明困难;（2） 直接证明需分成很多情况进行讨论;（3） 结论为“至少”“至多”“有无穷多个” 的一类命题； （4） 结论为 “唯一”类命题.用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：（1）与原命题的条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；（4）与客观事实矛盾.课堂练习1.如图3所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分AOB和BOC.求证：OEOF.2.求证：直角三角形的两个锐角互余图33.求证：ABC中不能有两个钝角参考答案1.证明： OE和OF分别平分AOB和BOC， EOBAOB，BOFBOC.又AOBBOC180，EOBBOF（AOBBOC）18090，即EOF90， OEOF.2.已知：如图4所示，在ABC中，C90.求证：A与B互余证明：ABC180（三角形内角和等于180），图4又C90，AB180C90.A与B互余3.证明：假设ABC中能有两个钝角，即A90，B90，C90，所以ABC180，与三角形的内角和为180矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即ABC中不能有两个钝角课堂小结布置作业教材第58页 练习 习题2.2第6，7，8，9题板书设计2 .2命题与