数学解题方法谈3：二次根式的运算技巧

1、数学解题方法谈3:二次根式的运算技巧a (a0)二次根式中：(1)、a (a 0)(2) a2=|a|=0 (a=0)-a (a0)、巧用乘法公式： 例 i、计算：(1)(1 +也+后)(1 + 镜-响(1 - + 3)( -1 +V2+V3)(2) ( + V3-V6)2-(/2-V/3+V6)2解：(1)原式=(1 +V2) 2-h/3)2 (1 -V2)2 +(V3)2 =2 r2 2也 =8(2)原式=(/+V3T6)+ (血血+胡)N2+V3&)(/2-3+, b0,且ab，化简2a不商丁丁一反布3(Va) 2(Ya Jb)(a +ab + b) 正 + 而(退一册)斛：原式=(2+

2、倔 .0, y0原式;而太F+vx（x）=毛+毛=西. , x= 3+1 y= V3-1. x+y=2 小 xy=( 5 + 1)(炉一1)=2.原式= =6三、巧用根式定义:例5、（ 1）若x、y是实数，且72x 1 + 1 2x +y=4 则xy的值是（1（A） 0 （B） , （C） 2 （D）不能确定 （97无锡中考题）t x1/x2-4 + V4-X2 +2y（2）若或、炉是实数，且丫= x曰求yx的值x - 4）1 ,解：（1）由题设知2x 1 0, 1 2x0得x= 2代入已知式得y=4 . xy=2 故选（C）(2)由x24和 4x20 知x2=4. x= 21v1 2 1x+

3、2w。xw 2x = 2 贝 Uy = 2yx= 万 =四、巧用换元法例6、计算:n + 2 + 7 n 2 4 n + 2 -勺 n 2 - 4n + 2 -52 4 n + 2 +，n2 4(n2)解：设 n + 2 + n24=x n + 2 n24=y则 x + y=2n + 4 xy=4n + 8一、x y (x+y)2 2xy (2x+4)22(4n原式=y x xy4n + 8+ 8)_ (2n +4)(2n +44) _=2(2n +4)=n例7、化简求值:夜1 -Vx、rx1 一也一，也、一_，1+4+qr + 1+myr其中x= 2 （河南98中考题）a(a + 1)2a

4、2 1口加 $+2例9、已知x=市2-3 + 2 x y，户由互求y+x的值解：由已知得：x+y=V3 + 2 遮+ 2m2 # + 2一(书+ 2)(V3 2)2=-14xy=1x y x2 +y2+ =y x xy(x + y) 2 2xyxy( 14) 22X 11=194+a 1 a a 1 a 1解：设爽=a则原式=十 丁+ g一丁二a012x 1例8、计算： 73-乖-73+乖解：设x=勺3-小-3+75 则k :+P)+豆一1)、a=(邓+小)(V3-1)11 陋+1 亚-5 + 131 +/3 = += 227r515+1=2七、巧添项 :例12、化简国卷叫解：分母中的三项有以

5、下的关系：（虚）2 + （m）2（%2=0原式=2（函十（或）2+（*）2 （遍2 他十响2#22+ 3+ 52+ 3+ 5（+小+丽（加+ 巧病2+ 3 + 5=2 + 3-5八、巧拆项例13、化简2 2 + 3 3+ 5(5 + 3)(2+ 3)解：: 3 3= ,3 + 2 3,2 2 + 3 3+ 511-.原式=&5+乖)(伞+而)=V3+V2 +衍3-啦+、巧V3=粥一g九、巧用配方法 : 例 14、计算：成 + 2 + 4a2 + la + 247a 2 其中 a2解：. a+2+4/0=(a2)+470 + 4=(Va2 + 2)2a+ 2-4/a2=(a 2) 4/0 + 4

6、=( 702-2)2原式=I 真2 +2 I +户-2|=4 g. (2 黑6)例15、若有理数a、b、c满足2版+ 2邓1 +2，c2 =a+b+c求abc的值解：、3、匕是有理数，并对等式进行变形得:a 2 7 a + b 2 yjb 1 + c 2 Jc 2=0左边配方：(a 2+1) +(b-1-2b-1 +1) +c 2 2& 2 + 1=0 (1ja 1)2 + ( b 1 1)2 + ( /c 2 1)2 =0a=1b=2 . .abc=1 x 2X3=6c=3、后1=0根据非负数的性质可知：亚=1 -1=0解得:c-2-1=0十、整体求值法例16、当x=2- 3求x24x+2的

7、值1解：由已知得 x=2_y3=2 +23 x -2= V3 贝 U(x2)2=3x2 4x +4=3 x2 4x + 2=1附件：试题摘录计算:1+疗北+朋+乖+小十十2005 +720071 =2(3 -1 + V5 -V3+V7-V5 + - + ，2007 -V2005)=2( 2007 -1)= 2( 223 -1)例2、计算： 9-4 5- 6 -2 5=( 5 -2)-( 5 -2)= -1例3、1设a表示3靠 的小数部分，求a(2a +1)的值.解：.3+或 3+63 +加 3114 又1 40 x=2. y= .2 +yy2=2 +y. y0y=2 x=y 故选(A)例 5、

8、化简：3633X 3635X 3639X 3641 +36 - 3633X 3638解：设 a=3637 则原式=V(a4)(a 2)(a +2)(a +4)+36 (a1)(a +1) =，(a2 16)(a 2-4) +36 -a2 + 1= a2-10) 2-a2 + 1= a 2 -10 - a2+ 1=9例 6、已知 a、b 满足a/ -b2 + b1 -a2=1 求证：a2 + b2=1解：: a1 -b2 + bW a2=1a/1 b2=1 b1 a2.(aY1 b2)2=(1 -bV-a2 )2. a2(1 -b2)=1 -2b1 -a2 + b2(1 -a2) 1 -a2 Zb/v + bZu。 .则(VTa2 -b) 2=0