经济数学基础讲义 第1章 函数

1、 第1章 函数碍1.1 函数概搬念靶1.1.1 函皑数的邦定义岸同学们从入小学败到高中毕业一直摆要学习数学，在隘这一阶段所面对埃的数学对象的特柏点是：所讨论的叭量在研究问题的摆过程中保持不变捌只是从未知到艾已知例如解方岸程或方程组，求挨得的解都是固定霸不变的又如讨巴论三角形，它的稗边长也是固定不百变的量这些量把叫做常量耙常量八暗只取固定值的量啊这门课程中讨论办的量在研究问题暗的过程中不是保熬持不变的如圆懊的面积与半径的蔼关系：S =r 2芭考虑半径八r按可以变化的过程版面积和半径叫办做变量笆变量爱唉可取不同值的量败变域坝哀变量的取值范围澳我们考虑问题的扮过程中，不仅是疤一个变量，可能斑有几个变

2、量比挨如两个变量，要癌研究的是两个变背量之间有什么关哎系，什么性质艾函数就是变量之巴间确定的对应关靶系比如股市中背的股指曲线，就碍是时间与股票指捌数之间的对应关案系又如银行中邦的利率表肮存期背六个月碍一年氨二年懊三年霸五年哀年利率伴(%)耙5.40版7.47败7.92阿8.28敖9.00盎它反映的是存款爱存期与存款利率扒之间的对应关系芭袄这几个例子反映皑的都是两个变量霸之间的确定的对靶应关系函数的吧定义是：扳定义1.1般 设阿x拌, 蔼y班是两个变量，般x矮的变域为捌D哎，如果存在一个绊对应规则胺f背，使得对哀D癌内的每一个值叭x笆都有唯一的奥y岸值与半x扮对应，则背这个对应规则翱f瓣 暗称为

3、定义在集合斑D绊上的一个啊函数扒，并将由对应规笆则百f案 霸所确定的皑x拜与翱y坝之间的对应关系熬，记为俺：案，称拌x挨为自变量，百y把为因变量或函数巴值，邦D芭为定义域袄集合八称为函数的昂值域敖巴我们要研究的是按如何发现和确定坝变量之间的对应柏关系芭例搬1班百求函数绊的定义域奥 板解：般，求函数的定义笆域就是使表达式熬有意义的袄由对数函数的吧性质得到隘，即埃由分式的性质百得到爸，即昂，即伴 综合起来得拜出所求函数的定斑义域为鞍拔例爸2百安设国际航空信件耙的邮资百与重量爸的关系是求解：阿用百3拌替代，由第一个跋关系式表示，得爸到罢，同样可以得到鞍矮用啊20爸替代，由第二个扳关系式表示，得拜到埃

4、1.1.2 有爱关函数的几点解班释把1.凹函数的表示法八如何表示函数关昂系是需要我们不俺断研究和发现的瓣常用的方法有阿三种：一种是用把一个数学公式来稗表示，叫做皑解析法拔；一种是用坐标哀系中的曲线反映按两个变量之间的败函数关系，叫做白图示法傲；还有一种方法癌是用一个表格反昂映两个变量之间啊的函数关系，叫埃做艾表格法昂一般经常使用岸的就是这三种方百法2.函数的记号拌在考虑一个问题吧的过程中，百f扮 敖表示一个确定的扳对应关系，在之佰后考虑这个问题懊的过程中，敖f澳 吧自始至终表示同阿样的对应关系熬比如坝，它反映的就是白这样一种对应关埃系：吧，等式左端的函罢数括号中带入一扒个量，表示要对伴其进行等

5、式右端叭的运算如：熬，又如吧：把无论左端带入什昂么，都对它进行叭同样的运算.奥隘1.1.3 俺函数的基本性质办下面把在中学里败大家已经知道的爱函数的基本属性案复习一下，也就癌是：函数的单调皑性、奇偶性、有艾界性、周期性袄当一个变量增加白时另一个变量也盎跟着增加， 这摆样的函数就叫做暗单调增加的函数八从图形上看这疤条曲线，曲线上般的点岸x挨在增加的时候，爱它所对应的纵坐傲标唉y芭也在增加，这样啊的函数是单调增扳加的 单调减奥少是相反的，随版着癌x胺的增加相对应的爱y奥在减少，这样的霸函数是单调减少唉的，正如图形中唉演示的这样如版果函数当癌x背在增加的时候，翱它所对应的靶y霸不是增加，也不吧是减少

6、，这样的癌函数就不具有单坝调性板例啊1搬 判断函数绊f暗(懊x疤)斑笆x盎2案当柏x 肮0坝时的单调性班 爱分析：斑可以利用单调性霸的定义，证明对熬任意的阿x绊1 摆 盎x把2巴，有澳f八(盎x靶1凹)白 巴叭f败(凹x板2安)背哀解：伴当邦x 笆0时，对任意罢的扒x扒2 矮0，有啊（当笆x癌1 瓣 俺x唉2 班0时，在不等办式癌x绊1 半 按x拌2瓣两端同乘以背x颁1埃或疤x爸2扳，显澳然有哎，氨，氨由不等式的传递坝性就得到斑）扒由定义可知拔f阿(拜x柏)版笆x奥2柏当埃x扳 岸0颁时是单调增加的佰癌一个函数的图形哀如果关于跋y疤轴对称，这样的俺函数就称为偶函氨数从图形上来唉分析，曲线上任罢

7、一点关于矮y癌轴的对称点也在邦曲线盎上捌面，这条曲线所鞍描绘的函数就是罢偶函数从解析哀式上看，如果有翱f版(跋x懊)傲f白(爱x唉)搬，柏f矮(蔼x埃)就叫做偶函数摆翱一个函数的图形靶如果关于原点对白称，这样的函数案就称为奇函数叭曲线上任一点关安于原点的对称点懊也在曲线上面，挨这条曲线所描绘扳的函数就是奇函澳数从解析式上袄看，如果有颁f爱(拔x背)袄f吧(吧x爸)绊，斑f把(凹x氨)就叫做奇函数案芭例瓣2挨 判断下列函数熬的奇偶性：靶 办 白（1）邦y蔼靶x暗3按1（2俺）癌y跋哀x扒cos岸 x啊解：（1）取 靶x板1，1，艾f 吧(1)0，傲f 拜(1)2爸，显然班f 绊(1) 八f 背(

8、1)瓣，俺由此可知昂y懊拔x氨3爱1 不是奇函佰数又显然跋f 扒(1) 叭f 矮(1)挨，拔由此可知坝y跋鞍x俺3败1 不是偶函吧数盎（2）因为拜y哎爱x敖是奇函数，巴 y坝cos般x靶 是偶函数，而败奇函数和偶函数盎的乘积是奇函数搬袄所以埃y扒百x癌sin邦 x安 是奇函数拜如果自变量在定罢义域中变化时，斑函数值始终在一坝个有限的区间内扳变化，如图形中唉演示的，无论怎扳样变化，都有巴M 吧 哎f熬(挨x扒) 班M伴，癌这条曲线所反映凹的函数就是有界笆函数盎如果存在一个正办数澳T鞍，对任意的自变跋量吧x白，有安f靶(颁x 叭+ 暗T 班)蔼f办(奥x柏)版，班这样的函数就叫挨做周期函数 疤从图

9、形上反映，百这个函数在相隔芭为坝T靶的任意两点上函岸数值都是一样的碍也可以这样来熬看，从任意一点背出发，以长度傲T岸为间隔划分区间埃，在每个区间上巴的函数图形都是翱可以完全重合的艾唉1.2扒 几般类坝基本初等函数拜我们在中学的学稗习中已经认识了昂一些函数， 这奥些函数是非常基瓣本的，有这样几白类：埃1. 班常数函数：按y哀 = 败c埃这个函数在它阿的定义域中的取胺值始终是一个常般数，它在直角坐挨标系中的图形就奥是一条水平线拌2. 熬幂函数：叭y鞍 = 傲x爸霸，(爸拜班R 傲)以笆x案为底，指数是一跋个常数叭当埃 斑= 1时就是笆y扒 = 啊x搬，它的图形是过肮原点且平分一、氨三象限的直艾线；

10、当鞍蔼=2时就是般y扒 = 罢x瓣2拜，它的图形是过班原点且开口向上唉的抛物皑线；当爸败=3时就是爱y版 = 霸x绊3八，它的图形是过哎原点的立方曲线案般3. 艾指数函数：瓣y癌 = 稗a昂x矮，( 碍a 盎0，罢a般1)底数是哀常数，指数是变敖量例如背y案 = e般x碍，啊y扳 = 2 挨x靶，澳y班 = (疤) 按x岸 败所有指数函数的唉图形都瓣过(0,1)点百，当搬a翱1时，函数单芭调增加，当疤a俺0，拌a拜1)以颁a疤为底的肮x暗的对胺数例如佰 凹y把 = ln罢x耙，矮y叭 = log 奥2半x稗，翱y碍 =八所有对数函数翱的图形都过(1鞍,0)点，当按a哎1时，函数单暗调增加；当吧a佰 0奥 瓣盈利（2） 癌L捌(耙q捌) 0颁 懊亏损（3） 澳L拜(把q笆) = 0案 败盈亏平衡氨满足捌L跋(稗q搬) = 0芭的白q跋0巴称为板盈亏平衡点拌（又称百保本点吧）靶在假设成本函数拌和收入函数都是岸线性函数的情况伴下来做一些分析袄： qO把C俺 = 瓣c敖0柏 + 凹c埃唉q瓣，懊R 爱= 艾pq它们的图形是般两条直线的交点背表示收入与成本扳相等，唉q案0隘就是盈亏平衡点奥埃如果两条直线出绊现了下面这种情奥况 qO qO胺此时两条直线没奥有交点，也就是疤没有盈亏平衡点邦为了找到盈亏碍平衡点，我们可