讨论直线斜率是否存在

1、讨论直线斜率是否存在之避免技巧洪湖伍强华用常规方法求有些直线的方程时，常要分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，这样 解题过程就有些复杂，我们极易忽略斜率不存在的情况，造成失分.为此，本文将介绍避免 讨论直线斜率是否存在的两个技巧.一、巧用向量解答解析几何题时应用向量共线或垂直的充要条件常常可以巧妙的避免讨论直线斜率 是否存在.例1过抛物线y =4x的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD.设弦AB, CD的中点分 别为M, M求证直线MN必过定点.分析:设点M为（曲& ,n为3所川），点F的坐标为（1, 0），设直线AB的方程为yMXT），将代入 /=纸中，得 k2x2-（4 + 2e）x +

2、e =0, TOC o 1-5 h z 4 rX +2 H21 + 2 = TT+ 2曲=-=tt+1-9 = 7，.上，.z 2 芸、（yr + L 厂）.点M坐标为止止.V = -L l）2设直线CD的方程为 后,同理可得点N坐标为（1 +冰-及）.解答至此，以下部分许多同学可能就会先求直线MN的斜率，再写出直线的方程.但k =1时直线MN的斜率不存在，用这种做法必须分MN斜率存在与不存在两种情况讨论.如果我们能巧妙的利用共线向量定理的充要条件，则可以避免上述讨论解法如下：设点P（E 为直线MN上任一点，- 2k2,2k则雄、讨，P , NM =氏.又. 商与成共线，.泌*咤-* +三x-

3、 3 + （北一 ）y = 0化简可得直线MN的方程为氐.直线MN恒过定点（3, 0）.点拨：这类题的解题要点是设点（孟）为所求直线上的任意一点，再利用向量共线或 垂直的充要条件列一个关于二，T的方程，加以化简整理可得所求直线方程.二、巧设直线方程工二擀y +打已知直线！过定点pEm 且倾斜角a仁（5），如果设直线方程为了外=把0气）则多有不便，因为直线 的倾斜角为5时，直线方程不能用上式表示， 此时不防巧设直线方程为光）.特别地，当直线过点（n，0）且直线的倾斜 角仁（0，孙）时，可以设其方程为工=您+七22五工y 1 |=：）例2已知椭圆T： 32，直线过椭圆左焦点F，且不与应轴重合，直线

4、与椭圆交于点P，Q，直线！绕着Fi旋转，与圆0：+ =交于A，B两点，若 服4 网, 求声PQ的面积S的取值范围（尸为椭圆右焦点）.解：.直线PQ不与工轴重合，.可以设直线PQ的方程为工=吵一】.设点pSli）， q3*.|。虬上，期=2 .又产牛占逾，七=1,5七3 .将咐-1代入32消去八得0妒+珈-4切-4 = 0.4.巧+巧=2妒+3,应 七妒+3I 48s+5项耶k W=Jm+方-务心占+4.*u= At +-+4u = At +- + 4设酬+1= ,.1心曲；设，当身时为增函数，gF 裕卷、4据g思g9 三耳三J/St， 口4 .又.$= ,.93 .所以S的取值范围是L *点拨：此解法抓住直线PQ的倾斜角属于（5，巧设其方程为二=叫一1,使运算 得到很大的简化.若用常规方法做则要分斜率存在与不存在两种情况讨论数学学习中做大 量的习题是必不可少的，但是在解题的同时我们还要注意总结，提炼其中的方法，这样才能 触类旁通，提升解题能力.【巩固练习】1.已知圆的方程是土/=疽，求经过圆上一点M（如知的切线的方程.X 21ry = 12 .已知曲线C的方程为4（工2），若过点M （2, 0）作两条射线，分别交点C的轨迹于点P、Q，且心,照=0，求证直线PQ必过定点.【参考答案】2L L1.曲