华工线性代数与几何试卷2008级

1、一、填空题（共20分一、填空题（共20分r(A) = 2P-1AP+P-1A2P=3E， 则当E-A2P1AP P1(2AP1(2A)P 2A)P12A3E (A3E)(AE)EA可逆，则AEA3E0(AE)1 ArT ,T ,T r若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵， 若A为2009阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵， |A因为AA* A A EA由于A是正交矩阵，ATAAA An1 ,是A的n个特征根，n EiiA,是A的n个特征根，n EiiAiA的特征值为 , , iiii12in Eii则Ain iiAi一P(j一P(j, i(k)，将矩阵Amn的第i列乘k加到第j列相当于对一

2、个P(i一个P(jB，右乘一个P(iD，右乘一个P(j1. 若A为mnB是M X AX BXRnDA，B，C都不对r(A)=, 1. 若n阶方阵A1. 若n阶方阵A满足A2+3A=4EA，A=C，detA=detB，r(A)= 3A4EA(A3E)4EdetAdet(A3E)det(4E)4n det A 0r(A)nr(E)1. 1. AA* (det(AA*)T(AA*)(detA)ET(detA)E (detA)2由于AT A E (det A)2 1(AA*)T(AA*)(detA)2E AA*是正交矩1111.5. 如果n式000的值为-1，那么n的值可能是1111.5. 如果n式0

3、00的值为-1，那么n的值可能是11120 200只有n2009代入时成三、判断题（12分1方程组的解不变。( 三、判断题（12分1方程组的解不变。( （）做行初等变对(2)实对称矩阵的特征值是实数。)全为零，或者有两行（列）的元素对应成比例。)1.求向量 1.求向量 1,2 ,3|011312213331n2.计算detA 23412213331n2.计算detA 2341nnc t A 123112n341n000n0010100230n000n0010100230100000000n(n n(n221100n(n1)(n2210101011001110100010110101011001

4、110100010100-111001010110000101100-解：A1111111 01001 ,r0 111011111011011001230则1，2，3是一个基正交化11 0111231 2 1/1/3, 215 21/3, 3 2 1/1/3, 215 21/3, 312301231/3则1,2 ,3对于任意维向量都有解，那么的秩等于对于任意维向量都有解，那么的秩等于100100，00112m设AX i的解是X,即：AXi 令B,m) (1,2,m)m则AB (AB)(AB)(A)(E)rAm,则(A)mr证明A1 A1A1 B1 由于A1,A B, B1都可逆，它们的乘A1A

5、 B)B1也可逆，则A1 B1可逆八、（10分）用正交变换化下列二次正交变换所对应的正交变换矩，并写出)八、（10分）用正交变换化下列二次正交变换所对应的正交变换矩，并写出)232204x2f32330 解： A24 2304det(AE)(2)(3) 23240(2)(3) 22420 (2)(3) (2)(3) 4特征值0,2 x1 0231对2 3，解方程组(A3EX 0: 00 0 0 2024A对2 3，解方程组(A3EX 0: 00 0 0 2024A3E 2 2 1 0 1x1 2xx1222xx32 21是对应 的特征向基础解系222对3 6，解方程组(A6EX 0: 0 0 021对3 6，解方程组(A6EX 0: 0 0 021110A6E 22120000021 02xx2122xx31 1 2 是对应 6的特征向量基础解系3321，2，3是两两正交的，下-2/32/3 2/3,1/3,2/3 1，2，3是两两正交的，下-2/32/3 2/3,