运筹学课程设计

1、设计总说明进入21世纪以后，随着人们生活水平的提高和对基本营养的需求。人们都 希望一日三餐的食物既能满足基本营养的需求并且合理搭配又能经济实惠。我们 在选择不同食物组合作为日常食谱的想法可归纳如下：首先，以最小的消费来满 足人体每天基本营养要素的需求；其次，避免人们对食物单一性的厌倦。根据相关资料得知，人体每日必需的七大营养素及营养标准：蛋白质、脂肪、 维生素（维生素A、B、C、D、E、K）、碳水化合物、矿物质（钾、钙、钠、镁、 氯及微量元素）、膳食纤维素、水。每日需求量分别为，蛋白质11.2g/每人. 公斤，脂肪11.5g/每人.公斤，维生素4000国标单位，矿物质2.5g,膳食纤维 24g

2、,水1200g。现在我根据本人身体情况和学校食堂饮食情况通过线性规划建立 模型并用计算机相关软件求解出自己对基本营养素摄取的最佳搭配数量和最小 的消费，最终设计出适合自己的食谱和优化方案。关键字：基本营养需求，合理搭配，最小消费，运筹学，线性规划1绪论1.1研究的背景随着社会和经济的发展，健康与饮食问题引起了人们的高度关注，一日三餐 的营养和搭配也受到人们的重视，同时也在探索着食谱搭配与优化问题。俗话说“病从口入”，资料显示，现在的许多疾病都是吃出来，或者说是由 于营养搭配不均衡和饮食结构不完善导致的。这些疾病已经成为人类可怕的杀 手，例如高血压、脑血栓、冠心病等各种心脑血管病，它们正吞噬着人

3、类宝贵的 生命。合理的营养搭配和膳食结构对于健康有着如此重大的意义，那么一日三餐的 搭配和营养对我们健康是至关重要的。所以在消费金额一定的情况下怎样搭配食 物才能既健康有满足人体基本营养的需求成为许多人们研究和探索的问题。我此 次的课设课题为：根据本人实际身体情况和本校的实际饮食情况研究食谱设计与 优化问题。1.2研究的主要内容和目的每种食物的营养元素的含量都不同，其原材料的价格也各有所异，经查阅资 料，下表-1是我根据学校食堂（夏季）情况列出的部分食物及其所含主要营养 物质的含量。我自己的体重取55kg，计算出自己一天必须摄取的营养物质的多 少，使营养达到最佳搭配且使花费达到最小。现已知学校

4、提供的部分食物有米饭、面条、猪肉、鸡蛋、西红柿、白菜、西 瓜。我自己一天基本营养需求为蛋白质62g、脂肪55g、维生素0.0747g、碳水 化合物80g、纤维素14g、矿物质1.5g。按照常理，主食即米饭和面条的总摄入量不超过2kg，为了保持营养均衡， 肉蛋奶的摄入量应该在1-2kg，在夏天应摄入大量水，应多吃蔬菜瓜果，并且买 菜和水果的钱不超过10元。研究的目的是，根据以上的设想，如何对以上8种食物进行合理的搭配，能 满足人体基本所需，确定各种食物的用量，并且以最小的消费金额满足每日定额， 从而达到食谱的优化。1.3研究的意义健康对于人们来说是至关重要的，而合理的膳食与健康息息相关，所以合理

5、 膳食就显得尤为重要。人体的基本营养物质摄入过多或过少都导致一些疾病，例 如：缺钙会导致抽搐，脂肪摄入过盛会导致肥胖、高血压、心脑血管病等。营养 科学告诉我们，任何一种食物都可以提供某些营养物质，关键在于调配多种具有 不同特点的食物组成合理的饮食。各种事物都有不同的营养特点，必须合理的搭 配才能得到全面营养。才有利于健康。通过本次课题研究，可以了解到部分食物的营养物质的含量，了解到人体对 七大基本营养物质的最低需求。按照自身具体情况和实际情况，通过所学的运筹 学知识对现有食物进行合理搭配，使摄入的食物能满足人体营养物质的基本需求，并且使消费金额达到最小。1.4研究方法及技术路线研究问题的方法：

6、利用所学运筹学对线性规划问题的求解来解决实际问题。 线性规划是运筹学的一个重要分支，线性规划解决的是线性函数在线性约束条件 下是目标函数达最大或最小的问题。一个正确的线性规划模型不仅要熟悉问题的生产情况和管理内容，而且要明 确问题的目的要求和错综复杂的已知与未知条件，以及它们二者之间的相互关 系，掌握一些经过大量可靠的调查和统计数据证实的已知数据。线性规划问题需满足一些条件：所求问题的目标一定能表示为最大化或最小 化的问题，本次研究的问题是最下化问题；问题一定要具备有达到目标的不同方 法；要达到目标是有限制条件的；问题的目标和约束都能表示为线性式。利用所收集的数据，根据线性规划建模的条件，建立

7、食谱优化问题的模型， 列出目标函数和约束条件。然后利用Lindo软件求出最优解并进行灵敏度的分 析，对食谱进行合理搭配和优化。2理论及方法过程2.1研究的方向及特点该研究问题研究的是一个在一定约束条件对目标函数求最小的线性规划问 题，具体的说就是在人每天摄入各种食物的量为未知变量，食物中所含营养物质 为约束条件的系数，而人体最低营养需求为约束变量。目标函数是在这些食物价 格已知的情况下，每天消费金额达最小化。问题的特点是，一共有8个非负的未知变量，搭配相关数据组成若干线性约 束条件，使目标函数最小化。2.2研究的理论方法的特点线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，在经济管理、交通运输、

8、 工农业生产等经济活动中都有广泛的应用。它解决的问题可以分为两类：一类是 资源一定的情况下，我们如何利用这些有限的资源来完成任务；另一类是在任务 确定的情况下，如何利用最少资源来完成这个确定的任务。此次研究问题的理论方法是运用线性规划建立模型，对实际问题进行优化。 其特点是易于建立模型，模型建立完成之后可以利用Lindo软件求解比较容易简 便。而在解决食谱优化问题上，利用线性规划可以使现有的食物合理搭配，维持 人体营养平衡，而且还能使花费最小。3模型建立3.1基础数据的收集及处理经过查阅资料对数据的收集和整理，并标准化后，得下表-1表1-1 下表为1kg食物的营养的含量。、营养物物、蛋白质g脂

9、肪g维生素g碳水化 合物 g矿物质g纤维素g价格Kg/元大米2630.283915881.0563.8小麦8370.1982142171.3652.2猪肉2.3620.01911503.55020鸡蛋1281010.00421402.2507.0牛奶102320.01813401.2177.8西红柿81370.119942162.4592.0白菜1440.083921140.9792.0西瓜610.03455831.3423.0人体需 求62550.074780141.5观察上表可以看出，不同食物所含的各种营养成分是完全不同的，如果只吃 主食，就会缺乏脂肪和维生素，如果过多摄入肉食，脂肪就会偏

10、高导致疾病。所 以合理的食物搭配至关重要，也越来越受到人们的关注。3.2变量设计变量设为每天摄入各种食物原材料的重量，令100g为一个单位，则可设变 量如下：X1表示每天摄入大米的千克数；X3表示每天摄入小麦的千克数；X4表示每天摄入猪肉的千克数；X5表示每天摄入鸡蛋的千克数；X6表示每天摄入牛奶的千克数；X7表示每天摄入白菜的千克数；X8表示每天摄入西瓜的千克数；3.3目标函数确立在营养合理搭配的情况下使得消费金额最小，则目标函数为： TOC o 1-5 h z MinZ = 3.8 x + 2.2 x + 20 x + 7 x + 7.8 x + 2 x + 2 x + 2 x 12345

11、6783.4约束条件每日摄入的蛋白质不低于62g,其约束条件为：2.6x + 8.3x + 20.3x +12.8x +10.2x + 2.1x +1.4x + 0.6x 52 12345678每日摄入的脂肪不低于55g，其约束条件为：0.3x + 0.7x + 6.2x + 10.1x + 3.2x + 3.7x + 0.4x + 0.1x 55 12345678每日摄入的维生素不低于0.0747g，其约束条件为：0.0283笔 + 0.0198气 + 0.00191x3 + 0.0004气 + 0.00185x5 + 0.011996 + 0.0083写 + 0.01345x8 0.074

12、7每日摄入的碳水化合物不低于80g，其约束条件为：15.8x +14.2x +1.5x +1.4x + 3.4x + 4.2x + 2.1x + 5.8x 80 12345678每日摄入的矿物质不低于14g，其约束条件为：0.8x +1.7x +1.6x +1.4x +1.3x 14 12678每日摄入的纤维素不低于1.5g，其约束条件为：0.1056x + 0.1365x +0.355x + 0.225x + 0.1217 x + 0.2459x + 0.0979x + 0.1342x 1.5 12345678夏天需补充大量水分，所以摄入的西瓜和白菜不低于4kg，约束条件为x + x 4为保

13、持营养均衡，每天摄入的肉蛋奶不低于2kg，约束条件为：x3 + x4 + x5 2每天买蔬菜的金额不超过10元，则有：2 x6 + 2 x7 + 2 x8 52123456780.3x + 0.7x + 6.2x + 10.1x + 3.2x + 3.7x + 0.4x + 0.1x 55 123456780.0283笔 + 0.0198气+ 0.00191x3 + 0.0004气 + 0.00185x5 + 0.011996 + 0.0083写 + 0.01345x8 0.074715.8x +14.2x +1.5x +1.4x + 3.4x + 4.2x + 2.1x + 5.8x 801

14、23456780.8x +1.7x +1.6x +1.4x +1.3x 14 126780.1056x + 0.1365x +0.355x + 0.225x + 0.1217 x + 0.2459x + 0.0979x + 0.1342x 1.5 12345678x + x 4x + x + x 22 x6 + 2 x7 + 2 x8 Q)，C1=P-Q； 单位利润为C2，售价为R(RP)，则C2=R-P。表2-1商品的需求及概率需求量SS1S2SkSn概率P(n)P1P2PkPn当供大于求(Sn)时，存储费=E C 1(5 - n)P(n)n = 0当供不应求时(nS)缺货费= C 2( n

15、 - S) P (n)n=S+1总费用C (S) = C1( S n) P(n) +. + C 2(n S) P(n)n=0n=S +1进行优化，利用差分法方程、C(S) = C( S+1) - C( S)当So为最佳订货量时必须满足：C(S +1)-C(S ) 0-C- vP(n) 00C1 + C 2n=0C (S ) - C (S -1) P(n) 00C1 + C2n=0得最优解为：0.778，所以 S0=40kg4.2最优解的分析及评价工 v P(n)当C1+ C2 n =0时，S0最佳订货批量，此时从费用C(S)最小，从收益最大。根据求解结果可以得出，在建大樱桃的最佳进货批量为40

16、kg。也就是说， 在一个销售周期内，订货量为40kg时，能使收益达到最大。从这个零售商校园销售樱桃的的例子可以发现，在类似樱桃这种易变质的商 品销售过程中应用这种离散型随机存贮模型能够更好的为零售商做出一个最佳 订货量的的参考，以便于销售易变质商品的零售商确定出较好的订货策略。4.3结论及建议通过对基本情况的分析，经过抽象和延伸，建立了易变质商品樱桃的离散随 机存贮模型；结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论与分析；将模型应用于 案例的实际问题中，得出了相应的最优决策方案。通过对离散随机存贮问题的讨论，借助一种能够为零售商确定一种最佳订货 量的的数学模型，为保证零售商在一个销售周期内的损失最小，通过假设进货量 是离散随机的，确定出零售商的最佳订货量的概率范围，从而确定出