高一数学解三角形章末复习(含答案)

1、解三角形章末复习一、考点、热点回顾.正弦定理及其推论设 ABC的外接圆半径为R,则瘾=sn= snc=2R.(2)a = 2RsinA, b= 2RsinB, c=2Rsin C.(3)sin A = , sin B= sin C= (3) A 2R，2R，2R.(4)在ABC 中，AB? ab? sin Asin B.余弦定理及其推论(1)a2= b2+c2 2bccos A, b2= c2 + a22cacos B, c2= a2+b22abcos C.b2+ c2 a2c2+ a2- b2a2+ b2- c2(2)cos A= 2bc ； cos = 2ca ; cos = 2ab在 A

2、BC 中，c2=a2+b2?C 为直角;c2a2 + b2?C为钝角;c2a2+b2?C 为锐角.三角形面积公式.1 .1 .(1)S=2aha= 2bhb=2chc；111(2)S=2absin C =2bcsin A=2casin B.应用举例(1)测量距离问题；(2)测量高度问题； 测量角度问题.二、典型例题题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1 (1)若锐角 ABC的面积为103,且AB=5, AC=8,则BC=.答案 7解析 由题意知 1* 5X 8X sin A= 10?J3,即 sin A= 3,又4ABC 为锐角三角形，所以 A=60； cos A = 2,所以 BC= ，52+

3、 822X 5X 8X2= 7.(2)已知 ABC 中，若 cos B=3, C=2，BC=2,则 ABC 的面积为. 54答案8反思感悟利用正弦、余弦定理寻求三角形各元素之间的关系来解决三角形及其面积问题. TOC o 1-5 h z 跟踪训练1 (1)在 ABC中，/ A=45, AB=1, AC =2,则 $abc的值为()A.1 B平 C坐 D. 2V3 222答案 B(2)已知锐角 ABC的面积为3, BC=4, CA=3,则角C的大小为()A. 75 B. 60 C. 45 D, 30 答案 D111解析 S= 2BC AC sin C = -X4X 3Xsin C=3, . si

4、n C=2,二三角形为锐角三角形.C= 30 ：题型二几何计算 例2 如图，在矩形 ABCD中，AB=，3，BC=3, E在AC上，若BE，AC,求ED的长.解 在 RtABC 中，BC=3, AB =巡，所以 / BAC=60 :因为 BEX AC, AB=3,所以 AE=.在4EAD 中，/EAD = 30 ； AD=3,33 13 21由余弦定理知， ED2=AE2+AD22AE AD cosZ EAD = 4+9-2xx 3X2-= ?为 21故 ED=.反思感悟 正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、 余弦定理，只需通过解三角形,般问题便能很快解决.跟踪训练2

5、 在 ABC中，/ B=120, AB = y2, / A的平分线 AD=J3,求AC的长.ABsin/ADBABsin/ADB解如图，在AABD中，由正弦定理，得sADB由题意知 0 /ADB60 ； ADB =45 , . . / BAD = 180 二 45120=15 ：.Z BAC = 30, / C= 30。，BC = AB = V2.AC BC.在AABC 中，由正弦定理，得 -B=cin/RAP，- AC = V6.sin b sin 乙 bac题型三实际应用例3 如图，已知在东西走向上有 AM, BN两个发射塔，且 AM = 100 m, BN = 200 m, 一测量车在塔

6、底M的正南方向的点P处测得发射塔顶 A的仰角为30。，该测量车向北 偏西60方向行驶了 100m m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶 B的仰角为0,且 /BQA= 9,经计算，tan仁2,求两发射塔顶 A, B之间的距离.解 在 RtAMP 中，ZAPM = 30, AM =100 m ,所以 PM = 100/3 m,连接 QM ,在PQM 中，/ QPM = 60 ,又PQ= 1003 m,所以 PQM为等边三角形，所以 QM = 1003 m.在 RtAAMQ 中，由 AQ2= AM2+ QM2,得 AQ = 200 m.一,一5在 RtBNQ 中，因为 tan 0= 2, BN = 2

7、00 m,所以 BQ= 100-75 m, cos 0= 5.在4BQA 中，BA2= BQ2+AQ22BQ AQcos 仇 所以 BA= 100/5 m.故两发射塔顶 A, B之间的距离是10045 m.“北偏西60“北偏西60。”仰角”的准确翻译，并转换为解三角形所需边、角元素.跟踪训练3如图，从无人机 A上测得正前方的河流的两岸 B, C的俯角分别为75, 30,此时无人机的高是 60 m,则河流的宽度 BC等于()A . 240(31)mB. 180(721)mC. 120他1)mD. 30(3+ 1)m答案 C解析 如图，在 ADC 中，/CAD =90 30 = 60, AD =

8、60 m,所以 CD = AD tan 60 = 60V3(m).在 ABD 中，/ BAD = 90 - 75 = 15 , 所以 BD = AD tan 15 = 60(2 - V3)(m).所以 BC=CDBD = 60/360(2也)= 120(北1)(m).故选 C.题型四三角形中的综合问题例 4 a, b, c 分别是锐角 ABC 的内角 A, B, C 的对边，向量 p= (22sin A, cos A+sin A), q= (sin A cos A,1+ sin A),且p/q,已知a=巾， ABC的面积为323,求b, c的大小.解 p=(2 2sin A, cos A+si

9、n A), q = (sin A cos A,1 + sin A),又 p/ q, 1. (2 2sin A)(1 + sin A) (cos A+sin A) (sin A cos A)= 0,即 4sin2A-3=0,又/A为锐角，则sin A =乎；/A= 60 ,. ABC的面积为竽，.；bcsin A = 竽，即bc= 6,又 a=47, .,-7=b b2+c2a2 1 cos a=- -27 b2+c2a2 1 cos a=- -27 =2，化简并整理，得2 bc 2b= 3,b = 2,联立解得或c= 2c= 3.反思感悟解三角形综合问题的方法(1)三角形中的综合应用问题常常把

10、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起,要注意选择合适的方法、知识进行求解.“翻(2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解.跟踪训练4在跟踪训练4在 ABC中,b, c 分别为角 A, B, C 的对边，4sin2 -cos 2A=-.(1)求A的度数;(2)若 a= V3, b+c= 3,求b和c的值.B+C解(1)由 4sin2 2-cos 2A=7及 A+B + C=180 ；解得 cos A = 2.解得 cos A = 2.(b + c)? a

11、2= 3bc,得 21cos(B+C)2cos之A+1 = 2, 4(1 + cos A)4cos2A=5,即 4cos2A 4cos A+1=0,(2cos A- 1)2 = 0,0OAba,且4ABC为钝角三角形,.C为钝角.a 一 一 1 . c 1 sin(A + C) = 2，sin( -B) = 2$in B=2.+b2c2 一 一 1 . c 1sin(A + C) = 2，sin( -B) = 2$in B=2.由余弦定理得 cos C=-=一=0.-. k2-4k- 120,解得2kk+4,k2 ,综上所述，k的取值范围为2k8,R J X)由 2x+ 86,解得 1vxv

12、7. :/E6 + 82x, ，x的取值范围是(1,7).隐含条件2.三角形的内角范围例 6 已知 ABC 中，B = 30, AB= 2/3, AC=2,则 ABC 的面积是.答案 2炉或炉解析 由正弦定理，得sin C = AB；/ B=. .C = 60。或C=120： AC 21厂当 C=60 时,A = 90 ,则 Saabc= 2AB AC sin A=2g;当 C= 120 时，A= 30 ,贝U SaABC=2AB AC sin A=3.ABC的面积是2，3或V3.反思感悟利用正弦定理解决“已知两边及其中一边对角，求另一角”问题时，由于三角形内角的正弦值都为正的，而这个内角可能

13、为锐角，也可能为钝角，容易把握不准确出错.1跟踪训练 6 在4ABC中，角 A,B, C的对边分别为 a, b, c.若asin Bcos C+ csin Bcos A=2b,则B=答案购5兀 6 61解析由正弦 te 理，得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= 2sin b.1- 0 B tz, . sin Bw0. .sin Acos C+cos Asin C=?,一、 一八一 5又B C （0 ,兀）. . B=1或B = 兀. 66例7在4ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c粤A=a2,试判断三角形的形状. tan B btan A a2s

14、in Acos B sin2Acos B sin Acos A sin B斛由嬴百=后和正弦正理,得品君nB=snB,又A（0,兀） 即 sin Acos A= sin Bcos B,cos B sin Acos A sin BI.，兀即 sin 2A= sin 2B, ，2A=2B 或 2A+2B= Tt；.A=B 或 A+B = .ABC是等腰三角形或直角三角形.反思感悟在 4ABC 中，sin A= sin B?A=B 是成立的，但 sin 2A = sin 2B? 2A= 2B 或 2A+ 2B= 180.跟踪训练7 4ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.若c a

15、 = 2acos B,则B-2A=.答案 0解析由正弦定理，得 sin C sin A= 2sin Acos B.A+B+C= tt, .-.C=兀一(A+ B),sin C sin A = sin(A+ B) sin A= sin Acos B+ cos Asin B sin A= 2sin Acos B, sin Bcos A cos Bsin A = sin A, sin(B A)= sin A. A, BC(0,兀)，B 人=人或 BA=兀一A(舍).B-2A= 0.b例8在4BC中，角A, & C的对边分别为a, b, c.B = 3A，求a的取值范围.由正弦定理得b sin B s

16、in 3A sin A+ 由正弦定理得b sin B sin 3A sin A+ 2A_ = 二=1 =：-；a sin A sin A sin Asin Acos 2A cos Asin 2Asin A=cos 2A + 2cos2A= 4cos2A 1.-. A+B+C=180, B=3A,A+B=4A180 ,0A45 ,.孚cos A1,14cos2 A - 13 ,1b3.2， a反思感悟解三角形问题，角的取值范围至关重要.一些问题，角的取值范围隐含在题目的条件中，若不仔细审 题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.跟踪训练8 若在锐角 ABC中，B = 2A,则A的取值范围是 答案工

17、 %答案工 %6 4解析 由 ABC为锐角三角形,一 一 兀rr冗兀斛信6VA4./日兀得 0VB=2A2,一 一一 一一一 兀0vC=兀一 A B=兀-3A 2,例9设锐角例9设锐角 ABC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,且 a= 2bsin A.(1)求B的大小;(2)求cos A+ sin C的取值范围.解 (1)由正弦定理及 解 (1)由正弦定理及 a= 2bsin A得, T= n = 2b , sin A sin B .C 1sin B= 2,一 一一一兀_兀又 BC 0, 2，飞=6.一 一 兀0A2,(2)由 ABC为锐角三角形，得一 _ 兀 兀0VB = 62,

18、兀兀解得鼻 Av J, 32八八 5兀“兀0C=-A 2,=3sin A+3 ,cos A+sin C= cos A+sin 6t A=3sin A+3 ,., A+3 5T - -2sin A+3专,当 V3sinA，兀 3A+3 2cos A + sin C的取值范围为 近2，一 . ，.5兀反思感悟事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角A的氾围都有影响,故C= lABqAC 0, 2 .由反思感悟事实上，锐角三角形三个内角均为锐角对角此得AC3跟踪训练锐角4ABC中，B=60, b=小,求 ABC面积S的取值范围.解 由正弦定理，a= 产 sin A= sin A= 2sin A.同理

19、c=2sin C, sin B_32一 11-S= 2acsin B= 2 2sin A 2sin C sin 60 = V3sin Asin C,A+B+C= Tt, C=兀一A B = A.3一_、，、，衿一 2兀兀又.A, C 为锐角，.0- A；,32兀 兀6VA2,S= 3sin Asin 235 A=gsin A sinTcos A- cosTsin A = |sin Acos A +率sin2A332233 1sin 2A+ 2 ,一cos 2A 3 兀八兀 兀 兀51 ca兀. V3 V3 . ca 兀 43-3/3 6a2, ，62a6目兀，.2sin 2A一6 w1,.勺+

20、sin 2A一石十七w-.即s的取值范围为坐，343 .三、课后练习、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 .在钝角 ABC中，a=1, b=2,则最大边c的取值范围是()A. (1,3) B. (2,3) C. (V5, 3) D. (272, 3)答案 C解析a2+b2-c2由 cos c = Fa2+ b解析a2+b2-c2由 cos c = Fa2+ b2= 5. . ca/5,又 ca+ b=3, 5c0, -sin B=当，由 B 为锐角，可得 B = j4.在 ABC 中，已知 a=乖,b=4T5, A=30,则 c等于（）A . 2脏B.V5C. 2点或乖D.以上

21、都不对考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形答案 C解析 . a2= b2+c22bccos A, 5= 15+c22近 cx ，化简得 c2375c+ 10=0,即（c2#）（c泌）=0, .-.c= 2加或 c=泌.5.已知 ABC 中，a=4, b=443, / A=30,则/ B 等于（）A . 30 B. 30 或 150 C. 60 D, 60 或 120答案 D TOC o 1-5 h z 一,a b225解析 由；得 sin B=；=方.又 ab,，/B=60或 120. sin A sin B42.在 ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是

22、a, b, c,若b2tan A= a2tan B成立，则4 ABC一定是()A .锐角三角形B .直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案 D解析由已知及正弦定理可得tan Asin2B=tan Bsin2A, .sinA sin2B = |inB sin2A,COS A COS B又 sin Aw0, sin Bw0, sin Bcos B= sin Acos A,即 sin 2A= sin 2B.一，、兀又.“6(0, 7t)BC(0,兀).2A = 2B 或 2A+ 2B=兀，. A= B 或 A+B = ,即ABC是等腰三角形或直角三角形.在 ABC中，a, b, c分

23、别是A, B, C的对边，已知b2=c(b+2c),若a= g cos A=7,则 ABC的面积8等于（）B. .15D. 3C.15B. .15D. 3C.152答案 C解析 .b2=c(b+2c),b2-bc- 2c2= 0,即(b + c) (b2c)=0, ，b = 2c._b2+ c2 a2 7又乖，cos A=2bc =8 解得 c=2, b=4.-11. c SA-11. c SAabc = ?bcsin A= 2* 4X 2X二=任.在 ABC 中，AB=2, AC =3, AB BC=1,贝U BC 等于()A. V3 B班 C. 272 D/V23答案 A解析 由AB BC

24、= 1 可得 2|BC|cos(1801B)=1,即 2|BC|cos B=- 1,由余弦定理可得 32=BC2+22-2X2BCcos B,把 2BCcos B=1 代入，得 9=BC2+4+ 2,解得 BC= a/3.在 ABC 中，若 lg sin A lg cos Blg sin C= lg 2,则4 ABC 的形状是（）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形答案 D解析 由已知lg s? A= 1g 2, cos Bsin C . sin A 2cos Bsin C- .sin A= sin兀一（B+ C） = sin（B+ C） =sin Bcos C+ co

25、s Bsin C= 2cos Bsin C,1. sin Bcos Ccos Bsin C = 0,即 sin（BC）=0,. B, C为三角形内角,B-C=0, B=C.10.在锐角 ABC中,. B, C为三角形内角,B-C=0, B=C.10.在锐角 ABC中,B=2A,则AC的取值范围是()A. -2,2 B.0,2C. （0,2D.（也 3）答案 D解析由题意得一一一兀0 兀一解析由题意得一一一兀0 兀一3A2,兀02A2兀 兀6VA i4- 2X5143 = 3i43.i5. （20i8江苏改编）在ABC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, /ABC=i20, /

26、 ABC的平分线交 AC于点D,且BD = i,则1+1=a c 答案 iiii斛析 依题,国有 Sabc= Sabcd + Saabd,即2acsin i20 = 2aXiXsin 60 + 2cx i x sin 60 ,11.ac= a+ c, . - a+ = i.I6.太湖中有一小岛 C,沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路的南偏西I5的方向上，汽车行驶i km到达B处后，又测得小岛在南偏西到公路的距离是 km.A处测得小岛在公路75的方向上，则小岛解析 如图，ZCAB=15, Z CBA = 180-75O = 105,Z ACB= 180-105-15 = 60, AB=

27、1 km.在4ABC中，由正弦定理，得BCABsin/CAB sin/ACB BC= . L *sin 15sin 60BCABsin/CAB sin/ACB BC= . L *sin 15sin 603 ,；2一 ,6(km).设C到直线AB的距离为d,(km).贝U d= BC sin 75 =(km).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 17. (10 分)(2018 北京)在 ABC 中,1 a=7, b= 8, cos B= 7.求A；(2)求AC边上的高.243243一cos2B=-7-.解 (1)在 ABC中，因为cos B = -7,所以sin B =由正弦定

28、理得sin 2乎=坐由题设知2VB”所以0/A2,一一兀所以/ A= o.3(2)在 4ABC 中,3.，33.3 3.3因为 sin C = sin(A+B) = sin Acos B + cos Asin B= 区,所以 AC 边上的图为 asin C= 7X14=2.(12分)在ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知ABC的面积为3血5, b-c= 2, cos A=14.(1)求a和sin C的值;(2)求 cos 2A+6 的值.解(1)在 ABC 中，由 cos A= J 可得 sin A = 415 由 $ ABC = 2bcsin A=3寸15,得

29、bc= 24.又由 bc=2,解得 b=6, c= 4.由 a2= b2+ c2 2bccos A,可得 a= 8.sin A sin Cr15,得 sin C = M5兀(2)cos 2A+6sin A sin Cr15,得 sin C = M5兀(2)cos 2A+67t7t=cos 2A cos 6 sin 2A sin 63 c1 一 .=勺（2cos2A 1） 3X 2sin A cos A=版-77316（12 分）（2018 全国 I ）在平面四边形 ABCD 中，版-77316求 cos/ ADB;（2）若 DC = 2艰，求 BC.BD AB解（1）在ABD中，由正弦定理得

30、-BD-=AB, sin/A sin/ADB52-，一12 ,即 s1n 45 - sin/ADB ,所以 sin/ADB=、-.由题意知，/ADB90 ,所以 cos/ ADB =y1 sin2/ ADB =1 25 = -23.（2）由题意及（1）知，cos/ BDC = sin/ADB = #.2在ABCD 中，由余弦定理得 BC2=BD2+DC22BD DC cos/ BDC = 25+8 2X 5X 2/2X、-= 25,所以BC=5.(12 分)已知 ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c,设向量 m=(a, b), n=(sin B, sin A), p=(b-2, a 2).若m / n,求证： ABC为等腰三角形；兀f .一，一(2)若mp,边长c= 2,角C = ,求 ABC的面积. 3(1)证明 . m